Đề khảo sát học sinh Khá giỏi lần 2 môn Toán lớp 12 năm 2009

Đề Khảo sát HS khá giỏi lần 2 năm 2009
môn: Toán - lớp 12
Thời gian làm bài : 150 phút
A/ Phần chung cho tất cả các thí sinh
CâuI (2 điểm) Cho hàm số (1)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
CMR: Khi m thay đổi đường thẳng (d): mx – y +m + 2 = 0 luôn cắt đồ thị (C) tại một điểm A cố định. Hãy tìm m để đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại 3 điểm A, B, D phân biệt sao cho tiếp tuyến của (C) tại B và D vuông góc với nhau. 
CâuII ( 2 điểm ) 
1) Giải hệ phương trình: 
2) Giải phương trình sau: 
Câu III ( 3 điểm )
Cho hỡnh trụ cú đỏy là 2 hỡnh trũn tõm O và tõm O’, bỏn kớnh đỏy bằng chiều cao và bằng a, trờn đường trũn (O) lấy điểm A, trờn đường trũn (O’) lấy điểm B sao cho AB=2a. Tớnh thể tớch của khối tứ diện OO’AB.
Tính tích phân sau: hoặc 
Câu IV ( 1 điểm) ( TS khối B và khối D không phải làm câu này )
 Chứng minh rằng phương trình: có nghiệm thực duy nhất.
B/ Phần dành riêng: (Thí sinh chỉ được chọn câu V.a hoặc V.b để làm bài)
Câu V.a. Chương trình chuẩn ( Khối A: 2 điểm – Khối B và D: 3 điểm )
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, biết SA = a, SB = và mặt
phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính thể tích khối chóp S.BMDN theo a.
 2) Giải phương trình sau: 
Câu V.b. Chương trình nâng cao ( Khối A: 2 điểm – Khối B và D: 3 điểm )	
 1) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 4 điểm A (3;3;0) ; B (3;0;3) ; C ( 0;3;3) ; D (3;3;3).
Hãy viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, xác định toạ độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu trên. Tính thể tích khối tứ diện I. ABC và khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng (ABC). Cho biết: ; VH là thể tích khối hộp có 3 kích thước AB, AC, AI.
 2) Giải bất phương trình sau: 
Hết
Lưu ý: Nếu thí sinh làm cả câu V.a và V.b thì phần làm riêng sẽ không được chấm.
(HS không được sử dụng bất cứ tài liệu gì )
Họ và tờn thớ sinh:.SBD:
Hướng Dẫn chấm thi Khảo sỏt HS khỏ giỏi 
môn: Toán lớp 12
Câu
ý
Nội dung
Điểm
I
2
1
Cho hàm số: (1)
+ TXĐ: D = R 
+ ; y’ = 0 
+ Tìm giới hạn tại vô cực
+ Bảng biến thiên 
 x -1 1 + 
 y’ + 0 - 0 +
 2 + 
 y 
 -2
+ cực tri
+ Khoảng đơn điệu .......................................................................
+Đồ thị 
 Nhận xét .............................................................................................
0.25
0.25
0.25
0.25
2
PT: mx – y +m + 2 = 0 
+) Điểm cố định của (d) là A(-1; 2) rõ ràng A suy ra (d) luôn cắt đồ thị (C) tại điểm A(-1; 2) cố định.
 Hoành độ các điểm A, B, D là nghiệm củ PT: 
Hay vì x=-1 luôn là nghiệm
+) (d) cắt (C) tại 3 điểm A, B, D phân biệt có 2 nghiệm phân biệt khác -1
+) Tiếp tuyến của (C) tại B và D vuông góc với nhau 
Trong đó xB; xD là nghiệm của PT (*) theo vi – ét ta có:
+) suy ra 9m2 + 18m + 1 = 0 giải PT này ta được: thoả mãn (**)
0.25
0.25
0.25
0.25
II
2
1
Giải hệ phương trình 
1 đ
+)
+)
Đặt Hệ (*) trở thành 
.............................................................................................
+ Với u = 0, ta có hệ và .............
+ Với u = , ta có hệ
 và y = 
 Vậy hệ có 2 nghiệm là: và 
0.25
0.25
0.25
0.25
2
Giải phương trình 
1
 Phương trình: 
+) .................................................
Đặt ...............................................................................................
 +) PT trở thành 3t3 + 4t2 – t - 2=0 (t+1)2(3t-2)=0 ....................... 
 +) Với t = x=1 và kết luận ................................................................ 
(Yêu cầu HS phải trình bày lời giải chi tiết.)
0.25
0.5
0.25
III
3
1
Cho hình trụ.......
2.0
+) Kẻ đường sinh AA’, D là điểm đối xứng của A qua O’
H là hỡnh chiếu của B lờn A’D
Do 
 BH là đường cao hạ từ đỉnh B của khối tứ diện 
 +) 
+) Ta cú 
 đều cạnh a 
+)vuụng cõn cạnh a dt(AOO’)=
0.5
0.25
0.5
0.25
0.5
2
Tính tích phân 
1.0
*)Do định nghĩa, nên tích phân trên không tồn tại trên vì hàm số dưới dấu tích phân không liên tục trên . HS lập luận rõ ý này thì cho điểm tối đa: 1.0điểm 
*) Nếu HS vẫn tính bình thường để có kết quả là: (3+ ln2) và cách giải “đúng” thì chỉ cho 0.5điểm ( nếu không hoàn chỉnh thì cho 0.25 điểm để động viên )
Hãy giải bài toán này khi thay cận trên là 
Tớnh tớch phõn 
Ta cú: ta cú ..................
Đặt t = dt = với x = 0 thỡ t = 0 và x = thỡ t = .
Suy ra: I = ...................
= = 
IV
Chứng minh
1
+) Cho phương trình: (1)
 Đặt t = 
 Pt (1) (*) 
+)Từ pt đó cho , do đú t > , từ đú suy ra [(x+t)(x2+t2)+4]>0
 Vậy (*) x=t và Phương trỡnh đó cho ..
+) Xột hàm số f(x)= x4-4x-1 trờn (1;+)
 Ta cú f’= 4x3-4 =0
Ta cú f’(x)>0, đb trờn(1;+) và cú f(1) = -1<0 ;
 Đồ thị f(x) luụn cắt Ox tại một điểm duy nhất trờn (1:+). Vậy pt cú nghiệm duy nhất. .. .. 
0.25
0.25
0.5
V.a
Chương trình chuẩn (Khối A: 2 điểm ; Khối B, D: 3 điểm)
1
Cho hình chóp: Khối A (1 điểm ) Khối B, D ( 1.5 điểm )
 S
 A
 D
 H
 M
 I
 B N C
+) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên AB, suy ra SH (ABCD) do đó SH là đường cao của khối chóp S.BMDN
Ta có: SA2 + SB2 = a2 + 3a2 = 4a2 = AB2 nên tam giác SAB vuông tại S suy ra 
+) SM = 1/2AB = a. Vậy SAM là tam giác đều cạnh a suy ra đường cao SH = 
Vì AC BD suy ra MN BD vậy diện tích tứ giác BMDN là 
 S = mà BD = và MN = 
+ Tính diện tchs đáy suy ra S = 
+) Tính thể tích khối chóp là: (đvtt)
Lưu ý: HS có thể CM diện tích tứ giác BMDN bằng nửa điện tích hình vuông ABCD
0.25
(0.5)
0.25
(0.5)
 0.25
0.25
2
Giải phương trình..Khối A (1 điểm ) Khối B, D ( 1.5 điểm )
+ Với điều kiện 
Phương trình đã cho 
+) Giải phương trình 
+) Giải phương trình: Đặt log3(x-2) = t ta có:
 vì t 0
+) Ta có: 
Vậy phương có nghiệm là: x = 7 ; x = 5 và x = 
0.25
(0.5)
0.25
0.25
0.25
(0.5)
V.b
Chương trình nâng cao ( Khối A: 2 điểm ; Khối B, D: 3 điểm)
1
Trong không gian cho Khối A (1 điểm ) Khối B, D ( 1.5 điểm )
+) Phương trình mặt cầu cần tìm có dạng:
 (*) Trong đó: a2+b2+ c2- d > 0 (**)
Thay toạ độ các điểm A, B, C và D vào (*) ta có hệ :
 Giải hệ trên và đối chiếu với điều kiện (**) ta được phương trình mặt cầu cần tìm là: 
+) phương trình có thể viết là: Ta có 
A = ; B = ; C = và d = 0 nên toạ độ tâm I mặt cầu: I ( và bán kính R = 
+) Thể tích khối tứ diện I.ABC bằng 1/6 thể tích khối hộp có 3 cạnh là: AB, AC, AI
Ta có: 
các véc tơ: ; ; 
 Ta có: 
Suy ra thể tích khối tứ diện là: 
 ( ddvtt)
+) Gọi khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mp(ABC) là h thì .
Lưu ý: Nếu HS dùng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng thì không cho điểm vì theo PPCT chưa học tới
0.25
(0.5)
0.25
0.25
(0.5)
0.25
2
Giải bất phương trìnhKhối A (1 điểm ) Khối B, D ( 1.5 điểm )
+) (1)
(1) Chia 2 vế cho ta được:
+) Đặt thì vì (*)
Ta có: 
+) Giải: 
+) Giải:
 Kết luận: và 
L ưu ý: Nếu HS giải theo những các khác thì vận dụng thang điểm trên để chấm, đề nghị vận dụng đúng đáp án, chấm đủ, đúng và chính xác để trả bài cho HS.
0.25
(0.5)
0.25
0.25
0.25
(0.5)