Đề cương ôn tập học kỳ 2 môn: Toán 11

xf
xx 
 khi 0)(lim)(lim 

xgxf
xxxx 
) : 
 *Phương pháp: Phân tích tử số và mẫu số thành các nhân tử và giản ước. 
q
u
S


1
1 
THPT Bản Ngà Ngô Kiều Lượng 
)(
)(
lim
)()(
)()(
lim
)(
)(
lim
xQ
xP
xQxx
xPxx
xg
xf
xxxxxx  





 
 - Nếu )(xf hay )(xg có chứa biến số dưới dấu căn thì có thể nhân tử số và mẫu số với biểu 
thức liên hợp trước khi phân tích chúng rồi giản ước. 
+) Dạng 

 ( 
)(
)(
lim
xg
xf
xx 
 khi 

)(lim)(lim xgxf
xxxx 
): 
 * Phương pháp : Chia cả tử số và mẫu số cho nx với n là số mũ bậc cao nhất của biến số x. 
- Nếu )(xf hay )(xg có chứa biến số dưới dấu căn thì đưa kx ra ngoài dấu căn (với k 
là số mũ cao nhất của x trong dấu căn) trước khi chia tử số và mẫu số cho lũy thừa của 
x. 
 +) Dạng  (  )()(lim xgxf
xx

 
 khi 

)(lim)(lim xgxf
xxxx 
hoặc 

)(lim)(lim xgxf
xxxx 
): 
 *Phương pháp : Nhân và chia với biểu thức liên hợp(nếu có biểu thức chứa biến số dưới 
dấu căn) hoặc quy đồng mẫu số để đưa về cùng một phân thức (nếu chứa nhiều phân thức). 
 Bài tập: 
 Bài 3. Tính các giới hạn sau : 
 a) 
23
1
lim
4 

 x
x
x
 ; b) 9lim 2
4


x
x
 ;c) )1(lim 24 

xxx
x
 ; 
 d) )532(lim 23 

xx
x
 ; e) 
3
12
lim
2 

 x
x
x
 ;f) 
4
23
lim
22 

 x
xx
x
 g) 
x
xx
x 3
11
lim
2
0


 ; h) 
1
12
lim
3
1 

 x
xx
x
 Bài 4. Tính các giới hạn sau: 
 a) 
x
xx
x 32
14
lim
2



 ; b) )1(lim 2 xxx
x


3.Hàm số liên tục: 
 Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số )(xfy  tại điểm x : 
 * Phương pháp : Dựa vào định nghĩa tính liên tục của hàm số tại 1 điểm 
 + Tính )(lim xf
xx 
và )( xf 
 + So sánh )(lim xf
xx 
 với )( xf để kết luận. 
 Trường hợp bên trái, bên phải x hàm số được xác định bởi hai biểu thức khác nhau, để 
tìm )(lim xf
xx 
ta cần tìm )(lim xf
xx  
và )(lim xf
xx  
 và lưu ý rằng : LxfxfLxf
xxxxxx

 
)(lim)(lim)(lim

 Dạng 2 : Xét tính liên tục của hàm số )(xfy  trên một tập con của tập R 
 * Phương pháp : 
 + Áp dụng định lí về tính liên tục của hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ,lượng giác. 
 + Nếu hàm số được cho bởi nhiều biểu thức khác nhau, cần nghiên cứu tính liên tục tại 
một điểm. 
 Dạng 3 : Chứng minh PT 0)( xf có nghiệm trên tập RD 
 * Phương pháp : Để chứng minh PT 0)( xf có nghiệm trên tập RD , ta cần tìm hai số a 
và b thuộc D sao cho hàm số )(xf liên tục trên đoạn  ba ; và 0)().( bfaf . 
THPT Bản Ngà Ngô Kiều Lượng 
 Bài tập: 
 Bài 5. Xét tính liên tục của hàm số )(xgy  tại điểm 2x với : 









25
2
2
8
)(
3
xkhi
xkhi
x
x
xg 
 Bài 6. Tìm m để hàm số )(xfy  liên tục trên R, biết rằng : 









31
3
3
34
)(
2
xkhimx
xkhi
x
xx
xf 
 Bài 7. Chứng minh rằng phương trình : 
 a) 0162 3  xx có ít nhất hai nghiệm 
 b) 1sin  xx có ít nhất một nghiệm 
4.Đạo hàm: 
 Dạng 1: Tính đạo hàm hàm số )(xfy  tại điểm x 
 - Nếu yêu cầu tính đạo hàm bằng định nghĩa, cần thực hiện theo 3 bước: 
 +b1: giả sử x là số gia của biến số x tại điểm x , tính )()(  xfxxfy  
 +b2: lập tỉ số 
x
xfxxf
x
y




 )()(  
 +b3: tính giới hạn L
x
xfxxf
x




)()(
lim
0
 
 Lxf  )('  
- Nếu bài toán không nói gì thêm ,sử dụng các công thức và các quy tắc tính đạo hàm của 
một tổng, hiệu, tích, thương để tính )(' xf sau đó tính giá trị của hàm số )(' xfy  tại 
xx  . 
 Dạng 2 : Tính đạo hàm của hàm hợp  )(xgfy  trên tập xác định của nó 
 * Phương pháp : 
 + Đặt )(xgu  
 + Áp dụng các công thức tính đạo hàm và các quy tắc tính đạo hàm của một tổng, hiệu, 
tích, thương. Lưu ý : 
 Dạng 3 : Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (C) của hàm số )(xfy  
+) Loại 1. Tiếp tuyến tại điểm )();( CyxM  có dạng : 
)())(('  xfxxxfy  
+) Loại 2. Tiếp tuyến d song song với đường thẳng d’ cho trước: 
 * Phương pháp : 
''' . xux uyy  
THPT Bản Ngà Ngô Kiều Lượng 
 + Tiếp tuyến d // d’ 'dd kk  
 + Gọi x là hoành độ tiếp điểm, ta có :  yxkxf d )(
' 
 + Phương trình tiếp tuyến cần lập là : 
 yxxxfy  ))((
' 
 +) Loại 3. Tiếp tuyến d vuông góc với đường thẳng d’ cho trước : 
 * Phương pháp : 
 + Tiếp tuyến 
'
1
'
d
d k
kdd  
 + Gọi x là hoành độ tiếp điểm, ta có :  yxkxf d )(
' 
 + Phương trình tiếp tuyến cần lập là : 
 yxxxfy  ))((
' 
 +) Loại 4. Viết phương trình tiếp tuyến )(d với đồ thị hàm số )(xfy  biết tiếp tuyến đi 
qua điểm );( 11 yxA : 
 * Phương pháp : 
 + Bước 1: Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến )(d 
 Phương trình đường thẳng của )(d đi qua điểm );( 11 yxA có hệ số góc k 
là: 11)( yxxky  (*) 
 + Bước 2: Để )(d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số thì hệ phương trình: 
 )(
)(
)()(
'
11 I
xfk
yxxkxf





 có nghiệm . 
 + Bước 3: Nghiệm của hệ phườn trình là hoành độ tiếp điểm x từ đó suy ra y ; suy 
ra )(' xfk   Phương trình tiếp tuyến. 
 * Lưu ý: Hệ (I) có bao nhiêu nghiệm thì tương ứng có bấy nhiêu tiếp tuyến . 
 Bài tập: 
 Bài 8. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau : 
 a) 123  xxy tại 2x 
 b) xy 2sin tại 
6

x 
 c) xy 43 tại 1x 
 d) 
1
1



x
x
y tại 0x 
 Bài 9. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 
 a) 1
5
4
3
2
2
234

xxx
y 
 b) 201227 )5( xxy  
THPT Bản Ngà Ngô Kiều Lượng 
 c) 
xx
xx
y
3
763
2
2


 
 d)  132 




  xx
x
y 
 e) 
x
x
y


1
cos 
 f) 22 cottan xxy  
 Bài 10. Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc vào x : 
 a) xxxxy 2266 cos.sin3cossin  
 b) xxxxxy 22222 sin2
3
2
cos
3
2
cos
3
cos
3
cos 




 




 




 




 
 
 Bài 11. Cho hàm số 23)( 23  xxxf 
 a) Giải bất phương trình : 3)(' xf 
 b) Giải phương trình : 3)(sin" xf 
 c) Giải phương trình : 3)(18)( "'  xfxf 
 Bài 12. Cho hàm số 23 23  xxy có đồ thị (C) . 
 a) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ 1x 
 b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có tung độ 2y 
 c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường 
thẳng : 020123  yx 
 d) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường 
thẳng : 02012902  yx 
 Bài 13. Cho hàm số 
42
52



x
x
y có đồ thị (H). 
 a) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (H) biết tiếp tuyến có hệ số góc 8k 
 b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (H) biết tiếp tuyến đi qua điểm 
 M(-2; 2). 
B-Hình học: Quan hệ vuông góc trong không gian: 
 Dạng 1 .Chứng minh một đẳng thức vectơ : 
 *Phương pháp : Sử dụng : 
 + Quy tắc 3 điểm : 
 + Quy tắc hình bình hành: 
 + Quy tắc hình hộp: 
 + Quy tắc trung điểm: 
 + Trọng tâm của tam giác: 
 + Trọng tâm của tứ diện: 
 + Các tính chất của phép cộng, trừ vectơ và phép nhân vectơ với một số: 
 Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. 
 Chứng minh rằng: 
 DGDCDBDA 3 
THPT Bản Ngà Ngô Kiều Lượng 
 Bài 2. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD.Gọi I là 
trung điểm của đoạn MN và P là một điểm bất kì trong không gian. Chứng minh rằng: 
 a) 0 IDICIBIA 
 b) )(
4
1
PDPCPBPAPI  
 Dạng 2 .Xác định góc giữa hai đường thẳng : 
 *Phương pháp 1 : )900(),(),(
//,// 2121
21  



ddba
bdad
Odd
 *Phương pháp 2: 


















18090180),(
900),(
),(



nêuba
nêuba
bđtvtcpv
ađtvtcpu
vu
 Bài 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AD. Biết 
AB = CD = 2a; MN = a 3 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD. 
 Bài 4 . Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và   60BAC BAD   . Chứng minh rằng: 
 a) ;AB CD 
 b) Nếu M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD thì àMN AB v MN CD  
 Dạng 3 .Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và tìm góc giữa đường thẳng và 
mặt phẳng cắt nhau: 
 *Phương pháp : +) 
,
( )
( ), ( )
d a d b
a b I d
a b

 
  

   
  
 +)  '( , ( )) ( , )d d d  với d’ là hình chiếu của d trên mp( ) 
 Bài5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi và có SA = SB = SC = SD. Gọi 
O là giao điểm của AC và BD.Chứng minh rằng: 
 a) ( )SO ABCD 
 b) ( )AC SBD và ( )BD SAC . 
 Bài6:Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình 
chiếu vuông góc của điểm O trên mặt phẳng (ABC) . 
 a) Chứng minh rằng: ( )BC OAH , ( )CA OBH , ( )AB OCH . 
 b) Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC 
 c) Chứng minh rằng: 
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
   . 
 d) Chứng minh rằng các góc của tam giác ABC đều nhọn. 
 Bài7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với mặt 
phẳng đáy (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB, 
SC, SD. 
 a) Chứng minh rằng ( ), ( )BC SAB CD SAD  
 b) Chứng minh rằng (SAC) là mặt phẳng trung trực của đoạn BD. 
THPT Bản Ngà Ngô Kiều Lượng 
 c) Chứng minh rằng AH, AK cùng vuông góc với SC. Từ đó suy ra ba đường thẳng 
AH, AI, AK cùng chứa trong một mặt phẳng. 
 d) Tính diện tích của tứ giác AHIK, biết SA = AB = a 
 Dạng 4 . Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc : 
*Phương pháp : +) Góc giữa hai mặt phẳng:  ( ) (( ), ( )) ( , )
( )
a
a b
b

 

 
 
 
 (1) 
 +) Từ (1): Nếu ( , ) 90a b   thì ( ) ( )  
 +) 
( )
( ) ( )
( )
d
d

 

 
 
 
Bài8: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Gọi O 
là tâm của hình vuông ABCD. 
 a) Tính độ dài đoạn thẳng SO. 
 b) Gọi M là trung điểm của đoạn SC. Chứng minh hai mặt phẳng (MBD) và (SAC) 
vuông góc với nhau . 
 c) Tính độ dài đoạn OM và tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD) . 
Bài 9: Cho hình chóp S.