Đề tài: Phương pháp giúp học sinh ghi nhớ nhanh một số công thức lượng giác

hững mẩu chuyện vui mà học sinh thường gặp
 - Các vần thơ vui dễ nhớ.
PHẦN NỘI DUNG
CƠ SƠ LÝ LUẬN
 Bộ môn toán thường được người học nhận xét là môn học: “khô, khó, khổ“, vì tính đa dạng về các dạng toán, số lượng các công thức áp dụng nhiều, phức tạp do vậy việc ghi nhớ một cách chính xác một khối lượng lớn các công thức là việc rất khó khăn và mất rất nhiều thời gian nếu ta không có phương pháp và cách thức học cụ thể và hợp lý. Bên cạnh đó đối với những vần thơ, câu ca có vần có điệu, chứa đựng nội vui vẻ thì rất dễ đi sâu vào lòng người, khiến người đọc dễ nhớ và nhớ lâu hơn. 
THỰC TRẠNG
 Đại đa số học sinh hiện nay vẫn giữ thói quen học thuộc lòng các công thức một cách máy móc, mà số lượng công thức thì nhiều cho nên khả năng nghi nhớ kiến thức không được nhiều, nhanh quên dễ nhầm lẫn giác công thức này với công thức khác.
 Đến khoảng 80% học sinh ngán ngẩm, không có hứng thú với phần lượng giác, khả năng giải các bài tập áp dụng công thức còn hạn chế vì không nắm vững công thức hay áp dụng sai công thức. Ngoài ra học sinh còn chủ quan khi ỷ lại vào máy tính tay đã tạo cho học sinh tính lười biếng trong tính toán nhanh các phép tính đơn giản. 
GIẢI PHÁP
 Hình thành cách học, cách ghi nhớ công thức lượng giác cho học sinh, từ đó các em có thể tìm tòi thêm một số cách thức, qui tắc nhớ riêng cho mình.
 Liên tưởng giữa thực tiễn cuộc sống hằng ngày vào bài học và từ bài học vào thực tế để giảm bớt sự “khô khan” của môn toán.
QUÁ TRÌNH NGHIÊN CỨU
1. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG
a. Định nghĩa: 
 Cho tam giác ABC vuông tại A Với = . Khi đó:
B
sin = = 
C.đối
 cos = = 
C.kề
C
A
α
 tan = = 
 cot = = 
b. Phương pháp ghi nhớ
Để ghi nhớ các tỉ số lương giác trên ta có thể chuyển đổi từ ngôn ngữ toán học sang ngôn ngữ văn học như sau:
“ Tính sin lấy đối chia huyền.
Côsin hai cạnh kề huyền chia nhau
Côtang ta sẽ tính sau
Còn tang hai cạnh chia nhau đối kề ”
Vì sao côtang ta lại tính sau? Vì ta đã biết cot và tan là hai giá trị nghịch đảo của nhau, do vậy nếu tính được tan sẽ suy ra được cot.
Ngoài ra ta còn có thể dùng cách so sánh ví von như sau:
“ sin đi học, cos không hư, tang đoàn kết, côtang kết đoàn”.
Chúng ta liên tưởng và ví bốn giá trị sin, cos, tang, côtang như là các cô, cậu học trò nào đó mà mỗi người có một tính cách riêng. Để từ đó luận ra tỉ số của từng giá trị, ví dụ như anh bạn “sin” chẳng hạn thì ta sẽ lấy hai chữ cái đầu của câu “đi học” để lập tỉ số cho giá trị này, tức là giá trị sin bằng đối chia huyền. 
Nếu đặt = thì từ định nghĩa trên ta có: 
AB = sin.BC = cos.BC
AC = sin.BC = cos.BC.
Vậy: “ trong tam giác vuông, cạnh góc vuông bằng sin góc đối hoặc cos góc kề nhân với cạnh huyền ” 
 Như vậy với cách “mã hóa” từ công thức toán học thành ngôn ngữ văn thơ sẽ giúp các em ghi nhớ các công thức một cách nhanh nhất và lâu nhất.
2. BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC ĐẶC BIỆT
a. Bảng giá trị lượng giác của các góc: 0o; 30o; 45o; 60o; 90o
Tỉ số LG
0o
30o
45o
60o
90o
sin
0
1
cos
1
0
tan
0
1
॥
cot
॥ 
1
0
 Trong quá trình giải toán lượng giác thì các giá trị trên thường được sử dụng để tính toán, thu gọn, biến đổiThế nhưng khi áp dụng thì đại đa số các em đều lung túng vì không nhớ hoặc nhầm lẫn giữa giá trị này và giá trị kia nên thường dẫn đến một đáp số sai. Mặt khác nếu để các em học thuộc lòng một cách máy móc thì rất cực nhọc. 
Để khắc phục tình trạng đó chúng ta có thể hướng dẫn các em cách xây dựng lại bảng giá trị lượng giác trên (trong trường hợp bị quên) như sau:
b. Cách xây dựng
Nếu để ý kỹ thì thì ta thấy dãy các giá trị của sin (với = 0o; 30o; 45o; 60o; 90o) tuân theo qui luật sau: = ; ; ; 
Tức là nếu ta biểu diễn dãy số trên dưới dạng phân số thì tử số tăng dần từ đến , còn mẫu số không đổi là 2.
Để xác định dãy các giá trị của cos (với = 0o; 30o; 45o; 60o; 90o) ta đảo lại dãy các giá trị của sin.
Sau khi xác định xong các giá trị sin, cos thì dễ dàng xác định tan và cot dựa vào công thức: tan; cot.
Chú ý: Nếu cos thì tan không xác định
 Nếu sin thì cot không xác định.
Như vậy chỉ cần từ 1 đến 2 phút là các em đã có thể xây dựng được bảng giá trị lượng giác như sau: 
Tỉ số LG
0o
30o
45o
60o
90o
sin
0(= 
(= 
1(= 
cos
1
0
tan
0
1
॥
cot
॥ 
1
0
Trong các góc đặc biệt trên ta thấy góc 45o là góc đặc biệt nhất sin45o=sin45o = nên tan45o = cot45o = 1. Đây là các giá trị tương đối dễ nhớ. 
Còn với oo thì có phần khó nhớ hơn một chút và dễ nhầm lẫn giữa các giá trị sin và cos. Nhưng không sao nếu các em chịu khó nhẩm vài ba lần câu “thần chú” sau thì mọi chuyện sẽ được giải quyết. 
“ sin ba cos sáu nửa phần ”
“ cos ba sin sáu nửa phần căn ba ”
Tức là sin30o và cos600 bằng , còn cos300 sin60o bằng .
3. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
 a. Hệ thức giữa các giá trị lượng giác của cung có liên quan đặc biệt
a 1) Cung đối nhau và 
 cos() = cos
 sins() = - sin
 tan() = - tan
 cot() = - cot
a 2) Cung bù nhau và ()
sins() = sin
 cos() = - cos
 tan() = - tan
 cot() = - cot
a 3) Cung phụ nhau và ()
 sin() = cos
 cos = sin
 tan() = cot
 cot() = tan
a 4) cung hơn kém nhau 
 sins( + ) = - sin
 cos( + ) = - cos
 tan( + ) = tan
 cot( + ) = cot
Nhận xét: trong nhóm các công thức đối chỉ có cos() = cos, trong nhóm công thức bù chỉ có sins() = sin, nhóm công thức hơn kém thì tan( + ) = tan, còn trong nhóm công thức phụ thì các giá trị sin, cos của các cung và () chéo nhau, các giá trị tan, cot của các cung và () chéo nhau.
 Do đó để ghi nhớ nhóm các công thức trên ta cần nhớ câu:
 ” cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém bi tang ”
b. Công thức cộng 
cos(a+b) = cosa cosb – sina sinb
 cos(a - b) = cosa cosb + sina sinb
 sin(a+b) = sina cosb + cosa sinb
 sin(a - b) = sina cosb – cosa sinb
 Cách thức để ghi nhớ bốn công thức này vẫn là cách tìm một vài điểm đặc biệt nào đó và chuyển thể thành dạng văn nói sao cho có vần, có điệu để học sinh dễ học, dễ nhớ chẳng hạn như:
“ cos cùng loài khác dấu
 sin cùng dấu khác loài ”
 Ở đây ta cần giải thích cho học sinh hiểu được như thế nào là cùng loài, khác loài? Các tích: cosa cosb; sina sinb được gọi là cùng loài, còn các tích: sina cosb; cosa sinb được gọi là khác loài. Còn khác dấu, cùng dấu thì chỉ cần hiểu một cách nôm na là nếu bên trái dấu bằng là giá trị lượng giác của một tổng thì bên phải dấu bằng sẽ là hiệu của các tích trên và ngược lại.
Chú ý: Cần lưu ý cho học sinh nắm được mức độ ưu tiên về “thứ tự “ của các giá trị trong công thức sẽ phụ thuộc vào vế trái. 
Ví dụ: Khi triển khai công thức: cos(a+b) = cosa cosb – sina sinb vì vế trái là cos(a+b) nên tích cosa cosb được viết trước rồi mới đến tích sina sinb
 Còn trong công thức: sin(a+b) = sina cosb – cosa sinb (vì khác loai) mà vế trái là sin(a+b) nên tích sina cosb được ưu tiên.
4. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH, TÍCH THÀNH TỔNG
a. Công thức biến đổi tổng thành tích
cos + cos = 2coscos
 cos - cos = -2sin
sin + sin = 2sincos
sin - sin = 2cossin
chúng ta hướng dẫn học sinh mã hóa như sau: 
“ cos cộng cos bằng hai cos, cos
cos trừ cos bằng trừ hai sin,sin
sin cộng sin bằng hai sin, cos
sin trừ sin bằng hai cos, sin ”
Chú ý: Bên vế phải luôn tích hai hệ thức lượng giác của góc và mà hệ thức của góc được viết trước.
Đối với công thức: tan + tan = được ghi nhớ qua câu sau:
“ tang ta cộng với tang mình bằng sin hai đứa chia cos mình cos ta”
Ở đây ta liên tưởng và như là đôi bạn thân chơi với nhau và có cách xưng hô là ta và mình.
b. Công thức biến đổi tích thành tổng
cosa cosb = [cos(a - b) + cos(a + b)]
sina sinb = [cos(a - b) - cos(a + b)]
sina cosb = [sin(a - b) + sin(a + b)]
Tương tự như công thức biến đổi tổng thành tích ta có đoạn mã cho nhóm các công thức trên như sau:
“ cos nhân cos bằng một phần hai cos cộng cos
sin nhân sin bằng một phần hai cos trừ cos
sin nhân cos bằng một phần hai sin cộng sin”
Chú ý: Vế phải trong nhóm công thức này thì hệ thức lượng giác của góc
 (a-b) được viết trước.
ÁP DỤNG
Ví dụ 1: Hãy nối một dòng ở cột trái với một dòng ở cột phải để được biểu thức đúng
sin300cos600 =
sin450 = 
– cos(-1350) =
tan(x +) = 
1
– cos(1350)
tanx
cos(1350)
 7) 
Hướng dẫn: dựa vào bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt ta có
A - 5; B - 1; C - 2; D - 3; E - 7
 Ví dụ 2: Ghi Đ (đúng) hoặc S (sai) vào ô vuông
 cos () = cos
 cos () = sin
 sin () = cos
 - tan() = tan
 tan() = tan()
 cos () = cos()
 cos () = cos ()
 - cos () = cos
 sin () = sin
 - sin () = sin
 tan() = tan()
 cot() = -cot()
 sin () = sin()
 sin () = sin()
Hướng dẫn: Áp dụng ” cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém bi tang ”
câu
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
Chọn
S
Đ
S
Đ
Đ
Đ
Đ
S
Đ
Đ
Đ
S
Đ
S
Ví dụ 3: Biết sin = m và cos= n. 
 Tính giá trị của biểu thức T = cos() + cos(4) theo m và n.
T = m + n 
T = - (m + n) 
T = m - n 
T = n - m 
Hướng dẫn: Ta có cos() = sin ( phụ chéo) 
 cos(4) = cos(-) = cos (cos đối)
Vậy chọn Câu A.
Ví dụ 4: tìm các mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của các cung và 
Hướng dẫn: 
 cos() = cos(-()) = cos() ( CT đối)
 = - cos() (CT hơn kém )
 = - sin (CT phụ)
 sin() = sin(-()) = -sin() ( CT đối)
 = sin() (CT hơn kém )
 = cos (CT phụ)
tan() = = = - tan
cot() = = = - cot
Ví dụ 5: Hãy tính các giá trị lượng giác của góc 750
Hướng dẫn:
 cos750 = cos( 450 + 300)
 = cos450cos300 - sin450sin300 (CT cộng _cos cùng loài khác dấu)
 = 
 sin750 = sin( 450 + 300)
 = sin450cos300 + cos450sin300 (CT cộng _sin cùng dấu khác loài)
 = 
 tan750 = ; cot750 = 
Ví dụ 6: Chứng minh rằng: 
cossin() + cossin() + cossin() = 0, với mọi 
Hướng dẫn: Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng ta có:
 cossin() = 
 cossin() = 
 cossin() = 
Cộng vế với vế ba đẳng thức trên, ta suy ra điều cần chứng minh.
Ví dụ 7: Đơn giản biểu thức sau: cos2() - cos2()
Hướng dẫn:
cos2() - cos2() = [cos() + cos()][cos() - cos()]
 = 2coscos.(-2 sinsin) = -2 sincos= -sin
 KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC
 Với phương pháp tiếp cận và truyền đạt kiến thức như trên, khi dạy cho học sinh được phân công, tôi nhận