Đề tài Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ (tiếp)

phương trình lên luỹ thừa bậc lẻ ta được một phương trình tương đương.
- Số âm không có căn bậc chẵn .
- Khi kết luận nghiệm ta cần kiểm tra các giá trị tìm được với hệ thống điều kiện của bài.
 * Để giải phương trình vô tỷ tạm thời chia ra các cách giải sau :
 - Phương pháp nâng luỹ thừa .
 - Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối 
 - Phương pháp đặt ẩn phụ.
 - Phương pháp bất đẳng thức
 - Phương pháp hằng đẳng thức . 
 - Phương pháp tam thức bậc hai
 - Một vài phương pháp khác
1. Phương pháp nâng luỹ thừa
 Để làm mất căn bậc n thì ta cũng nâng hai vế của phương trình lên luỹ thừa bậc n. Chú ý khi nâng lên luỹ thừa n chẵn thì ta được phương trình hệ quả (cần đặt điều kiện) , n lẻ ta được phương trình tương đương .
 Ví dụ 1: Giải phương trình: - (1)	 	
 Điều kiện xác định: x - 1. (2)
 Viết phương trình (1) dưới dạng: = (3)
Hai vế của (3) không âm, bình phương 2 vế ta được:
 x + 1 = x – 2 + 1 + 2
 2 = 2
 x-2 = 1
 x = 3 Thoả mãn điều kiện (2)
Nghiệm của phương trình (1) là x = 3.
 Ví dụ 2.: Giải phương trình :
 - = (*)
Bình phương hai vế ta có : 
Ta thấy vế trái không âm còn vế phải không dương vì vậy (*) có nghiệm khi và chỉ khi các đẳng thức sau đây đồng thời xảy ra:
 (2x – 1)2 + (y +1)2 = 0 (1)
 (y+2)(4x2 + y) = 0 (2)
(1) Xảy ra khi và chỉ khi 2x – 1 = 0 và y + 1 = 0 , tức là x = 1/2 , y = -1.
Thay x = 1/2 , y = -1 vào (2) thoả mãn .Ta thấy (1) có nghiệm duy nhất
nên x = 1/2 , y = -1 là nghiệm của hệ (1) và (2) và cũng là nghiệm của phương trình đã cho .
 Ví dụ 3 : Giải phương trình :
 	+ = (1)
	lập phương hai vế của phương trtình (1) ta có :
 x + 2x – 3 + 3. (+) = 12(x – 1)
 3(+ ) = 9( x - 1) 
 . = 3(x – 1)
 x(2x - 3)12(x - 1) = 27 (x – 1)3 
 (x – 1)[ 12x(2x - 3) - 27 (x – 1)2 ] = 0
 (x – 1).(24x2 – 36x – 27x2 + 54x – 27) = 0
 - 3.(x – 1).(x – 3)2 = 0.
 x1 = 1 ; x2,3 = 3
 Vậy phương trình (1) có hai nghiệm: x1 = 1 ; x2,3 = 3
2. Phương pháp hằng đẳng thức :
 Ví dụ 1 : Giải phương trình
 2x2 – 4x – 8 = 2 (1) ĐKXĐ: x - 4
 Ta có : 2x2 – 4x – 8 = 2
 x2 – x + = (x + 4) + + 
 	 = 
 ( x + 4) - - 5 = 0
 ( x + 4) + - 4 = 0
vì điều kiện x - 4 nên phương trình có nghiệm thoả mãn :
x1 = ; x2,3 = 
Ví dụ 2 . Giải phương trình :
 (1)
Vì + 0 Với mọi x : 3 x 5
nên (1) 
 - + ()2 = 2
 .= 0
 (thoả mãn ĐKXĐ)
 Vậy phương trình (1) có hai nghiệm: x = 5; x = 3. 
3. Phương pháp qui về phương trình bậc hai:
Ví dụ : Giải phương trình
x2 – 9x + 2(x + 1) = 16 (1) ĐKXĐ: x - 2
x2 – x – 8x – 16 + 2(x + 1) = 0 
-8(x + 2) + 2(x + 1) + x2 – x = 0
Đặt = y (y 0) ta có - 8y2 + 2(x + 1)y + x2 – x = 0 (*)
D/ = (x +1)2 - (-8)(x2- x) = 9x2 – 6x + 1 = (3x – 1)2 0 với mọi x.
Nên phương trình (*) có hai nghiệm :
 - Với x + 2 - 2 - 2 = 0
Đặt a = ( a0) ta được: a2 - 2a – 2 = 0
 a1 = 1- (loại); a2 = 1+ 
 = 1+ x = 2(1+) (thoả mãn ĐKXĐ)
 - Với y = = (-2 x 1)
x + 2 + 4 - 3 = 0
t2 + 4t – 3 = 0 ( Trong đó t = (t0))
t1 = -2- (loại) ; t2 = -2+ 
= -2+ 
x + 2 = 4 +7 - 4
x = 9 - 4 (thoả mãn ĐKXĐ)
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm : x1 = 2(1+) ; x2 = 9 - 4 
4. Phương pháp bất đẳng thức : 
 Phương pháp đặt ẩn phụ nhằm biến đổi một phương trình vô tỷ về một phương trình hữu tỷ.
 Các bất đẳng thức thường sử dụng:
 -Bất đẳng thức Côsi
 -Bất đẳng thức Bunhiacopxki
 -Bất đẳng thức : + với a, b > 0; Dấu “ =” xảy ra khi a = b.
4.1. Chứng tỏ rằng phương trình vô nghiệm vì có một luôn nhỏ hơn vế kia.
 Ví dụ 1: Giải phương trình: 
 ĐKXĐ: x 1.
 Với điều kiện x 1 x < 5x x – 1 < 5x – 1 
	Mà nên phương trình đã cho vô nghiệm.
 Ví dụ 2 : Giải phương trình :
 (1)
 Đặt f(x) = 
 TXĐ : 
 Nếu thì 
 Nếu thì 
 Nếu x = 0 thì f(x) = 2
 Tóm lại phương trình vô nghiệm
4.2. phương pháp so sánh (sử dụng tính đối nghịch ở hai vế):
 Ta so sánh vế trái và vế phải rồi nhận xét dấu “ = “ xảy ra như thế nào ?
 Ví dụ 1 : Giải phương trình :
 + = 5 – 2x – x2
 = 2 x
 Dấu “=” xảy ra khi x = -1
 Ta có = 4 x
 Dấu “=” xảy ra khi x = -1.
 + 6 x
 Dấu “=” xảy ra x = -1 .
 Vế phải = 5 – 2x – x2 = 6 – (x + 1)2 6 x
 Dấu “=” xảy ra x = -1.
 Vậy phương trình có nghiệm khi vế trái bằng vế phải , tức là x = -1
 Ví dụ 2 . Giải phương trình 
 + = 40 – 12x + x2
 Vế phải = x2 – 12x + 40 = (x – 6)2 + 4 4
 (Vế trái)2 = 8 + 2
 = 8 + 2
 = 8 + 2 16
 	Vế trái 4	 
Dấu “ = “ xảy ra khi x=6
 Vậy phương trình có nghiệm khi vế trái bằng vế phải hay x=6.
Cách khác: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki áp dụng cho hai cặp số
(1;1) và ( ; )
 Ta có : (Vế trái )2 = ( 1 + 1)2 
 	(1 +1) [()2 + ()2 ] = 16
	 vế trái 4
Dấu “ = “ xảy ra khi x=6
Vế phải giải tương tự như cách giải 1. Kết luận nghiệm..
4.3. Phương pháp duy nhất nghiệm (Sử dụng tính đơn điệu của hàm số).
- Nhẩm nghiệm của phương trình (thử lại )
Chứng minh nghiệm đó là duy nhất .
Ví dụ 1: giải phương trình (1)
 Ta thấy x = 0 nghiệm đúng phương trình (1).
 -Với x > 0 thì 
 - Với x < 0 thì 
 Vậy x = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình (1).
Ví dụ 2 : Giải phương trình 
 (1)
Dự đoán x = 4 là nghiệm của phương trình 
Thử lại:
 VT = = Vế phải
Chứng minh phương trinh có nghiệm duy nhất 
ĐKXĐ: 
 + Nếu x > 4 
Vậy x (4 ; +) không là nghiệm của phương trình (1)
+ Nếu x < 4 tương tự ta có : 
Vậy x (-; 4) Không là nghiệm của phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 4
Ví dụ 3 :Giải phương trình : ĐKXĐ : x 
 (Đề thi vào chuyên toán tin ĐHQG năm 1999)
Dự đoán x = 2 là nghiệm của phương trình .
Thử lại :
Vế trái = = Vế phải
+ Nếu ta có :
 2x2 < 8; 2x < 4 
Vậy không là nghiệm của phương trình
+ Tương tự ta cũng chứng minh được với x > 2 cũng không phải là nghiệm của phương trình
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2
4.4. Sử dụng điều kiện xảy ra dấu “ =” ở bất đẳng thức không chặt.
 Ví dụ 1: Giải phương trình (2) (ĐKXĐ: )
 Ta có bất đẳng thức với a; b > 0. Dấu “=” xảy ra khi a = b.
 áp dụng với phương trình trên ta có: Với thì :
 (2) (thoả mãn ĐKXĐ)
 Vậy phương trình có tập nghiệm: S = { 1; 2}
Ví dụ 2: Giải phương trình 
= y +1 ĐK : 0 y 1
Nhận xét : y = 0 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế của phương trình cho y 0 ta có :
 = 
 Ap dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho vế trái với cặp số (1;1) và
Ta có : 
 = 
 	(12 + 12)(y +1 +1 – y) = 4
 	 2
 Dấu “=” xảy ra khi : y = 0 (Loại)
	Ta có : 2
 Dấu “=” xảy ra khi y = 1 (Loại vì với y = 1 GTVT khác GTVP).
 Vậy phương trình vô nghiệm 
5 . Phương pháp đưa về phương trình trong dấu giá trị tuyệt đối
Ví dụ 1: Giải phương trình :
 (*)
-Nếu x8 thì phương trình (*)x - 8 - 2x + 8 + x = 0 nghiệm đúng với mọi x 8
-Nếu 4x <8 thì phương (*)8 - x - 2x + 8 + x = 0 x = -8 (Loại )
-Nếu 0 x <4 thì phương trình (*) x - 8 + 2x - 8 + x = 0 x=0
-Nếu x < 0 thì phương trình (*) 8- x + 2x - 8 - x = 0 nghiệm đúng với mọi x < 0 Tóm lại , phương trình có nghiệm là mọi x thoả mãn x 8 hoặc x 0 
 Ví dụ 2: Giải phương trình:
 (ĐKXĐ : x 1)
Nếu x > 2 thì ta có: , không thuộc khoảng đang xét.
Nếu 1 x 2 thì ta có: , vô số nghiệm 1 x 2 .
Vậy phương trình có vô số nghiệm thoả mãn: 1 x 2 .
6. Phương pháp đặt ẩn phụ .
Ví dụ 1 : Giải phương trình
(1) (ĐKXĐ: x2 + 7x + 7 0).
Đặt: thì x2 + 7x + 7 = y2.
(1) 3y2- 3 + 2y = 2 3y2 + 2y – 5 = 0 (y – 1).(3y + 5) = 0
 y = 1 ; y = (loại vì không thoả mãn ĐK y 0).
 Với y = 1 =1 x2 + 7x + 6 = 0 (x+1)(x+6) = 0
 x = -1 ; x = -6 thoả mãn x2 + 7x + 7 0, do đó là nghiệm của phương trình (1). Vậy phương trình (1) có hai nghiệm : x1 = -1 ; x2 = -6 .
Ví dụ 2 :Giải phương trình.
 (1)
( Đề thi tuyển sinh vào trường Hà Nội Amstecdam- Chu văn an 1995-1996)
Đặt : a = (a0) x = a2 + 2.
 b = (b 0) y = b2 – 1995.
 c = (c 0) z = c2 + 1996.
(1) 2(a + b + c) = a2 + 2 + b2 – 1995 + c2 + 1996
 a2 + b2 + c2 – 2a – 2b –2c + 3 = 0
 (a - 1)2 + (b – 1)2 + (c – 1)2 = 0
 a = b = c = 1.
 x = 3 ; y = -1994 ; z = 1997
+ Khi đặt ẩn phụ ta có thể đưa phương trình vô tỷ về dạng một hệ phương trình
 Ví dụ 3: Giải phương trình . 
 Đặt a = , b = thì 2x + 1 = a3 , x = b3 nên: a3 – 2b3 = 2x + 1 – 2x = 1.
 Vậy ta cần tìm hai số a và b thoả mãn:
Suy ra : = 1; = 0 x = 0.
Vậy x = 0 là nghiệm của phương trình đã cho.
 Ví dụ 4 : Giải phương trình 
 Đặt a = x = a3 + 18
 b = x = b2 – 7
Ta có hệ phương trình :
 a + b = 5 b = 5 - a 
 a3 - b2 +25 = 0 a3 – (5 - a)2 + 25 = 0 (*)
(*) a3 – 25 + 10a – a2 +25 = 0
 a( a2 – a + 10) = 0
 a = 0 x = 18 thử lại thấy đúng .
Vậy nghiệm của phương trình là x = 18
7. Một vài phương pháp khác. 
Ví dụ : Giải phương trình:
ĐK : 
 Giải hệ điều kiện trên ta được x = 2 thay vào phương trình ban đầu và 
khử căn ta được :
Phần 2: Một số sai lầm thường mắc khi giải phương trình vô tỷ 
 Và Biện pháp khắc phục
 + Khi giải phương trình vô tỉ học sinh thường không chú ý đến điều kiện của căn bậc hai chẵn nên khi gặp phương trình có chứa căn bậc hai chẵn thì lưu ý học sinh phải đặt điều kiện cho các căn thức xác định .
 +Trong quá trình biến đổi phương trình (biến đổi đồng nhất) học sinh không phân biệt được khi nào dùng dấu “=>” khi nào dùng dấu “”
 Giáo viên nên chú ý cho học sinh những yêu cầu sau :
 -Nếu qua phép biến đổi đồng nhất mà miền xác định của biểu thức được giữ nguyên thì ta có phương trình sau tương đương với phương trình trước .
 -Nếu qua phép biến đổi đồng nhất mà miền xác định được mở rộng thì ta có phương trình sau là hệ quả của phương trình trước .
 -Nếu qua phép biến đổi đồng nhất mà miền xác định của biểu thức thu hẹp thì phương trình trước là hệ quả của phương trình sau .
Ví dụ 
 ĐKXĐ : x
 => Hoặc x=3 (phù hợp )
 hoặc x=-3 ( Loại )
+ Sau khi giải phương trình học sinh thường kết luận ngay nghiệm của phương trình mà không kiểm tra xem nghiệm có phù hợp với điều kiện của bài hay không?
 Giáo viên cần chú ý cho học sinh : Bước cuối cùng của việc giải phương trình vô tỷ phải :
 - Kiểm tra các nghiệm của phương trình với điều kiện của bài.
 - kết luận nghiệm của phương trình.
 + Học sinh thường không phân biêt được dấu “=” trong phương trình và dấu bằng trong biến đổi đồng nhất .
-Hai dấu “=” đó thường xuất hiện xe