Đề cương ôn thi THPT Quốc gia năm học 2014-2015 - Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỉ - Hoàng Đăng Hưng

*)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .
Cách 2:(Liên hợp hoàn toàn)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .
Cách 3:(Phương pháp đánh giá)
Ta có: ( Theo bất đẳng thức Cô si)
Do đó . Thử lại thấy thỏa mãn. 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .
Bài 2. (Trích đề thi thử Đại học khối A tỉnh Bắc Ninh năm học 2012 – 2013)
Giải hệ phương trình 
Lời giải:
 (vì ) 
Thế vào phương trình (2) ta có 
Xét hàm số đồng biến trên . 
Phương trình (3) .
..
Vậy hệ phương trình có nghiệm .
Bài 3. Giải hệ phương trình: 
Lời giải:
 ( Vì x =y =0 không là nghiệm của hệ )
Thế vào pt (2) ta có (*)
Ta giải phương trình (*) trên tập . 
Thật vậy: xét , Đặt , 
Pt(*) trở thành: 
 ( Do không là nghiệm của pt)
Vì 
Mà phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm nên pt(*) có 3 nghiệm như trên
Kết hợp với điều kiện ta có 
Từ đó tìm được nghiệm của hệ phương trình.
Bài 4. (Trích đề kiểm tra năng lực giáo viên THPT tỉnh Bắc Ninh năm học 2012-2013)
Giải hệ phương trình: 
Lời giải:
ĐK: 
Ta có 
Do đó, 
Với ta có 
Xét hàm số 
Do 
Từ đó suy ra 
Thử lại thỏa mãn hệ phương trình.
Bài 5: Giải hệ phương trình .
Lời giải: 
ĐK .
Nhận xét: không là nghiệm của hệ. Do đó hoặc 
Thay vào phương trình (2) ta có.
, Vì 
Ta có , với 
Do đó ta có 
Vậy hệ phương trình có nghiệm .
Bài 6: Giải hệ phương trình .
Lời giải: 
	ĐK .
Ta có: 
Mà 
Xét hàm số 
 đồng biến trên 
Khi đó phương trình 
Thế vào phương trình (2) ta có 
Vậy hệ phương trình có nghiệm .
7. Một số bài tập tham khảo
Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau:
1) 
2) 
3) 
4) ( Trích đề thi HSG Đắc Lắc 2013)
5) (Trích đề thi HSG TP HCM 2013) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
13) 14) 
15) 16) 
17) 18) 
19) 20) 
21) 
22) ( Trích đề thi HSG Nam Định 2013)
23) (Trích đề thi HSG Ninh Bình 2012)
24) (Trích đề thi HSG TP HCM 2013)
25) ( Trích đề thi chọn đội tuyển QG – Hà Nội) 
26) 
 (Trích đề thi chọn đội tuyển QG – Kon Tum 2013)
27) 
 (Trích đề thi chọn đội tuyển QG – TP HCM 2013)
28) 
29) 
CHUYÊN ĐỀ 11: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ VỚI CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ
Biên soạn và sưu tầm: Nguyễn Minh Nhiên – Sở GD&ĐT
Trong những năm gần đây, bài toán cực trị trong các đề thi tuyển sinh đại học đa phần là bài toán khó nhất đề thi. Để giải quyết các bài toán này đòi hỏi thí sinh phải có nhiều kỹ này quan trọng khi giải các bài toán cực trị. Chuyên đề này đưa ra một số cách tiếp cận bài toán cực trị bằng phương pháp hàm số.
1. Phương pháp khảo sát hàm đặc trưng
Ví dụ 1. Chứng minh rằng
a) 
b) thỏa mãn x + y + z = 3.
Lời giải: 
a) Xét hàm số . Ta có 
và 
Ta có bảng biến thiên
x
 1 
f’(x)
 + 0 -
f(x)
 2 
-1 1
Từ bảng biến thiên suy ra .
b) Áp dụng câu a ta có 
Tương tự 
Cộng từng vế các BĐT (1), (2) và (3) ta có
 (đpcm).
Ví dụ 2. Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng .
Lời giải: 
Xét hàm số trên R. Ta có
và .
Ta có bảng biến thiên
x
 0 
f’(x)
 - 0 +
f(x)
 0
Suy ra 
Ví dụ 3. (Trích đề thi đại học khối D năm 2006)
Chứng minh rằng .
Lời giải:
 	Ta có 
Xét hàm số với x > 0. Ta có
,
nên f là hàm nghịch biến trên . Do đó (đpcm).
Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng 
.
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi ta có .
Bài 3: Chứng minh rằng .
Tổng quát: Với a, b > 0 và x > y > 0 ta có .
Bài 4: Cho . Tìm GTLN của .
Bài 5: (VMO, 2004) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức .
Bài 6: Cho các số không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện: xy + yz + xyz = 4. CMR: 
.
2. Phương pháp dồn dần về một biến
Đối với các bài toán cực trị nhiều biến, ta thường phối hợp với phương pháp chặn các biến bằng cách: sử dụng BĐT AM-GM, BĐT Cauchy-Schwarz, BĐT phụ hoặc sử dụng hàm số,....đưa dần về một biến để khảo sát.
Ví dụ 1. Cho ba số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Lời giải
Nhìn biểu thức của ta thấy có sự xuất hiện của cả ba biến số mà ta không thể quy trực tiếp về một biến số ngay nếu chỉ sử dụng giả thiết. Nhưng ta lại thấy là biểu thức có đối xứng với , do đó ta dự đoán giá trị nhỏ nhất đạt được khi hai biến bằng nhau. Ta chứng minh và sử dụng bất đẳng thức , đẳng thức xảy ra khi hai biến số và bằng nhau. Khi đó ta có . Bây giờ thì việc giải quyết bài toán khá là dễ dàng bằng cách khảo sát hàm số trên khoảng . 
Ta có , . Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng ta có:
 , suy ra .
Vậy khi và chỉ khi . 
Ví dụ 2. Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì
.
Lời giải
 Đặt . Do vai trò của a, b, c bình đẳng nên không nghịch biến tổng quát ta có thể giả sử .
Từ a + b + c = 3 và a + b > c suy ra (2). 
Ta biến đổi
Do 2 – 3c > 0 và , suy ra 
Ta có , nên f(c) đồng biến trên . Vì vậy, .
Đồng thời . Với giả thiết và a + b + c = 3 và (3) suy ra a = b = 1, tức là tam giác ABC đều.
Ví dụ 3. (Trích đề thi thử ĐH khối B tỉnh Bắc Ninh năm 2013)
Cho hai số thực với . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
Lời giải 
Ta có dấu bằng xảy ra khi 
Lấy . Vì nên
Dấu bằng xảy ra khi (với hoặc không xảy ra dấu bằng)
Bây giờ ta đi tìm GTNN của 
Mà . Vậy đạt được khi .
Ví dụ 4. (Trích đề thi khối A năm 2011)
 Cho x, y, z là các số thực thuộc đoạn [1; 4] và . Tìm GTNN của biểu thức
.
Lời giải
 	Trước hết ta chứng minh với mọi a, b dương, thì
 (*)
Thật vậy, ta có luôn đúng do a, b dương và .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b hoặc ab = 1.
Áp dụng (*) với x, y thuộc đoạn [1; 4] và ta có
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hoặc (1)
Đặt , khi đó .
Xét hàm ta có .
Suy ra, .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi (2)
Do đó. Từ (1) và (2) suy ra dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 9, y =1, z = 2.
Ví dụ 5. (Trích đề thi khối A năm 2014) 
	Cho x, y, z là các số thực không âm và thỏa mãn điều kiện .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Lời giải
	Ta có , dấu bằng xảy ra khi 
Ta lại có 
Do đó, 
Dấu bằng xảy ra khi hoặc .
Ví dụ 6. ( Đề thi chọn HSG QG THPT bảng B, 1999)
Xét phương trình với a, b là các số thực, , sao cho các nghiệm đều là số thực dương. Tìm GTNN của .
Lời giải
Gọi u, v, s là ba nghiệm thực dương của đa thức . Theo định lý Viete ta có
.
Từ đó suy ra a > 0, b > 0. 
Đặt . Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số dương ta có
.
Mặt khác, .
Do đó 
Từ (1), (2) và (3) ta có
Xét hàm số với .
Ta được . Dấu bằng xảy ra khi . Suy ra .
Đẳng thức xảy ra khi , tức là . Vậy .
Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho các số dương a, b, c với .Chứng minh rằng
.
Bài 2. Cho a, b, c > 0 thỏa mãn . Chứng minh rằng
Bài 3. Cho các số x, y, z thay đổi trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn . Tìm GTLN và GTNN của .
Bài 4. (IMO, 1984) Cho x, y , z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng
.
Bài 5. Cho x, y , z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm GTNN của 
.
Bài 6. (Trích đề khối B năm 2012) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện và Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Bài 7. Cho các số thỏa mãn . Chứng minh rằng
.
Bài 8. Cho ba số thực không âm thỏa mãn . Chứng minh rằng 
.
Bài 9. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn . Tìm GTLN của biểu thức
.
Bài 10. Chứng minh rằng nếu là độ dài các cạnh của một tam giác thì 
.
3. Phương pháp khảo sát hàm số theo từng biến
Đối với bài toán cực trị nhiều biến, ta có thể chọn một biến là biến số biến thiên và cố định các biến còn lại, bài toán đưa về việc khảo sát hàm một biến.
Ví dụ 1. Cho ba số thực , chứng minh rằng:
Lời giải
Bài toán hoàn toàn đối xứng với ba biến số, nên không mất tính tổng quát, ta giả sử , coi là biến số và coi là tham số trong hàm số 
Ta có 
và với mọi và . 
Điều đó chứng tỏ là hàm số đồng biến, suy ra 
 ( do ). 
Đến đây ta suy ra là hàm số đồng biến, như vậy . 
Vậy bài toán đã chứng minh xong!
Ví dụ 2. Cho . Tìm GTLN của biểu thức .
Lời giải 
Đặt . Xét hai trường hợp sau:
* TH1: . Ta có 
Suy ra, .
Mặt khác, 
Suy ra, 
Ta có, 
Bảng biến thiên
 b
 1 3
 + -
Từ bảng biến thiên suy ra .
* TH2: . Từ TH1 ta có . Mặt khác
.
Suy ra , .
Vậy , đạt được khi và chỉ khi .
Ví dụ 3. Cho . Tìm GTLN của biểu thức .
Lời giải
 Đặt . Ta có
và liên tục trên 
Nên f’(c) nghịch biến trên [0; 1]. Suy ra
Suy ra, f(c) đồng biến trên [0; 1]. Do đó
.
Ta có 
Nên g’(a) nghịch biến trên [0; 1]. Suy ra,
Suy ra g(a) đồng biến trên [0; 1]. Do đó, .
Ta có .
Suy ra h(b) đồng biến trên [0; 1], nên . 
Với a = b = c = 1 thì .
Ví dụ 4. (Đề thi VMO bảng A 1999)
Xét các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc + a + c = b. Tìm GTLN của biểu thức
.
Lời giải
 Biến đổi giả thiết thành a + c = b(1 - ac) > 0. suy ra 
Thay (1) vào biểu thức P và biến đổi được 
Xét hàm số với 0 0). 
Ta có 
Trên thì có nghiệm duy nhất là (3) với . Qua thì f’(x) đổi dấu từ dương sang âm nên f(x) đạt cực đại tại nên 
Từ đó theo (2) ta có .
Xét hàm số g(c) với c > 0. Ta có .
Với c > 0, thì g’(c) = 0 tại va qua thì g’(c) đổi dấu từ dương sang âm nên g() là giá trị cực đại, suy ra .
Giá trị đạt được khi theo (1) và (3).
Ví dụ 5. (Đề thi VMO năm 2001) Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn hệ điều kiện
Hãy tìm GTLN của biểu thức .
Lời giải
 Từ điều kiện (1) và (2) suy ra (4)
a) Xét hàm số với x > 0 và tham số . Xét hai trường hợp
* Nếu thì theo (4) nên (5)
* Nếu thì theo (4) nên .
Xét hàm số g(z) với . Ta có.
Do đó g(z) là hàm nghịch biến và (6)
So sánh (5) và (6) ta có và (7)
b) Xét hàm số với tham số 
Từ điều kiện (1) và (3) suy ra (8)
Lập luận tương tự phần a) ta được 
* Nếu thì (9)
* Nếu thì (10)
So sánh (9) và (10) ta có và (11)
So sánh kết quả phần a) và b) ta có 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy maxP = 13.
 Ví dụ 6. Chứng minh rằng nếu thì . 
Lời giải
Ta coi một trong ba số là một biến số của hàm số, chẳng hạn là , khi đó ta đặt và ta đi xét hàm số , 
Đặt . 
Khi đó , . 
Ta có 
Như vậy, ta luôn có , 
trong đó và . 
Ta xét tiếp trên đoạn có , 
trong đó và có 
Như vậy, 
Xét lần nữa và trên đoạn có , từ đó suy ra với mọi . 
Xét tương tự đối với trên đoạn ta cũng có 
.
Vậy , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Bài tập tự luyện
Bài 1: Chứng minh rằng .
Bài 2: Cho a, b, c là độ dài