Đề tài Luyện thi học sinh giỏi môn giải Toán Casio-Hình học

. Một hình thang cân có hai đường chéo vuông góc với nhau. Đáy nhỏ dài 13,724, cạnh bên dài 21,867. Tính diện tích S (S lấy 4 chữ số thập phân).
Bài 5. Một hình thoi có cạnh bằng 24,13 cm, khoảng cách giữa hai cạnh là 12,25 cm.
1) Tính các góc của hình thoi (độ, phút, giây).
2) Tính diện tích của hình tròn (O) nội tiếp hình thoi chính xác đến chữ số thập phân thứ ba.
3) Tính diện tích tam giác đều ngoại tiếp đường tròn (O).
Bài 6. Cho hình thang vuông tại A và B; góc D là 1350; AB = AD = 4,221 cm. Tính chu vi của hình thang (chĩnhác đến chữ số thập phân thứ ba).
Bài 7. Cho hình thoi có chu vi là 37,12 cm. Tỉ số hai đường chéo là 2 : 3. Tính diện tích hình thoi ấy.
Bài 8. Cho hình thang cân mà đáy nhỏ CD = 16,45 cm. Cạnh bên AD = BC = 30,10 cm. Hai đường chéo AC và BD vuông góc.
1) Tìm công thức tính độ dài đáy lớn. 2) Tính độ dài đáy lớn với số liệu cho ở trên.
Bài 9. Cho hình thang cân có hai đường chéo vuông góc với nhau, đáy lớn dài 15,35 cm, cạnh bên dài 21,23 cm. Tìm diện tích hình thang.
Bài 10. CS. Tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn và có các canh AB = 5dm, BC = 6dm, CD = 8dm, DA = 7dm. Tính gần đúng bán kính đường tròn nội tiếp, bán kính đường tròn ngoại tiếp và góc lớn nhất (độ, phút, giây) của tứ giác đó. (Toán học và tuổi trẻ số 331 (01/2005))
Bài 11. Điểm E nằm trên cạnh BC của hình vuông ABCD. Tia phân giác của các góc EAB, EAD cắt các cạnh BC, CD tương ứng tại M, N. Tính gần đúng giá trị nhỏ nhất của tỉ số . Tính gần đúng (độ, phút, giây) góc EAB nếu . 
Bài 12. Hình bên cho biết AD và BC cùng vuông góc với AB, AD = 10 cm, , AE = 15cm, BE = 12cm.
1)Tính số đo góc DEC.
2)Tính diện tích tứ giác ABCD và diện tích tam giác DEC.
3) Tính tỉ số phần trăm giữa diện tích tam giác DEC và diện tích tứ giác ABCD.
Bài 13. Hình thang ABCD (AB // CD) có đường chéo BD hợp với tia BC một góc bằng góc DAB. Biết AB = a = 12,5 cm, DC = b = 28,5 cm.
1) Tính độ dài x của đường chéo BD.
2)Tính tỉ số phần trăm giữa diện tích hai tam giác ADB và BDC (chính xác đến chữ số thập phân thứ hai).
Bài 14. Cho hình thang ABCD đáy nhỏ AB = 2 cm, CD = 5 cm. Từ A kẻ đường thẳng song song BC cắt DC tại E, từ B kẻ đường thẳng Song song với AD cắt DC tại F. BF luôn luôn cắt AE và AC tại P và Q.
 Tính tỉ số (diện tích APQ / diện tích ABCD).
Bài 15: Vẽ một tấm bìa lên mặt đồng hồ hình vuông và dùng các vị trí chỉ giờ làm các đường biên (xem hình). Nếu t là diện tích của 1 trong 8 miền tam giác (như miền giữa 12 giờ và 1 giờ) và T là diện tích của 1 trong 4 tứ giác (như tứ giác giữa 1 giờ và 2 giờ). Tính tỷ số .
≈ 
Kết quả: 
4.4. Các bài tập về đường tròn 
4.4.1. Lí thuyết
4.4.1.1 Hình tròn và các phần hình tròn
+ Hình tròn bán kính R:
 - Chu vi: C = 2pR= pd
 - Diện tích: S = pR2
+ Hình vành khăn:
 - Diện tích: S = .( R12 – R22 )
+ Hình quạt:
- Độ dài cung: l ; (n: độ )
- Diện tích: S (n: độ)
4.4.1.2. Chứng minh một số công thức hình học
1/ Tính diện tích tam giác biết độ dài 3 cạnh a, b, c và bán kính đường tròn ngoại tiếp R : 
 C/m: ∆AHB ∆ACE (g.g) => AB.AC = AH.AE
 Hay b.c = 2R.AH a.b.c = 2R.a.AH
 Mà: 
 Hình 1 
2/ Tính diện tích tam giác biết nửa chu vi p = (a+b+c):2 và bán kính đường tròn nội tiếp r : 
S = p.r
 C/m: SABC = SAOB + SBOC + SAOC
 Hay SABC = 
 = = p.r (OE = OD = OF = r ) 
 Hình 2 
4.4.2. Ví dụ 
Ví dụ 1. Cho đường tròn (O; R). Viết công thức tính diện tích tam giác đều ngoại tiếp và diện tích tam giác đều nội tiếp đường tròn (O; R).
Áp dụng tính diện tích tam giác đều nội tiếp, tam giác đều ngoại tiếp đường tròn (O; R) khi R = 1,123 cm
Giải 
- Gọi S và S’ lần lượt là diện tích tam giác đều ngoại tiếp và tam giác đều nội tiếp đường tròn (O;R)
+ Đưa được ra công thức tính diện tích tam giác đều ngoại tiếp đường tròn (O;R) : S=. 
Áp dụng: Thay R=1,123cm ; S= 
Quy trình bấm phím: 
Kết quả: cm2
+Đưa được ra công thức tính diện tích tam giác đều nội tiếp đường tròn (O;R): S’=
Áp dụng: Thay R=1,123 cm ; S’= 
Quy trình bấm phím: 
Kết quả: 
Ví dụ 2. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B (O và O’ nằm khác phía đối với AB). Một đường thẳng đi qua điểm A cắt (O) và (O’) lần lượt tại hai điểm M và N. Tính độ dài lớn nhất của đoạn thẳng MN nếu cho biết AB = 16 cm, bán kính của đường tròn tâm O và O’ lần lượt là cm và cm.
Giải:
Gọi I = OO'ÇAB. Ta có:
; AB^OO'
lưu vào biến nhớ A ()
lưu vào biến nhớ B ()
Þ OO' = OI + IO'
Ghi vào màn hình A+B () được kết quả OO'»31,3088 lưu vào biến nhớ C ()
Gọi H, K lần lượt là trung điểm của MA, AN. Ta có:
OH^MA; OK^AN (qh đk và dc)
Þ OHKO' là hình thang vuông Þ HK £ OO'
Þ HK lớn nhất Û HK = OO'
 Û MN = 2HK
Tính MN bằng cách ghi vào màn hình 2´C () được kết quả MN=62,6176 cm
Ví dụ 3. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn( Ax, By, và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng có bờ là AB). Từ M trên nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến thứ 3 cắt Ax, By lần lượt tại C,D. Cho biết . Tính MO và diện tích tam giác ABM.
Giải:
a) Chứng minh được góc COD = 90o
Từ đó dùng hệ thức lượng ta được : 
OM=
Quy trình bấm máy: 
Kết quả: 
Ấn tiếp: 
b)Chứng minh được : 
Quy trình bấm máy: 
Kết quả: 
Ví dụ 4. Ba đường tròn có cùng bán kính 3 cm đôi một tiêp xúc ngoài (Hình vẽ)
Tính diện tích phần xen giữa ba đường tròn đó ?
Giải: 
 O2
 O1
Sgạch xọc = SDO1O2O3 - 3 Squạt
Tam giác O1O2O3 đều, cạnh bằng 1 nên:
 O3
Squạt = 
Þ Sgạch xọc = SDO1O2O3 - 3 Squạt = 
Quy trình bấm máy: 
Kết quả: 
Ví dụ 5.
Một ngôi sao năm cánh có khoảng cách giữa hai đỉnh không liên tiếp là . Tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp (qua 5 đỉnh).
Giải: Ta có công thức tính khoảng cách 
giữa hai đỉnh không kề nhau của ngôi sao năm cánh đều (hình vẽ):
 .
Công thức là hiển nhiên.
Công thức có thể chứng minh như sau:
A
B
C
D
E
O
Ta có: 
hay . 
Suy ra là nghiệm của phương trình: 
.
Vậy .
Từ đây ta có: 
hay 
Suy ra 
và 
Cách giải 1: 9.651218(5.073830963)
Cách giải 2: 29.6511025(5.073830963)
Ví dụ 6. Tính khoảng cách giữa hai đỉnh không liên tiếp của một ngôi sao 5 cánh nội tiếp trong đường tròn bán kính .
Cách giải 1: Ta có công thức tính khoảng cách giữa hai đỉnh không kề nhau của ngôi sao năm cánh (xem hình vẽ và chứng minh bài Ví dụ 5): 
.
Tính: 25.71218(10.86486964)
Cách giải 2: 10255.7122(10,86486964)
Đáp số: 10,86486964.
O
A
B
C
H
Ví dụ 7. Cho đường tròn tâm , bán kính . Trên đường tròn đã cho, đặt các cung sao cho và nằm cùng một phía đối với .
a) Tính các cạnh và đường cao của tam giác .
b) Tính diện tích tam giác (chính xác đến 0,01).
Giải: a) Theo hình vẽ: 
sđ = sđ - sđ = 1200 - 900 = 300.
Tính các góc nội tiếp ta được:= 150; = 450. 
Suy ra: = 1200; = 450; = 750.
Ta có: ; .
Vì AHC vuông cân, nên (đặt ). 
Theo định lí Pitago ta có: . Do đó: hay . Suy ra: ; . 
Vì , nên nghiệm bị loại. Suy ra: .
Gọi diện tích là , ta có:
 .
Ấn phím: 11.252(15.91) Vậy. 
Ấn tiếp phím: 3 Kết quả:19.49 Vậy: . 
Ấn phím:312(5.82) Vậy. 
Ấn tiếp phím: 312(4.12) Vậy:. 
Ấn tiếp phím: 334 
Kết quả: .
Ví dụ 8. Trên đường tròn tâm O, bán kính , người ta đặt các cung liên tiếp: = 600, = 900, = 1200. 
a) Tứ giác là hình gì?
b) Chứng minh ACBD.
c) Tính các cạnh và đường chéo của theo chính xác đến 0,01.
d) Tính diện tích tứ giác .
Giải: a) sđ= 3600 - (sđ+sđ +sđ)
A
B
C
D
E
60°
120°
 90°
 = 3600 - (600 + 900 + 1200) = 900.
Suy ra: = , = = 450 (vì cùng bằng ). 
Từ đó ta có: . Vậy là hình thang. 
Mặt khác, = (cùng bằng ).
Vậy là hình thang cân (đpcm).
b) Vì = = 450 (vì cùng bằng ).
Suy ra = 900, vậy (đpcm).
c) Theo cách tính cạnh tam giác đều, tứ giác đều, lục giác đều nội tiếp trong đường tròn bán kính , ta có:; ; .
Các tam giác vuông cân, suy ra , .
Vậy: , . Suy ra .
d) .
Tính:132(433.97).
Vậy cm2.
ấn tiếp: 15.252 Kết quả: 21.57
Vậy cm.
ấn tiếp phím: 3(26.41) Vậy: .
ấn tiếp phím: 132(29.46)
Vậy .
Ví dụ 9. Cho đường tròn tâm , bán kính . Từ một điểm ở ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến và (, là hai tiếp điểm thuộc ()). 
Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi hai tiếp tuyến và cung tròn nhỏ BC 
biết rằng (chính xác đến 0,01 cm).
Giải: Ta có: .
O
B
a
A
C
 ;
 quạt OBC .
 gạch xọc= ABOC - quạt OBC .
Tính trên máy: 3.157.85
7.853.153.15180(11.16)	
Đáp số: gạch xọc = 11,16 cm2.
Ví dụ 10. Tính diện tích phần hình phẳng (phần gạch xọc) giới hạn bởi các cung tròn và các cạnh của tam giác đều ABC (xem hình vẽ), 
biết: .
Giải: .
Suy ra: và .
Diện tích hình gạch xọc bằng diện tích tam giác trừ diện tích hình hoa 3 lá 
A
C
B
H
I
(gồm 6 hình viên phân có bán kính và góc ở tâm bằng 600).
 ; .
Diện tích một viên phân: .
Tính theo a, diện tích một viên phân bằng: ;
 gạch xọc; gạch xọc.
Bấm tiếp: 5,7593412
Kết quả: gạch xọc 8,33 cm2.
D
M
A
Q
C
P
N
B
Ví dụ 11. Viên gạch cạnh có hoa văn như hình vẽ .
a) Tính diện tích phần gạch xọc của hình 
đã cho, chính xác đến 0,01 cm.
b) Tính tỉ số phần trăm giữa diện tích phần 
gạch xọc và diện tích viên gạch.
Giải: a) Gọi là bán kính hình tròn.
Diện tích một hình viên phân bằng:
 . 
Vậy diện tích hình gồm 8 viên phân bằng .
Diện tích phần gạch xọc bằng:	.
Tính trên máy: 3042
(386.28) Vậy gạch xọc 386,28 cm2.
Ấn phím tiếp: 	(42.92)
TØ sè cña diÖn tÝch phÇn g¹ch xäc vµ diÖn tÝch viªn g¹ch lµ 42,92%.
§¸p sè: 386,28 cm2; 42,92 %.
4.4.3. Bài tập áp dụng
Bài 1. Một đường tròn nội tiếp trong một hình vuông có cạnh bằng 2,3358909 , sau đó nội tiếp trong hình tròn đó một hình vuông và quá trình đó cứ tiếp diễn như thế mãi. Nếu gọi là tổng các diện tích của n hình tròn đầu tiên nội tiếp như thế. 
Tính . 
Bài 2. Cho đường tròn tâm O bán kính . Hai dây AB và CD của đường tròn vuông góc với nhau và cắt nhau tại P. Biết ; 
a) Tính 
b) Tính diện tích tứ giác.
Bài 3. (Đề số 11- PGD Mê Linh) Cho đường tròn tâm O bán kính . Hai dây AB và CD của đường tròn vuông góc với nhau và cắt nhau tại P. Biết .
a) Tính , trong đó α là số đo góc OPC.
b) Tính diện tích tứ giác ACBD
Bài 4. Một ngôi sao năm cánh đều có khoảng cách giữa hai đỉnh không liên tiếp là 9,651 cm. Tìm bán kính đường tr