Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Quảng Ninh lớp 9 THCS năm học 2011-2012 môn: Toán (bảng B)

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
 QUẢNG NINH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2011-2012 
 ------------------ 
 ðỀ THI CHÍNH THỨC 
 MÔN : TOÁN 
 ( BẢNG B ) 
Ngày thi : 23/3/2012 
Thời gian làm bài : 150 phút 
(Không kể thời gian giao ñề) 
(ðề thi này có 01 trang) 
Bài 1. (4,0ñiểm) 
Với x 0≥ tính A
33 2 3. 1 4 2 3 x
x
1 6 2 5 . 5 2 x
− + + −
= +
+ + − +
Bài 2. (3,0 ñiểm) 
 Tìm các số thực x, y thoả mãn : 
 2 2x 26y 10xy 14x 76y 58 0+ − + − + = . 
Bài 3. (4,0 ñiểm) 
 Giải hệ phương trình : 
2 2x y x y 12
x y xy 9
 + − − =

+ + =
Bài 4. (6,5 ñiểm) 
Cho ñường tròn (O) và ñiểm A nằm ngoài ñường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB, 
AC với ñường tròn (B, C là các tiếp ñiểm). Trên cung nhỏ BC của (O) lấy ñiểm D. 
AD cắt (O) tại ñiểm thứ hai E. Gọi I là trung ñiểm của DE. 
a. Chứng minh năm ñiểm B, O, I, C, A cùng thuộc một ñường tròn và IA là tia 
phân giác của góc BIC. 
b. ðường thẳng qua D song song với AB cắt BC tại H, cắt BE tại K. Chứng 
minh H là trung ñiểm của DK. 
Bài 5. (2,5 ñiểm) 
 Cho a, b, c là ba số dương . Chứng minh rằng : 
a b c
2
b c c a a b
+ + >
+ + +
 -----------------Hết---------------- 
Họ và tên thí sinh :..Số báo danh : 
Họ và tên, chữ ký 
của giám thị số 1 : 
SỞ GD&ðT QUẢNG NINH HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
 LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2011 - 2012 
 ðỀ THI CHÍNH THỨC 
 Môn : TOÁN ( BẢNG B ) 
 ( Hướng dẫn chấm này có 3 trang ) 
Bài Tóm tắt lời giải Cho 
ñiểm 
Bài 1 
(4,0ñ) tính : 
33 2 3. 1 4 2 3− + + = 
( )23 3 3 332 3. 1 1 3 2 3. 2 3 (2 3)(2 3) 1− + + = − + = − + = 
21 6 2 5 . 5 2 1 ( 5 1) . 5 2 2 5. 5 2 1+ + − = + + − = + − = 
 Vậy : A = 
1 1 ( 1)
1
1 1 (1 )
x x x x x
x
x x x
− + + − +
+ = = =
+ + +
1,5 
1,5 
1,0 
Bài2 
(3,0ñ) 
 2 226 10 14 76 58 0x y xy x y+ − + − + = 
⇔ 2 2 225 10 14 70 6 9 49 0x y xy x y y y+ − + − + − + + = 
⇔ 2 2( 5 ) 14( 5 ) ( 3) 49 0x y x y y− + − + − + = 
⇔ 2 2( 5 7) ( 3) 0x y y− + + − = vì ( )2x 5y 7 0 x;y− + ≥ ∀ , ( )2y 3 0 y− ≥ ∀ 
⇔
2
2
( 5 7) 0
( 3) 0
x y
y
 − + =

− =
⇔ 
( 5 7) 0
( 3) 0
x y
y
− + =

− =
 ⇔
8
3
x
y
=

=
Vậy x,y cần tìm thoả mãn ñiều kiện của bài toán là : x=8;y=3 . 
0,75 
0,5 
0,75 
0,5 
0,25 
0,25 
Bài 3 
(4,0ñ) 
Cộng vế với vế hai phương trình của hệ ñã cho ta ñược : 
2 2 21x y xy+ + = ⇔ ( )2 21x y xy+ − = ( )2 21x y xy⇔ + = + (*); 
 từ phương trình (2) ⇔ 9x y xy+ = − ( ) ( )2 281 18x y xy xy⇔ + = − + 
 thay vào (*) và biến ñổi ñược : ( )2 19 60 0xy xy− + = ñặt xy t= ñược PT: 
2 19 60 0t t− + = (**) giải (**) ñược : 1 24; 15t t= = 
Với 1 4t = ta có hệ : ( )
4
5
xy
I
x y
=

+ =
Giải hệ ( I ) ñược : x = 1; y = 4 và x = 4; y =1 
 với 2 15t = ñược : ( )
15
6
xy
II
x y
=

+ = −
. Hệ (II) vô nghiệm 
Hệ phương trình ñã cho có nghiệm là (x; y) = (1; 4) = (4; 1) 
1,0 
1,0 
1,0 
0,75 
0,25 
a, * Chứng minh năm ñiểm B, O, I, C, A cùng thuộc ñường tròn ñường 
kính 
 Có : OB ⊥ BA; OC ⊥ CA ( AB, AC là các tiếp tuyến), 
 suy ra · · 1ABO ACO v= = · · 2ABO ACO v⇒ + = ⇒ tứ giác ABOC nội tiếp 
 suy ra bốn ñiểm A,B,O,C cùng thuộc ñường tròn ñường kính AO.(1) 
Ta có : OI ⊥ DE( I là trung ñiểm của dây DE) suy ra · 1AIO v= ; 
 · · 2ABO AIO v⇒ + = ⇒ tứ giác ABOI nội tiêp 
 suy ra bốn ñiểm A,B,O,I cùng thuộc ñường tròn ñường kinh AO.(2) 
Từ (1)và (2) suy ra năm ñiểm B,O,I,C,A cùng thuộc ñường tròn ñường kính 
AO. 
* Chứng minh IA là tia phân giác của góc BIC : 
Ta có : · ·AIB ACB= ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB ñường tròn 
ñường kính AO) 
và · ·AIC ABC= ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC ñường tròn ñường 
kính AO) 
Mà · ·ACB ABC= ( AB,AC là hai tiếp tuyển, tam giác ABC cân ) 
Suy ra ; · ·AIB AIC= , vậy IA là tia phân giác của góc BIC 
1,0 
1,0 
0,5 
0,5 
0,5 
0,25 
0,25 
Bài 4 
(6,5ñ ) 
b, · ·ICB IAB= ( cùng chắn cung IB ñường tròn ñường kính AO) 
mà · ·IAB IDH= (DH//AB, ñồng vị), Suy ra : · ·ICB IDH= , 
 suy ra tứ giác DHIC nội tiếp ( từ hai ñỉnh C,D cùng nhìn cạnh HI dưới hai 
góc bằng nhau ) 
suy ra : · ·HID HCD= ( cùng chắn cung HD ñường tròn (DHIC)) 
mà · ·BCD BED= (cùng chắn cung DB của (O)) hay · ·HCD BED= 
suy ra · ·HID BED= suy ra HI // BE 
Trong tam giác DEK có : ID=IE và HI // KE 
suy ra HD = HK . Vậy H là trung ñiểm của DK 
0,75 
1,0 
0,75 
Bài 5 
(2,5ñ) Áp dung Côsi : 
1
.1 ( 1)
2
b c b c
a a
+ +
≤ + =
2
a b c
a
+ +
Suy ra : 
2a a
b c a b c
≥
+ + +
 ( dấu " = " khi a = b + c) 
Tương tự : 
2b b
a c a b c
≥
+ + +
 ( dấu " = " khi b = c + a) 
2c c
a b a b c
≥
+ + +
 ( dấu " = " khi c = a + b) 
Cộng vế với vế ba bất ñẳng thức trên , ta ñược : 2a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
dấu " =" không xảy ra ⇒
a b c
2
b c c a a b
+ + >
+ + +
0,5 
0,5 
0,25 
0,25 
0,5 
0,5 
HK
I
E
C
B
O
A
D
 Hình vẽ bài 4 
Các chú ý khi chấm 
1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách cách giải. Bài làm của học sinh 
phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới ñược ñiểm tối ña. 
2. Các cách giải khác nếu ñúng vẫn cho ñiểm. Tổ chấm trao ñổi và thống nhất ñiểm chi 
tiết nhưng không vượt quá số ñiểm dành cho câu hoặc phần ñó. 
3. Với bài 4 không cho ñiểm nếu không có hình vẽ. 
4. Có thể chia nhỏ ñiểm thành phần nhưng không dưới 0,25 ñiểm và phải thống nhất 
trong cả tổ chấm. ðiểm toàn bài là tổng số ñiểm toàn bài ñã chấm, không làm tròn.