Đề luyện thi Đại học môn Toán năm 2008-2009 có hướng dẫn giải - Đề 2

ON THI ĐẠI HỌC 08-09 
Đề 2
I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (2 điểm). 
 Cho hàm số y = x3 – 3x + 1 có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y = mx + m + 3.
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Tìm m để (d) cắt (C) tại M(-1; 3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc nhau.
Câu II. (2 điểm)
1/ Giải hệ phương trình: 
2/ Giải phương trình : tan2x + cotx = 8cos2x .
Câu III.(1 điểm) 
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = 2x, y = 3 – x , trục hòanh và trục tung.
Câu IV.(1 điểm) 
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, O là giao điểm của AC và BD. Biết mặt bên của hình chóp là tam giác đều và khỏang cách từ O đến mặt bên là d. Tính thể tích khối chóp đã cho.
Câu V. (1 điểm) 
Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta đều có:
II. PHẦN RIÊNG. (3điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần a hoặc b)
Câu VI a.(2 điểm)
1/ Trong mặt phẳng với hệ tọa Oxy ,cho elip (E): và điểm M(1 ; 1) . Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm AB.
2/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng (Q): 2x + y - z = 0 một góc 600
Câu VII a.(1 điểm) 
Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 4x – 4m(2x – 1) = 0
Câu VI b.(2 điểm)
1/ Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxy, cho hai điểm A(1 ; 2), B(1 ; 6) và đường tròn 
(C): (x - 2)2 + (y - 1)2 = 2. Lập phương trình đường tròn (C’) qua B và tiếp xúc với (C) tại A.
2/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0 ; 0 ; c) với a, b, c là những số dương thay đổi sao cho a2 + b2 + c2 = 3. Xác định a, b, c để khỏang cách từ O đến mp(ABC) lớn nhất.
Câu VII b.(1 điểm)
Tìm m để phương trình: có nghiệm trong khỏang (0 ; 1).
HƯỚNG DẪN GIẢI
Đề 2
Câu I.
1/ 
2/ Phương trình hòanh độ giao điểm của (C) và (d): x3 – (m + 3)x – m – 2 = 0
Hay : (x + 1)(x2 – x – m – 2) = 0 
(*) phải có hai nghiệm phân biệt ( m > , xN và xP là nghiệm của (*)
Theo giả thiết: 
Câu II.
1/ Hệ với 
 Đặt: được 
 u, v là nghiệm của phương trình: X2 – 3X + 2 = 0 
 Vậy nghiệm của hệ: (3 ; 2), (2 ; 3)
2/ ĐK: 
 tan2x + cotx = 
Pt sin4x – 1) = 0
Câu III.
Phương trình : 2x = -x + 3 có một nghiệm duy nhất x = 1. Do đó đồ thị hai hàm số cắt nhau tại điểm có hòanh độ x = 1. Vậy diện tích cần tính là:
S = 
Câu IV.
Gọi M là trung điểm CD 
Kẻ đường cao OH của tam giác SOM 
Gọi CM = x. Khi đó: OM = x , SM = x
SO = 
Ta có: SM.OH = SO.OM hay 
Câu V. Theo bất đẳng thức Côsi: 
Nhân vế với vế được bất đẳng thức cần chứng minh.
Câu VIa.
1/ Pt của d: y = k(x – 1) + 1
Tọa độ giao điểm của d và (E) là nghiệm của hệ 
Suy ra: (6k2 + 4)x2 – 2(6k2 – k)x + 6k2 – 2k – 23 = 0 (*)
Để thỏa YCBT thì từ (*) ta có: 
Vậy d : y = -4x + 5 hay 4x + y – 5 = 0
2/ Mp(P) chứa trục Oz nên có dạng Ax + By = 0, và . 
Theo gt: 
Chọn B = 1 ta có : 6A2 + 16A – 6 = 0 suy ra: A = -3 , A = 1/3
Vậy có hai mặt phẳng (P) cần tìm là: x + 3y = 0 và -3x + y = 0.
Câu VII a.
Đặt t = 2x (t > 0) ta có phương trình: t2 – 4mt + 4m = 0 (*)
(*) 
Xét có 
y’ = 0 
Từ bảng biến thiên ta có : m < 0 
Câu VI b. 
1/ (C) có tâm I(2 ; 1) và phương trình của đường thẳng AI: x + y – 3 = 0.
Pt của (C’) : x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 có tâm I’(-a ; -b)
A(1 ; 2), B(1 ; 6) thuộc (C’) và tâm I’ thuộc đường thẳng AI. Ta có hệ phương trình:
 , giải hệ được a = 1, b = -4, c = 9
 Pt của (C’) : x2 + y2 + 2x – 8y + 9 = 0
2/ Pt mp(ABC): 
Theo bất đẳng thức Côsi : và 3 = a2 + b2 + c2 
Ta có : 
Dấu = xảy ra khi a2 = b2 = c2 hay a = b = c = 1
Vậy d lớn nhất bắng khi a = b = c = 1
Câu VII b. 
 Pt đã cho (*)
 Đặt 
 (*)
 Xét hàm số y = -t2 – t có y’ = -2t – 1
 y’ = 0 
 t - - 0
 y’ + 0 - 
 y 
 - 0 
 ĐS : m