Đề cương ôn tập học kỳ I môn Toán 11

t diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (IJM).
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD, M là điểm trên cạnh BC, N là điểm trên cạnh SD.
 a) Tìm giao điểm I của BN và (SAC), giao điểm J của MN và (SAC).
 b) DM cắt AC tại K. CMR: S, K, J thẳng hàng.
 c) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (BCN).
 Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD và một điểm M tuỳ ý trong tam giác SCD.
 a) Tìm giao tuyến của mp(SBM) và mp(SAC). 
 Tìm giao điểm của BM và (SAC).
 b) Tìm thiết diện của hình chóp với mp(MAB).
 c) Chứng minh ba đường thẳng AB,CD,(d) đồng quy, trong đó (d) là giao tuyến
 của mp(MAB) và mp(SCD).
 Bài 5: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang hai đáy là AD ; BC .Gọi M ; N là trung điểm AB ; CD và G là trọng tâm DSAD. Tìm giao tuyến của :
a) (GMN) và (SAB)	b) (GMN) và (SCD) 
c) Gọi giao điểm của AB và CD là I ; J là giao điểm của hai giao tuyến của câu a và câu b. Chứng minh S ; I ; J thẳng hàng ?
Bài 6: Cho tứ diện ABCD, I, J lần lượt là hai điểm cố định trên AB, AC và IJ không song song với BC. Mặt phẳng () quay quanh IJ cắt các cạnh CD, BD lần lượt tại M, N.
 a) Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định.
 b) Tìm tập hợp giao điểm P của IN và JM.
 c) Tìm tập hợp giao điểm Q của IM và JN.
 HD:
 a) M, N, K là 3 điểm chung của () và (BCD).
 b) P (ABD) (ACD) P AD
 -Giới hạn: Tập hợp điểm P là đường thẳng AD trừ đoạn AD.
 c) Q (JBD) (ICD) Q KD với K = BJ CI.
 -Giới hạn: Tập hợp điểm Q là đoạn KD.
 Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy AB và CD (AB>CD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB.
Chứng minh: MN // CD
Tìm giao điểm P của SC và mp(AND). Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I. Chứng minh SI // AB //CD. Tứ giác SABI là hình gì?
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q là các điểm lần lượt trên BC, SC, SD, AD sao cho MN //BS, NP //CD, MQ //CD.
Chứng minh PQ//SA.
Gọi K là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh SK //AD //BC.
Qua Q dựng các đường thẳng Qx //SC, Qy //SB. Tìm giao điểm của Qx với (SAB), Qy với (SCD).
HD: b) Giao tuyến SK của (SAB) và (SBC) song song với AD.
 c) Lấy E Î Qx, ==> E = Qx Ç (SAB)
 	 Gọi F = NP Ç Qy 	 ==> F = Qy Ç (SCD)
 Bài 9: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và BC, K là điểm trên cạnh BD sao cho KB = 2KD.
Xác định thiết diện của tứ diện với mp(IJK). Chứng minh thiết diện đó là hình thang cân.
Tính diện tích của thiết diện theo a.
 KQ: b) 
 Bài 10: Cho hình vuông ABCD cạnh a; S là một điểm không thuộc mp(ABCD) sao 
cho tam giác SAB đều, cho SC = SD = a. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của 
SA, SB. M là một điểm trên cạnh AD. Mặt phẳng (HKM) cắt BC tại N.
a)Chứng minh HKNM là hình thang cân.
b)Đặt AM = x ( 0 <=x <=a). Tính diện tích tứ giác HKNM theo a. và x. Tính x để diện tích này nhỏ nhất.
 HD: 
	a) Chứng minh KN = HM à kết luận KHMN hình thang cân
b) Áp dụng định lý cô sin à 
	 à 
 Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD.
Chứng minh MN // (SBC) và (SAD).
Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh SB, SC đều song song với mp(MNP).
Gọi G1 và G2 là trọng tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh G1G2 song song với (SAC).
HD: c) Ta có 
 Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N là 2 điểm bất kỳ trên SB và CD, (a) là mặt phẳng qua MN và song song với SC
Tìm các giao tuyến của (a) với các mặt phẳng (SBC), (SCD) và (SAC)
Xác định thiết diện của (a) với hình chóp S.ABCD
 Bài 13: Cho tứ diện ABCD có AB= a, CD = b. Đoạn IJ nối trung điểm I của AB và trung điểm J của CD. Giả sử AB vuông góc với CD. (a) là mặt phẳng qua M trên đoạn IJ và song song với AB và CD.
Tìm giao tuyến của (a) với mp(ICD).
Xác định thiết diện của (ABCD) với (a). Chứng minh thiết diện đó là hình chữ nhật.
Tính diện tích của hình chữ nhật biết IM =1/3 IJ.
 Bài 14: Cho hình chóp S. ABCD. Đáy ABCD là hình bình hành tâm O. M là một điểm di động trên SC, (a) là mp qua AM và song song với BD.
Chứng minh (a) luôn chứa một đường thẳng cố định.
Tìm các giao điểm H và K của (a) với SB, SD. Chứng minh rằng 
có giá trị không đổi.
Thiết diện của (a) với hình chóp có thể là hình thang được không?
 HD: a) Đường thẳng Ax song song BD.
	 b) Gọi I là giao điểm của AM và HK. Từ S vẽ đường thẳng song song với AC hoặc từ C kẻ đường thẳng song song với AM
	ta có với 
	 c) Thiết diện AKMH không thể là hình thang.
 Bài 15: Cho tứ diên đều ABCD cạnh a. M và P là 2 điểm di động trên các cạnh AD và BC sao cho AM = CP = x ( 0 < x < a). Một mặt phẳng đi qua MP và song song với CD cắt tứ diện theo một thiết diện.
Chứng minh thiết diện là hình thang cân.
Tính x để diện tích thiết diện nhỏ nhất.
 HD: b) Áp dụng định lý hàm số cô sin 
 S nhỏ nhất khí và chỉ khi x = a/2;
 Bài 16: Cho hình chóp S. ABCD đáy là nửa lục giác đều ABCD với BC = 2a, 
AB = AD = CD = a. Mặt bên SBC là tam giác đều. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Cho biết SD vuông góc AC.
Tính SD.
(a) là mp đi qua M trên cạnh BD và song song với SD và AC. Xác định thiết diện của hình chóp S.BCD với (a). Phân biệt 2 trường hợp ( M thuộc đoạn thẳng BO và thuộc đoạn OD)
Tính diện tích của thiết diện theo a và x, với BM = x . Định x để diện tích ấy lớn nhất.
HD: a) SD = 2a
	 b)
	 c) 
PHẦN III: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
 I)Giải các phương trình sau:
1.Sin(2x-150) = Cos(x+450)
 ĐS: x = 200 + k1200 , x = 1500+ k3600
2.
 ĐS: 
3. với < x <
 ĐS: , 
4.Cos(2x+1) = với -< x < 
 ĐS: , , 
5.Tan(3x+2) = với < x <
6. Tan5x.tanx = 1
 ĐS: 
7. 
 ĐS: ,
8. Cos2x + sinx + 1 = 0
 ĐS: 
9. 2 + cos2x + 5sinx = 0
 ĐS: , 
10. 16cos4x -5 = 2cos2x
11. cos2x + sin2x + 2cosx + 1= 0
 ĐS: 
12. 4sin22x + 8cos2x - 9 = 0
 ĐS: 
II)Giải các phương trình sau:
 ĐS: , 
5cosx - 12sinx = 13
 ĐS: với cos= 
Sin4x + sin22x = 
 ĐS: 
3sinx - cos3x = 4sin3x - 1
 ĐS: , 
sin4x - cos4x = sinx - cosx
 ĐS: , 
2sin3x - sin2x +cos2x = 0
 ĐS: , 
tanx - 3cotx = 4(sinx +cosx )
 ĐS: , 
Cos2x - 3sinx cosx - 2sin2x - 1 = 0
 ĐS: , 
Cos2x - 3sinx cosx + 1 = 0
 ĐS: , với tan = 2
 ĐS: 
 ĐS: , với tan = 5
3sin3x + 3cosx sin2x - sinx cos2x - cos3x = 0
 ĐS: , 
Cos3x + sin3x = sinx - cosx 
 ĐS: 
Cos3x + sinx - 3cosx sin2x = 0
 ĐS: , , với tan=1+,tan=1-
2sin2x - 2(sinx + cosx) + 1 = 0
 ĐS: với cos=
2(sinx + cosx) = sinx cosx + 1
 ĐS: với cos=
Sin2x - 12(sinx - cosx) + 12 = 0
 ĐS: 
Sinx + sin(+ x) = 1 - sin2x
 ĐS: , 
Sinx + sin2x + cos3x = 0
 ĐS: , , với sin=
Sin2x + sin(x -) = 1
 ĐS: , , 
 ĐS: 
III)Giải các phương trình sau:
Cotx - tanx = sinx + cosx
 HD: Đưa về pt sinx + cosx = 0 và cosx - sinx = sinxcosx 
Sin4x + cos4x = 
 HD: Sin4x + cos4x = 1 - 2sin2xcos2x = 1-sin22x 
Sin6x + cos6x = 1
 HD: Sin6x + cos6x = 1 - 3sin2xcos2x = 1-sin22x 
Sin4x + cos4x = 
 ĐS: , 
Cos5x sin4x =Cos3x sin2x
 HD: Dùng công thức biến đổi từ tích sang tổng.
Sinx + sin2x + sin3x = Cosx + cos2x + cos3x
 HD: Dùng công thức biến đổi từ tổng sang tích.
Sin2x + sin23x = Cos22x + cos24x
 HD: Dùng công thức hạ bậc.
Cos3x + cos2x - cosx -1 =0
 ĐS: , 
Cotx - tanx + 4sin4x = 
 ĐS: 
2sin22x + sin7x - 1 = sinx
 ĐS: , , 
(1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x
 ĐS: , , .
2(cos4x - sin4x) + cos4x - cos2x = 0
 ĐS: 
Sin4x + cos4x + sinx cosx = 0
 ĐS: 
4cos3x - cos2x - 4cosx - 1 = 0
 HD: Đặt t=cosx đưa về pt: t = 0, 2t2- t -2 = 0 
2sinx + cosx = sin2x + 1
 HD: Giải được sinx = 1/2, cosx = 1
Sin3x + sinx cosx = 1 - cos3x
 ĐS: , 
4cosx - 2cos2x - cos2x - cos4x = 0
 ĐS: , 
 HD: Giải được sinx = 0, sinx = -1/2
Sin6x + cos6x = 2sin2(x +) 
 ĐS: 
Sin3x -cos3x = sinx cos2x - sin2x cosx
 ĐS: , 
2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx
 HD: Giải được sinx = 1, cosx = -1/2
 ĐS: , 
Cosx + cos3x = sin4x
Sin22x - = sin2x
 HD: Đưa về pt bậc 2 theo cos2x.
cos4x + sin4x + cos(x -) sin(3x -) - = 0 
 ĐS: 
3 - tanx(tanx + 2sinx ) + 6cosx = 0
 ĐS: 
Cotx + sinx (1 + tanx tan) = 4
 ĐS: , 
Tanx + cotx = 2(sin2x+ cos2x)
 ĐS: , 
(2cosx - 1) (sinx + cosx) = 1
 ĐS: , 
 ĐS: , 
IV/ Phương trình không mẫu mực:
Giải các phương trình sau:
Cosx + Sinx = 1
Hướng dẫn: Cosx = 0 hoặc Cosx = 1
Sin3x + Cos3x = 2 – Sin4x
Hướng dẫn: VT ≤ 1 ≤ VP. x = + k2
4Cos2x + 3tg2x - 4tgx + 4 = 0
Đáp số: VN
=
Hướng dẫn: 
Hướng dẫn: VT ≤ 2, VP ≥ 2
V/ Phương trình lượng giác chứa tham số:
Định m để phương trình sau có nhiều hơn một nghiệm 
Đáp án: < m < 1 
Cho phương trình: . Định m để phương trình có nghiệm .
Đáp án: -1 ≤ m < 0
Định a để phương trình có nghiệm 
Hướng dẫn: Đặt 
Đỉnh của parabol 
Lập bảng biến thiên 
Định m để phương trình có nghiệm :
Hướng dẫn: Biến đổi
Đặt 
Đỉnh của parabol
Lập bảng biến thiên 
a. GPT: (1)
 b. Định m để phương trình (1) tương đương với phương trình sau:
Đáp án: a. Phương trình (1) 
 b. 
PHẦN IV: TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT
A/TRẮC NGHIỆM:
C©u 1: Mét bé ghÐp h×nh gåm c¸c miÕng gç. Mçi miÕng gç ®­îc ®Æc tr­ng bëi 4 tiªu chuÈn: chÊt liÖu, mµu s¾c, h×nh d¹ng vµ kÝch cì. BiÕt r»ng cã hai chÊt liÖu (gç, nhùa); cã 4 mµu (xanh,. ®á, lam, vµng); cã 4 h×nh d¹ng (trßn, vu«ng, tam gi¸c, lôc gi¸c) vµ cã 3 kÝch cì (nhá, võa, lín). Hái cã bao nhiªu miÕng gç?
	A. 45	B. 96	C. 58	D. 84 
Câu 2: Trong tủ sách có tất cả 10 quyển sách. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho cuốn thứ nhất không kề cuốn thứ hai?
10!	B. 10! – 9!	C. 10! – 9!2!	D. 9!
C©u 3: T¹i mét buæi lÔ cã 13 cÆp vî chång tham dù. Mçi «ng b¾t tay mét lÇn víi mäi ng­êi trõ vî m×nh. C¸c bµ kh«ng ai b¾t tay víi nhau. Hái cã bao nhiªu c¸i b¾t tay?
	A. 78	B. 185	C. 234	D. 312
Câu 4: Từ các số 1, 3, 5, 7, 9 có bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau không bắt đầu bằng số 13?
720	B. 114	C. 120	D. 6
C©u 5: Cã 6 häc sinh vµ 3 thÇy gi¸o A, B, C sÏ ngåi trªn mét hµng ngang cã 9 ghÕ. Hái cã bao nhiªu c¸ch xÕp chç cho 9 ng­êi ®ã sao cho mçi thÇy gi¸o ngçi gi÷a hai häc sinh?
	A. 55012	B. 94536	C. 43200	D. 35684 
C©u 6: Mét hép ®ùng 11 tÊm thÎ ®­îc ®¸nh sè tõ 1 ®Õn 11. Chän ngÉu nhiªn 6 tÊm thÎ. Gäi P lµ x¸c suÊt ®Ó tæng sè ghi trªn 6 tÊm thÎ Êy lµ mét sè lÎ. Khi ®ã P b»ng:
	A. 	B. 	C. 	D.