Đề tài Các dạng toán tính thể tích khối đa diện - Nguyễn Văn Khánh

đã đưa thêm các câu a),b),c) với mục đích giúp các em biết xác định được các điểm E,F và tái hiện nhớ lại các kiến thức cũ 
FBài tập tương tự: 
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với 
BA=BC=a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với (SAB) một góc 30o. 
 Tính thể tích hình chóp . Đs: V = 
Bài 2: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy (ABC) và SA = h ,biết rằng tam giác ABC đều và mặt (SBC) hợp với đáy ABC một góc 30o .Tính thể tích khối chóp SABC . Đs: 
Bài 3: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A 
 bằng 60o và SA (ABCD) ,biết rằng khoảng cách từ A đến cạnh SC = a.
 Tính thể tích khối chóp SABCD. Đs: 
Bài 4: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B 
 biết AB = BC = a , AD = 2a , SA (ABCD) và (SCD) hợp với đáy một góc 60o 
 Tính thể thích khối chóp SABCD. Đs: 
 Bài 5: 
Cho ∆ ABC vuông cân ở A và AB = a .Trên đường thẳng qua C vuông góc với (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a . Mặt phẳng qua C vuông góc với BD,cắt BD tại F và cắt AD tại E .
Xác định mp qua C vuông góc với BD .Chứng minh ∆ CEF vuông 
Tính thể tích khối tứ diện ABCD 
Tính thể tích khối tứ diện CDEF 
FNhận xét: Đây là bài tập 5 trang 26 sách hình học 12 : Cho ∆ ABC vuông cân ở A và AB = a .Trên đường thẳng qua C vuông góc với (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a . Mặt phẳng qua C vuông góc với BD,cắt BD tại F và cắt AD tại E .Tính thể tích khối tứ diện CDEF
Học sinh không thể hình dung Mặt phẳng qua C vuông góc với BD là mp phải được xác định như thế nào? nên để ôn cũ luyện mới , phù hợp khả năng phát triển tư duy ,đi từ dễ đến khó tôi bổ sung thêm câu a) và b) 
Bài 6: Cho hình chóp O.ABC có ba cạnh OA,OB,OC vuông góc với nhau từng đôi một và OA=OB=OC = a . 
Tính thể tích khối chóp O.ABC 
Gọi H là trực tâm của ∆ ABC .Chứng minh rằng :OH ^ (ABC) 
Tính thể tích khối chóp O.HBC
F Nhận xét: Bài tập nầy là trường hợp đặc biệt của bài tập 5 trang 26 hình học 12 : Cho hình chóp O.ABC có ba cạnh OA,OB,OC vuông góc với nhau từng đôi một và OA=a,OB=b,
OC=c.Hãy tính đường cao OH của hình chóp và cũng là đề bài tập 4 trang 105 hình học 11: 
 Cho tứ diện O.ABC có ba cạnh OA,OB,OC vuông góc với nhau từng đôi một.Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O tới mp(ABC) .Chứng minh rằng :
H là trực tâm của ∆ ABC
 HS không thể nhớ cách giải bài nầy để giải giải bài kia , đồng thời với đề bài tập 5 như vậy 
đại đa số học sinh không định hướng được xác định đường cao OH như thế nào để tính ra OH .Do vậy vừa ôn cũ luyện mới tôi đã cải biên lại phân ra những yêu cầu nhỏ , bài toán sẽ 
phong phú và có nhiều cách giải hay hơn . 
Bài 7: (Đề Tuyển sinh ĐH-CĐ – khối B năm 2006)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,AD=a,SA=a và SA vuông góc với mp(ABCD) .Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và SC ;I là giao điểm của MB và AC ,Chứng minh rằng (SAC) ^ (SMB) .Tính thể tích khối tứ diện ANIB
 ™™™&™™™
Daïng: Khoái choùp coù moät maët beân 
 vuoâng goùc vôùi ñaùy
 Công thức tính thể tích khối chóp: V=Bh 
 với 
Kieán thöùc caàn bieát
Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy, đường cao chính là đường cao của mặt bên đó xuất phát từ đỉnh của khối chóp 
Ví duï minh hoïa:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a.Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáyABCD
a) Xác định và tính đường cao của khối chóp S.ABCD.
b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
FCách giải: 
 +Biểu diễn hình vẽ : 
• Đáy ABCD là hình vuông được biểu diễn bỡi hình bình hành 
• Đỉnh S được lấy sao cho thể hiện mp(SAB) đứng ,vuông góc 
mp nằm ngang (ABCD) 
+ Phân tích: a) 
• Nếu trong ∆ ABC , dựng đường cao SH thì SH có là đường cao của khối chóp S. ABCD không ? Tại sao? 
• Nhớ lại công thức tính đường cao SH của tam giác đều ? 
 b) 
• Tính thể tích khối chóp S.ABCD tính theo công thức nào? h = SH . Tìm diện tích B của hình vuông ABCD bằng công thức nào ? → Thể tích cần tìm 
FLời giải: 
a) Xác định và tính đường cao của khối chóp S. ABCD
• Trong ∆ ABC , dựng đường cao SH ,vì (SAB) ^ (ABCD) 
⇒ SH ^ (ABCD) Vậy SH là đường cao của khối chóp S. ABCD
• ∆ SAB đều cạnh a nên SH = 
b)Tính thể tích khối chóp S.ABCD
FNhận xét: 
• Hình vẽ biểu diễn không nổi bật ,thể hiện (SAB)(ABCD) 
• Học sinh không biết xác định đường cao của khối chóp trong trường hợp khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy 
 Ì	
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác vuông cân tại D , (ABC)(BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60o ,AD = a.
Tính thể tích tứ diện ABCD
FCách giải: 
+Biểu diễn hình vẽ : 	
Biểu diễn tứ diện ABCD thể hiện sao cho ∆ ABC nằm trong mp thẳng 
đứng , ∆ BCD nằm trong mp nằm ngang do (ABC)(BCD)
+Phân tích: 
• Coi tứ diện như là hình chóp A.BCD .Vậy hình chóp nầy 
có một mặt bên nào vuông góc với đáy ? → Xác định được đường 
cao SH → hình chiếu của AD trên mp(BCD) → góc giữa AD
với (BCD) là góc nào ? 
• Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? 
• Tìm diện tích B của BCD bằng công thức nào ? 
• Tìm h = AH qua tam giác nào bởi công thức gì ?
F Lời giải: 
• Gọi H là trung điểm của BC.Ta có tam giác ABC đều nên AH(BCD) ,
 mà (ABC) (BCD) AH AH là đường cao của hình chóp A.BCD 
• Ta có HD là hình chiếu của AD trên (BCD) =60o AHD là nửa t/g đều cạnh a AH = , HD= , BC= 2HD=a 
• V = 
FNhận xét: 
• Học sinh không biết tứ diện ABCD xem như là hình chóp đỉnh A , hình vẽ biểu diễn không nổi bật ,thể hiện (ABC)(BCD) 
• Học sinh không biết : Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy, đường cao chính là đường cao của mặt bên đó xuất phát từ đỉnh của khối chóp 
• Học sinh không xác định được góc hợp bởi đường thẳng với mặt phẳng.
• Học sinh quên tính chất đường cao của tam giác đều và tam giác vuông cân
	Ì	
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC = a. Mặt bên SAC vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450. 
Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC
Tính thể tích khối chóp SABC.
FCách giải: 
+Biểu diễn hình vẽ : 
• Biểu diễn hình chóp S.ABC có đáy ABC thể hiện nằm ngang , mp (SAC) thể hiện thẳng đứng vuông góc với mp (ABC) 
• Kẽ SH ^ BC tại H 
+Phân tích: a) 
• Kẽ SH ^ BC tại H → pcm : H là trung điểm cạnh AC pcm BH là 
đường cao hoặc phân giác của ∆ ABC 
• Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB và BC → HI = HJ 
(ABC là tam giác vuông cân tại B) → BH là đường phân giác 
của 
 b) 
• Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? 
• Tìm diện tích B của ABC bằng công thức nào ? 
• Tìm h = SH qua các tam giác nào bởi tính chất gì ?
F Lời giải: 
a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC
• Kẽ SH ^ BC vì mp(SAC) ^ mp(ABC) nên SH ^ mp(ABC). 
• Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB và BC ^ SI và AB, SJ ^ BC, theo giả thiết .Ta có: nên BH là đường phân giác của Từ đó suy ra H là trung điểm của AC.
b) Tính thể tích khối chóp SABC.
HI = HJ = SH = VSABC= 
FNhận xét: 
• Câu a) liên quan nhiều kiến thức hình học ở lớp cấp 2 , không biết chân đường cao của khối chóp chính chân đường cao của ∆ SAC kẽ từ S .Từ đó không biết phân tích đề bài để dẫn đến pcm điều gì để kết luận H là trung điểm của AC 
• Bài toán nếu không giải được câu a) → không tính được SH → không tính được thể tích 
FBài tập tương tự: 
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC đều cạnh a, tam giác SBC cân tại 
 S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC).
Chứng minh chân đường cao của chóp là trung điểm của BC.
Tính thể tích khối chóp SABC. Đs: 
Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông cân tại A với AB = AC = a biết tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC) ,mặt phẳng (SAC) hợp với (ABC) một góc 45o. Tính thể tích của SABC. Đs: 
Bài 3: Cho hình chóp SABC có ; SBC là tam giác đều cạnh a và (SAB) (ABC). Tính thể tích khối chóp SABC. Đs: 
Bài 4: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều;tam giác SBC có đường cao SH = h và (SBC) (ABC). Cho biết SB hợp với mặt (ABC) một góc 30o .Tính thể tích hình chóp SABC. Đs: 
Bài 5: Tứ diện ABCD có ABC và BCD là hai tam giác đều lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau biết AD = a.Tính thể tích tứ diện. Đs: 
Bài 6 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông . Mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao SH = h ,nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD, 
 1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.
 2) Tính thể tích khối chóp SABCD . Đs: 
Bài 7: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật , tam giác SAB đều cạnh a nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) biết (SAC) hợp với (ABCD) một góc 30o .Tính thể tích hình chóp SABCD. Đs: 
Bài 8: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a , BC = 4a, SAB (ABCD) , hai mặt bên (SBC) và (SAD) cùng hợp với đáy ABCD một góc 30o .Tính thể tích hình chóp SABCD. Đs: 
Bài 9: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC = 2BD = 2a và tam giác SAD vuông cân tại S , nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD. Tính thể tích hình chóp SABCD. Đs: 
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AD = CD = a ; AB = 2a biết tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Tính thể tích khối chóp SABCD . Đs: 
Bài 11: (Đề Tuyển sinh ĐH-CĐ – khối B năm 2008)
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a ,SA = a ,SB= a và mp(SAB) vuông góc với mp đáy .Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC . Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM,DN 
	™™™&™™™
Daïng : Tính theå tích khoái choùp baèng caùch laäp tæ soá 
 theå tích hai khoái ña dieän
Kieán thöùc caàn bieát 
 Công thức tỉ số thể tích :
 Cho hình chóp S.ABC, , ta có: 
 Chuù yù: Áp dụng thức trên trong trường hợp là khối chóp tam giác hoặc tứ diện khi tính thể tích khối đa diện trực tiếp theo công thức thì dài dòng,phức tạp trong khi biết được tỉ số thể tích giữa khối đa diện đã cho với một khối đa diện đã biết thể tích 
	Ví duï minh hoïa:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam gi