Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 - Trường THCS Yết Kiêu (Có đáp án)

 UBND HUYỆN GIA LỘC
TRƯỜNG THCS YẾT KIÊU
 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
 Năm học 2012 - 2013
Môn thi : TOÁN 9 (Thời gian: 150 phút ) 
Câu 1 : (2 điểm) 
 1/ Tính : A = 
 2/ Cho a, b, c thoả mãn: . 
 Tính giá trị biểu thức: P = 
Câu 2: (2 điểm)
 1/ Cho ba số x, y, z tuỳ ý. Chứng minh rằng 
 2/ Chứng minh rằng nếu và a + b + c = abc thì ta có 
Câu 3: (2điểm)
 1/ Giải phương trình : 
 2/ Tìm giá trị cuả m để hệ phương trình 
 có nghiệm thoả mãn hệ thức: 
Câu 4: (2điểm)
 1/ Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác AD
 a) Chứng minh hệ thức: 
 b) Hệ thức trên thay đổi như thế nào nếu đường phân giác trong AD bằng đường phân 
 giác ngoài AE
2/ Cho tam giác ABC cân tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác.Biết IA =2cm,
 và IB = 3cm.
 Tính độ dài AB.
Câu :( 1điểm) Cho a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC.
	Chứng minh rằng: sin
Câu 6: (1điểm) Tìm các giá trị nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: ( y + 2 ) x2 + 1 = y2 
------------------------------------Hết-----------------------------------------
 UBND HUYỆN GIA LỘC
TRƯỜNG THCS YẾT KIÊU
----------------------
 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 
Năm học 2012– 2013 
-------------------------------------
Câu
Đáp án
Điểm
Câu 1
2.0 đ
1. (1,0 điểm)
Vì > 0; > 0 Þ A > 0 	(1) 
0,25đ
A2 = 
0,25đ
= = = 
= = 8 + 2 = (2) 
Từ (1) và (2) suy ra: A = 
0, 25đ
0,25đ
2. (1,0 điểm)
Từ gt ta có 
suy ra 
0,25đ
Xét hai trường hợp
 * Nếu a + b + c = 0 a + b = -c b + c = - a	c + a = -b
P = = = .. = = -1
0,25đ
0,25đ
* Nếu a + b + c 0 a = b = c P = 2.2.2 = 8
0,25đ
Câu 2
2.0đ
1. (1,0 điểm)
Áp dụng BĐT Côsi ta có: x2 + y2 2xy (1) y2 + z2 2yz (2) z2 + x2 2zx (3)
0,25đ
Cộng từng vế ba BĐT trên ta được 2( x2 + y2 + z2 ) 2( xy + yz + zx )
0,25đ
 2( x2 + y2 + z2 ) + ( x2 + y2 + z2 ) ( x2 + y2 + z2 ) + 2( xy + yz + zx )
 3( x2 + y2 + z2 ) ( x + y + z )2 
0,25đ
chia hai vế cho 9 ta được 
 hay 
0,25đ
 2. (1.0 điểm)
Từ 
0,5đ
 mà a + b + c = abc 
0,25đ
0,25đ
Câu 3
2,0
1. (1.0 điểm)
Phương trình (1) có ĐKXĐ là : x > 2, y > 1 
* Với điều kiện : x > 2, y > 1 ta có : 
(1) Û Û (2) 
+ Với x > 2, y > 1 Þ (3) 	
Từ (2) và (3) Þ Û Û Û 
Thử lại ta thấy x = 11và y = 5 là nghiệm của phương trình 
Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất (x, y) = (11, 5) 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
2. (1,0 điểm)
Hệ phương trình 
 Rút y từ PT thứ nhất , rồi thế vào PT thứ hai ta có: (m2 + 3)x = 2m + 5. 
Do m2 + 3 > 0 với mọi m nên ta có , 
Theo đề bài ta lại có : (*) 
Giải phương trình này ta được m = 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu 4
2,0đ
1. (1,0điểm)
 a. (0,5 điểm)
a. Đặt AC = b; AB = c 
Ta có SABC = bc
 bc = 2 SABC = 2 SABD + 2SADC 
 = AD.AB.sin450 + C.AD.sin450
 = ( AB + AC )AD.sin450 
 = ( b + c )AD.sin450 = ( b + c )AD. = ( b + c ). 
 = = . Vậy (đpcm)
0,25đ
0,25đ
b. (0,5 điểm)
Ta có bc = 2 SABC = 2 SACE - 2SABE = AE.AC.sin1350 – AE.AB.sin450 
 = ( b – c )AE. bc = ( b – c )AE. = ( b – c ) AE. 
 = Vậy hay 
0,25đ
0,25đ
2. (1,0điểm)
 Kẻ AM AC, M thuộc tia CI
Chứng minh được ∆ AMI cân tại M MI = AI = 2
Kẻ AH MI HM = HI Đặt HM = HI = x ( x > 0 )
Xét ∆ AMC vuông tại A ta có AM2 = MH.MC
 (2)2 = x.(2x + 3)
 2x2 + 3x – 30 = 0 
 ( 2x – 5)(x + 4) = 0
 x = 2,5 hoặc x = -4 ( loại vì x > 0)
Vậy MC = 8cm
Ta có AC2 = MC2 – AM2 = 82 – (2)2 = 64 – 20 = 44
 AC = = 2cm AB = 2cm
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu 5
1,0đ
Kẻ Ax là tia phân giác của góc BAC, kẻ BM Ax và 
 CN Ax
Từ hai tam giác vuông AMB và ANC, ta có
sinMAB = sin = BM = c.sin
sinNAC = sin = CN = b. sin
Do đó BM + CN = sin( b + c)
Mặt khác ta luôn có BM + CN BD + CD = BC = a
Vì thế sin( b + c ) a ( vì sin < 1)
Do b + c nên hay sin (đpcm)
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu 6
1,0đ
Từ ( y + 2 ).x2 + 1 = y2 x2 = 
vì x, y nguyên nên y + 2 là Ư(3) suy ra y + 2 = 1 ; 3; -1; -3 Nên y = -1 ; 1; -3 ; 5 
 do x2 nên (y2 -1)(y+2) , 
 hoặc y 
 do đó y = -1 hoặc y = 1 suy ra x = 0 
 Vậy giá trị nguyên của x, y thỏa mãn là : (x,y) = 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
CHÚ Ý : - Nếu học sinh làm cách khác đúng thì vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm của ý đó 
Khi học sinh làm phải lý luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa theo ý đó 
ký nhËn 
cña tæ chuyªn m«n
ký nhËn 
cña ban chuyªn m«n