Đề tài Bài toán nhận dạng tam giác

ng trong bất đẳng thức vừa nêu để chỉ ra tam giác đó có hai góc bằng nhau hoặc hai cạnh bằng nhau
	+ Thông qua biến đổi lượng giác hoặc biến đổi hình học để đưa về kết quả là tam giác đã cho hoặc có hai góc bằng nhau, hoặc có hai cạnh bằng nhau.
	Với dạng toán này ta sẽ nhận xét vai trò của hai yếu tố nào đó trong tam giác (hai cạnh hoặc hai góc) trong điều kiện bài toán là tương tự nhau. Và từ đó ta tìm cách chỉ ra hai yếu tố đó bằng nhau và suy ra tam giác đã cho là tam giác cân.
1. Phương pháp thêm tham số mới
Bài 1. Nhận dạng tam giác biết rằng biểu thức
	đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải
Nhận xét rằng:
Đặt 
Khi đó ta có:
	 với .
Suy ra 
Dẫn đến . 
Do đó . Như vậy ta thấy , xảy ra khi và chỉ khi:
	Vậy biểu thức đã cho đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi tam giác cân tại (đpcm).	
Bài 2. Cho tam giác thỏa mãn điều kiện:
	Chứng minh là tam giác cân.
Lời giải
Viết lại đẳng thức cho dưới dạng tương đương:
	Đặt 
Coi đây là phương trình bậc hai, ẩn là , ta có:
Như thế khi và chỉ khi:
Vậy tam giác ABC cân tại A (đpcm).
2. Sử dụng bất đẳng thức
Bài 3. Cho tam giác ABC có . Chứng minh ABC là tam giác cân.
Lời giải
	Áp dụng công thức đường phân giác trong, ta có:
	 	 	 (1)
	Ở đây ta nhận thấy vai trò của b và c như nhau, nên ta sẽ chứng minh . Giả thiết phản chứng , khi đó ta có thể giả sử rằng (vì nếu không ta sẽ lí luận tương tự). 
	Từ đó ta sẽ có và suy ra .
	Suy ra 	 (2)
	Cũng do nên 	 (3)
	Từ (2) và (3) suy ra: 
	 (4)
	Bất đẳng thức (4) nhận được mâu thuẫn với (1). Điều vô lí ấy chứng tỏ giả thiết phản chứng là sai, do đó phải có .
	Vậy tam giác ABC cân tại A (đpcm).
Bài 4. Tam giác ABC có ba góc đều nhọn và thỏa mãn điều kiện
	Chứng minh rằng ABC là tam giác cân.
Lời giải
	Đẳng thức đã cho tương đương với:
	 (1)
	Vì A, B nhọn nên áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương và , ta có:
	 (vì )
	Vậy nếu A, B nhọn thì:
	Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
	Như vậy, nếu có (1) thì tam giác ABC cân tại C.
	Ta có điều phải chứng minh.
3. Sử dụng các phép biến đổi đẳng thức
Bài 5. Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện:
	.
	Chứng minh ABC là tam giác cân.
Lời giải
Do cả hai vế của đẳng thức đã cho là số dương nên bình phương hai vế ta được đẳng thức tương đương:
Đến đây, áp dụng định lí hàm số sin rồi rút gọn, ta được:
Vậy ABC là tam giác cân đỉnh C (đpcm).
Bài 6. Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện:
Chứng minh rằng ABC là tam giác cân.
Lời giải
Trước hết, theo bài ra ta có:
	 (1)
Ta sẽ tìm một biểu diễn khác của VT(1):
Theo chương 1 ta đã có:
	 (2)
Mặt khác ta có:
Như thế: (3)
Từ (2) và (3) ta được: VT(1) = 
Vậy ta được: 
Từ đây suy ra .
Vậy ABC là tam giác cân tại A (đpcm).
Bài 7. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu thì tam giác ABC cân.
Lời giải
Theo định lí đường trung tuyến trong tam giác, ta có:
Tương tự ta có: 
Ta sẽ chứng minh . Thật vậy, giả sử thì
(Do )
Như thế ta có: (*)
+) Nếu thì (*) trở thành:
	 (vô lí).
+) Nếu thì (*) trở thành:
	 (vô lí).
Vậy trường hợp không thể xảy ra.
Tương tự không thể xảy ra trường hợp 
Vậy , hay tam giác ABC cân (đpcm).
§2. NHẬN DẠNG TAM GIÁC VUÔNG
	Tương tự như §1, bài toán nhận dạng tam giác vuông thường có dạng sau: Cho tam giác thỏa mãn điều kiện nào đó, ta phải chứng minh rằng tam giác đó là tam giác vuông. Cũng như §1, để giải các bài tập loại này, ta cũng thường sử dụng một trong các phương pháp sau:
	+ Phương pháp thêm tham số mới
+ Dựa vào bất đẳng thức
+ Thực hiện các phép biến đổi lượng giác, hình học để đi đến tam giác đã cho có một góc bằng , hoặc đi đến hệ thức Pitago. 
1. Phương pháp thêm tham số mới
Bài 8. Cho tam giác không tù, thỏa mãn điều kiện
	Chứng minh là tam giác vuông cân.
Lời giải
	Đặt 
Xem đây là phương trình bậc hai, ẩn , ta có:
Ta có 
(Do tam giác không tù nên và )
Vậy 
Vậy tam giác vuông cân tại (đpcm).
2. Sử dụng bất đẳng thức
Bài 9. Cho tam giác thỏa mãn điều kiện
	Chứng minh là tam giác vuông.
Lời giải
Đẳng thức đã cho tương đương với:
Đặt , ta được:
Ta có 
Từ đó 
Suy ra , hay tam giác vuông tại (đpcm).
3. Sử dụng các phép biến đổi đẳng thức
Bài 11. Cho tam giác . Kẻ Giả sử tương ứng là chu vi của các tam giác , , , và thỏa mãn hệ thức: .
Chứng minh rằng là tam giác vuông.
Lời giải
Trước hết ta chứng minh phải nằm giữa và . Thật vậy, giả sử nằm ngài BC (và có thể cho là có vị trí như hình vẽ).
Ta có: 
Do nên từ (1) suy ra và suy ra . Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy nằm giữa và .
Khi đó ta có:
 (2)
Từ giả thiết và từ (2) (3) (4) ta có:
Vậy là tam giác vuông (đpcm).
Bài 12. Cho tam giác thỏa mãn điều kiện: 
Chứng minh rằng tam giác vuông. 
Lời giải
	Ta có: (1)
	Bình phương hai vế (1), ta được:
	 (2)
	Theo định lí hàm số sin ta có:
	 (3)
	Từ (2) và (3) suy ra:
	 	 (4)
	Do nên 
	(4) 
	 	 (*)
	Vì nên (*) 
	Vậy tam giác vuông tại (đpcm).
§3. NHẬN DẠNG TAM GIÁC ĐỀU
	Để chứng minh một tam giác là đều, chúng ta có thể chứng minh tam giác đó có ba cạnh bằng nhau, ba góc bằng nhau hoặc hai góc bằng nhau và cùng bằng . Chúng ta sẽ tìm hiểu một số phương pháp sau đây:
1. Phương pháp thêm tham số mới
Bài 13. Cho tam giác thỏa mãn
	Chứng minh tam giác đều.
Lời giải
Ta có:
Coi đây là tam thức bậc hai, ẩn , ta cần có:
Khi đó .
Vậy là tam giác đều (đpcm). 
Bài 14. Cho tam giác thỏa mãn điều kiện
	Chứng minh tam giác đều.
Lời giải
Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng tương đương:
Đặt 
Coi đây là tam thức bậc hai, ẩn , ta có:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
Vậy là tam giác đều (đpcm).
2. Sử dụng 9 bất đẳng thức cơ bản
	Đây là phương pháp nhận dạng tam giác đều bằng cách sử dụng 9 bất đẳng thức cơ bản trong tam giác. Ở đây chỉ nêu ra 9 bất đẳng thức đó mà không trình bày chứng minh cụ thể. Trong mọi tam giác ta có:
	1) 
	2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
Đẳng thức trong các bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi là tam giác đều. Như vậy, nếu từ các giả thiết đã biết, ta đưa giả thiết đó về một trong 9 đẳng thức đạt được trong các bất đẳng thức trên thì tam giác đó là tam giác đều. Đây là nội dung của phương pháp này.
Bài 15. Cho tam giác thỏa mãn điều kiện:
Chứng minh là tam giác đều.
Lời giải
Đưa đẳng thức đã cho về dạng sau:
	 (1)
Áp dụng định lí hàm số cosin suy rộng, ta có:
Suy ra 	 (*)
Lại có: . 	 (**)
Thay (*) và (**) vào (1) và rút gọn, ta được:
	 	 (2)
Do , nên có:
	(2) 	 (3)
Đẳng thức (3) chứng tỏ tam giác ABC đều (đpcm).
Bài 16. Cho tam giác thỏa mãn điều kiện:
	 (A’, B’, C’ lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C). Chứng minh ABC là tam giác đều.
Lời giải
Đặt thì từ các giả thiết suy ra:
 	 (1)
Ta biến đổi đại diện như sau:
Vì thế sau các biến đổi tương tự, từ (1) ta có:
 hay 	 (2)
Đẳng thức (2) chứng tỏ tam giác ABC đều (đpcm).
Bài 17. Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện:
	.
	Chứng minh tam giác ABC đều.
Lời giải
Ta có:
Thay vào điều kiện bài toán và rút gọn, ta được:
Đẳng thức này chứng tỏ ABC là tam giác đều (đpcm).
	Chú ý: Chúng ta có các bài toán tương tự như sau:
Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức . Chứng minh ABC là tam giác đều.
Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức:
 . Chứng minh tam giác ABC đều.
Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức: . Chứng minh tam giác ABC đều.
Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức:
 . Chứng minh tam giác ABC đều.
3. Sử dụng kết hợp 9 bất đẳng thức cơ bản và các kiến thức phụ khác
Bài 18. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn. Đường phân giác góc A cắt BC tại A1, và cắt đường tròn ngoại tiếp tại A2; B1, B2, và C1, C2 được kí hiệu tương tự. Giả sử:
	Chứng minh tam giác ABC đều.
Lời giải
Dễ thấy , nên ta có:
Do đó:
	 	 (1)
Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi . 
Tương tự ta có: 	 (2)
Dấu bằng trong (2) xảy ra khi và chỉ khi . 
Và: 	 	 (3)
Dấu bằng trong (3) xảy ra khi và chỉ khi . 
Từ (1)(2)(3), ta có:
	 	 (4)
Theo bất đẳng thức cơ bản thì 	 (5)
Từ (4)(5) suy ra 
	 	 (6)
Dấu bằng trong (6) xảy ra khi và chỉ khi ABC là tam giác đều.
Vì thế từ giả thiết
suy ra ABC là tam giác đều (đpcm).
Bài 19. Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện:
Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.
Lời giải
Đưa giả thiết đã cho về dạng tương đương sau:
	 	 (1)
Theo bất đẳng thức Cosi, ta có:
	 	 (2)
Dấu bằng trong (2) xảy ra khi và chỉ khi ABC là tam giác đều.
Theo bất đẳng thức cơ bản ta có:
	 	 (3)
Từ (2) (3) suy ra:
	 	 (4)
Dấu bằng trong (4) xảy ra khi và chỉ khi ABC là tam giác đều.
Vì thế từ giả thiết (1) suy ra ABC là tam giác đều (đpcm).
4. Sử dụng mệnh đề
	Đây là một phương pháp thông dụng để nhận dạng tam giác đều nói riêng, cũng như nhận dạng tam giác nói chung.
Bài 20. Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện:
 Chứng minh ABC là tam giác đều.
Lời giải
Ta có:
Vì thế từ giả thiết suy ra
Vậy tam giác ABC đều (đpcm).
Bài 21. Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện:
 Chứng minh ABC là tam giác đều.
Lời giải
Ta có: 
 	 (1)
Do 
nên 
Vậy ABC là tam giác đều (đpcm).
5. Nhận dạng tam giác đều từ một hệ điều kiện
Bài 22. Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện:
 Chứng minh ABC là tam giác đều.
Lời giải
Ta có: 
	 	 (1)
Lại có: 
 (2)
Từ (1) (2) ta có:
Do nên ta phải có:
	 	 (3)
Từ (1) và (3), theo định lí Viet suy ra là hai nghiệm của phương trình:
Vậy ABC là tam giác đều (đpcm).
Bài 23. Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện:
 Chứng minh ABC là tam giác đều.
Lời giải
Theo định lí hàm số sin ta có:
Từ đó suy ra c là cạnh nhỏ nhất trong tam giác, do đó C là góc nhọn và có . Vậy các vế đều dương và ta có:
Từ đây suy ra: 
Suy ra , và ta có .
Kết hợp với điều kiện bài toán, ta được:
Từ (2) ta có:
	 	 (3)
Từ (1) và (3) ta được . Suy ra .
Vậy , hay ABC là tam giác đều (đpcm).
6. Phương pháp bất đẳng thức
Ta đã xét trong các mục 2 và 3 việc sử dụng các bất đẳng thức cơ bản trong tam giác. Đến đây ta không nhắc lại mà sẽ trình bày phương pháp nhận dạng tam giác đều bằng cách sử dụng các bất đẳng thức khác: Cosi, Bunhiacopxki, Chebyshev.
Bài 24. Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện:
 Chứng minh ABC là tam giác đều.
Lời giải
Đưa giả thiết đã cho về dạng tương đương sau:
 (1)
Theo bất đẳng thức