Đề cương ôn tập học kỳ 1 môn Toán lớp 10

m2 - 1 
Bài 5: Giải các hệ phương trình sau : 
a. 
2 3 5
3 3
x y
x y
+ =ì
í + = -î
 b. 
2 3
4 2 6
x y
x y
- + =ì
í - = -î
 c.
2 3
2 4 1
x y
x y
+ = -ì
í- - =î
 d.
7 4
41
3 3
3 5
11
5 2
ì + =ïï
í
ï - = -
ïî
x y
x y
VẤN ĐỀ 5. Phương trình bậc hai 
1. Cách giải 
 Chú ý: – Nếu a + b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = 1 và x = 
c
a . 
 – Nếu a – b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = –1 và x = 
c
a
- . 
 – Nếu b chẵn thì ta có thể dùng công thức thu gọn với 
bb
2
¢ = . 
2. Định lí Vi–et 
 Hai số x x1 2, là các nghiệm của phương trình bậc hai ax bx c2 0+ + = khi và chỉ khi chúng thoả mãn các hệ 
thức 
bS x x
a1 2
= + = - và 
cP x x
a1 2
= = . 
Bài 6: Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + m2 - 3m = 0. Định m để phương trình: 
a/ Có hai nghiệm phân biệt b/ Có hai nghiệm 
c/ Có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó. 
d/ Có một nghiệm bằng -1 tính nghiệm còn lại 
e/ Có hai nghiệm thoả 3(x1+x2)=- 4 x1 x2 f/ Có hai nghiệm thoả x1=3x2 
Bài 7: Cho pt x2 + (m - 1)x + m + 2 = 0 
 a/ Giải phương trình với m = -8 
 b/ Tìm m để pt có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó 
 c/ Tìm m để PT có hai nghiệm trái dấu 
 d/ Tìm m để PT có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x12 + x22 = 9 
ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) (1) 
b ac2 4D = - Kết luận 
D > 0 (1) có 2 nghiệm phân biệt bx
a1,2 2
D- ±
= 
D = 0 (1) có nghiệm kép bx
a2
= - 
D < 0 (1) vô nghiệm 
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
 www.MATHVN.com 7 
PHẦN II: HÌNH HỌC 
CHƯƠNG I. VÉC TƠ (Dành cho trắc nghiệm và tự luận) 
I/ KHÁI NIỆM VÉC TƠ . 
1. Các định nghĩa 
 · Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là AB
uuur
. 
 · Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó. 
 · Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu AB
uuur
. 
 · Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu 0
r
. 
 · Hai vectơ đgl cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. 
 · Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. 
 · Hai vectơ đgl bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài. 
 Chú ý: + Ta còn sử dụng kí hiệu a b, ,...
rr
 để biểu diễn vectơ. 
 + Qui ước: Vectơ 0
r
 cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ. 
 Mọi vectơ 0
r
 đều bằng nhau. 
2. Các phép toán trên vectơ 
 a) Tổng của hai vectơ 
 · Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: AB BC AC+ =
uuur uuur uuur
. 
 · Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có: AB AD AC+ =
uuur uuur uuur
. 
 · Tính chất: a b b a+ = +
r rr r
; 
( ) ( )a b c a b c+ + = + +
r rr r r r
; a a0+ =
rr r
 b) Hiệu của hai vectơ 
 · Vectơ đối của a
r
 là vectơ b
r
 sao cho a b 0+ =
r rr
. Kí hiệu vectơ đối của a
r
 là a-
r
. 
 · Vectơ đối của 0
r
 là 0
r
. 
 · ( )a b a b- = + -
r rr r
. 
 · Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có: OB OA AB- =
uuur uuur uuur
. 
 c) Tích của một vectơ với một số 
 · Cho vectơ a
r
 và số k Î R. ka
r
 là một vectơ được xác định như sau: 
 + ka
r
 cùng hướng với a
r
 nếu k ³ 0, ka
r
 ngược hướng với a
r
 nếu k < 0. 
 + ka k a.=
r r
. 
 · Tính chất: ( )k a b ka kb+ = +
r rr r
; k l a ka la( )+ = +
r r r
; ( )k la kl a( )=
r r
 ka 0=
rr
 Û k = 0 hoặc a 0=
rr
. 
 · Điều kiện để hai vectơ cùng phương: ( )a vaø b a cuøng phöông k R b ka0 :¹ Û $ Î =
r r rr r r
 · Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng Û $k ¹ 0: AB kAC=
uuur uuur
. 
 · Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ không cùng phương a b,
rr
 và x
r
 tuỳ ý. 
Khi đó $! m, n Î R: x ma nb= +
rr r
. 
 Chú ý: 
 · Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: 
 M là trung điểm của đoạn thẳng AB Û MA MB 0+ =
uuur uuur r
 Û OA OB OM2+ =
uuur uuur uuur
 (O tuỳ ý). 
 · Hệ thức trọng tâm tam giác: 
 G là trọng tâm DABC Û GA GB GC 0+ + =
uuur uuur uuur r
 Û OA OB OC OG3+ + =
uuur uuur uuur uuur
 (O tuỳ ý). 
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
 www.MATHVN.com 8 
II/ TỌA ĐỘ 
1. Trục toạ độ 
 · Trục toạ độ (trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm gốc O và một vectơ đơn vị e
r
. Kí hiệu 
( )O e; r . 
 · Toạ độ của vectơ trên trục: u a u a e( ) .= Û =
r r r
. 
 · Toạ độ của điểm trên trục: M k OM k e( ) .Û =
uuur r
. 
 · Độ dài đại số của vectơ trên trục: AB a AB a e.= Û =
uuur r
. 
 Chú ý: + Nếu AB cuøng höôùng vôùi e
uuur r
 thì AB AB= . 
 Nếu AB ngöôïc höôùng vôùi e
uuur r
 thì AB AB= - . 
 + Nếu A(a), B(b) thì AB b a= - . 
 + Hệ thức Sa–lơ: Với A, B, C tuỳ ý trên trục, ta có: AB BC AC+ = . 
2. Hệ trục toạ độ 
 · Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vuông góc với nhau. Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần lượt là i j,
r r
. O là gốc toạ độ, 
Ox là trục hoành, Oy là trục tung. 
 · Toạ độ của vectơ đối với hệ trục toạ độ: u x y u x i y j( ; ) . .= Û = +
r rr r
. 
 · Toạ độ của điểm đối với hệ trục toạ độ: M x y OM x i y j( ; ) . .Û = +
uuur r r
. 
 · Tính chất: Cho a x y b x y k R( ; ), ( ; ),¢ ¢= = Î
rr
, A A B B C CA x y B x y C x y( ; ), ( ; ), ( ; ) : 
 + 
x xa b
y y
ì ¢ï == Û í ¢=ïî
rr
 + a b x x y y( ; )¢ ¢± = ± ±
rr
 + ka kx ky( ; )=
r
 + b
r
 cùng phương với a 0¹
rr
 Û $k Î R: x kx vaø y ky¢ ¢= = . 
 Û 
x y
x y
¢ ¢
= (nếu x ¹ 0, y ¹ 0). 
 + B A B AAB x x y y( ; )= - -
uuur
. 
 + Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB: A B A BI I
x x y y
x y;
2 2
+ +
= = . 
 + Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: A B C A B CG G
x x x y y y
x y;
3 3
+ + + +
= = . 
 + Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k ¹ 1: A B A BM M
x kx y ky
x y
k k
;
1 1
- -
= =
- - . 
 ( M chia đoạn AB theo tỉ số k Û MA kMB=
uuur uuur
). 
Bài 1: Cho 6 điểm phân biệt A, B, C, D, E, F chứng minh : 
 )a AB DC AC DB+ = +
uur uuur uuur uur
 )b AB ED AD EB+ = +
uur uur uuur uur
 )c AB CD AC BD- = -
uur uur uuur uur
 )d AD CE DC AB EB+ + = -
uuur uur uuur uur uur
 ) AC+ DE - DC - CE + CB = AB
uuur uuur uuur uur uuur uuur
e ) + + = + + = + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
f AD BE CF AE BF CD AF BD CE 
Bài 2: Cho tam giác MNP có MQ là trung tuyến của tam giác . Gọi R Là trung điểm của MQ. Cmr 
 ) 2 0a RM RN RP+ + =
uuur uuur uur r
 + + = "
uuur uuur uur uur
) 2 4 , bÊt k×b ON OM OP OR O 
 c) Dựng điểm S sao cho tứ giác MNPS là hình bình hành. Chứng tỏ rằng 
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
 www.MATHVN.com 9 
 2MS MN PM MP+ - =
uuur uuur uuur uuur
 d)Với điểm O tùy ý, hãy chứng minh rằng: ON OS OM OP+ = +
uuur uuur uuuur uuur
 ; 
 4ON OM OP OS OI+ + + =
uuur uuuur uuur uuur uur
Bài 3:.Cho 4 điểm bất kì A,B,C,D và M,N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AB,CD.Chứng minh rằng: 
 a) 2CA DB CB DA MN+ = + =
uuur uuur uuur uuur uuuur
 b) 4AD BD AC BC MN+ + + =
uuur uuur uuur uuur uuuur
 c) Gọi I là trung điểm của BC.Chứng minh rằng: 2( ) 3+ + + =
uur uur uur uur uur
AB AI NA DA DB 
Bài 4:. Cho tam giác MNP có MQ ,NS,PI lần lượt là trung tuyến của tam giác. Chứng minh rằng: 
 ) 0+ + =
uuur uur uur r
a MQ NS PI 
b) Chứng minh rằng hai tam giác MNP và tam giác SQI có cùng trọng tâm . 
 c) Gọi M’ Là điểm đối xứng với M qua N , N’ Là điểm đối xứng với N qua P , P’ Là điểm 
đối xứng với P qua M. Chứng minh rằng với mọi điểm O bất kì ta luôn có: 
 ' ' '+ + = + +
uuur uuuur uuuruuur uuur uur
ON OM OP ON OM OP 
Bài 5: Gọi G và G¢ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác A B C¢ ¢ ¢ . 
 Chứng minh rằng 3AA BB CC GG¢ ¢ ¢ ¢+ + =
uuur uuur uuuur uuuur
Bài 6: Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm của AB, N là một điểm trên AC sao cho NC=2NA, 
gọi K là trung điểm của MN 
1 1
) CMR: AK= AB + AC
4 6
a
uuur uuur uuur
1 1
 b) KD= AB + AC
4 3
uuur uuuur uuur
 Gäi D lµ trung ®iÓm cña BC, chøng minh : 
Bài 7: a) Cho MK và NQ là trung tuyến của tam giác MNP.Hãy phân tích các véctơ , ,
uuur uur uuur
MN NP PM 
theo hai véctơ u MK=
r uuuur
, =
r uuur
v NQ 
 b) Trên đường thẳng NP của tam giác MNP lấy một điểm S sao cho 3SN SP=
uuur uur
. Hãy phân 
tích véctơ MS
uuur
 theo hai véctơ u MN=
r uuuur
, v MP=
r uuur
 c) Gọi G là trọng tâm của tam giác MNP .Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MG và H là 
điểm trên cạnh MN sao cho MH = 1
5
MN .Hãy phân tích các véctơ , , ,
uur uuur uur uuur
MI MH PI PH theo hai véctơ 
u PM=
r uuuur
, v PN=
r uuur
Bài 8: Cho 3 điểm A(1,2), B(-2, 6), C(4, 4) 
a) Chứng minh A, B,C không thẳng hàng 
b) Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn AB 
c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC 
d) Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình Bình hành 
e) Tìm toạ độ điểm N sao cho B là trung điểm của đoạn AN 
f) Tìm toạ độ các điêm H, Q, K sao cho C là trọng tâm của tam giác ABH, B là trọng tâm của tam 
giác ACQ, A là trọng tâm của tam giác BCK. 
g) Tìm toạ độ điểm T sao cho 2 điểm A và T đối xứng nhau qua B, qua C. 
h) 3 ; 2 5T × m to¹ ®é ®iÓm U sao cho = = -
uuur uuur uuur uuur
AB BU AC BU 
k) , theo 2 ; theo 2 AB
uuur uuur uuur uuur uuur
H·y ph©n tich vec t¬ AU vµ CB vect¬ AC vµ CN 
Bài 9: Cho tam giác ABC có M(1,4), N(3,0); P(-1,1) lần lượt là trung điểm của các cạnh: BC, CA, 
AB. Tìm toạ độ A, B, C. 
Bài 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy.Chứng minh rằng các điểm: 
 a) A(1;1), B(-1; 7), C(0; 4) thẳng hàng. 
b) M(-1; 1), N(1; 3), P(-2; 0) thẳng hàng. 
 c) Q(-1; 1), R(0; 3), S(-4; 5) không thẳng hàng. 
Bài 11: Trong hệ trục tọa cho hai điểm A(2; 1) và B(6; -1) Tìm tọa độ: 
 a) Điểm M thuộc Ox sao cho A,B,M thẳng hàng. 
 b) Điểm N thuộc Oy sao cho A,B,N thẳng hàng. 
MATHVN.COM | www.mathvn.com 
 www.MATHVN.com 10 
O x
y
M
x
y
1-1
O
A
B
ar br
ar
b
r
CHƯƠNG II. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ VÀ ỨNG DỤNG 
I/ GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC BẤT KỲ TỪ 0O ĐẾN 180O 
1. Định nghĩa 
 Lấy M trên nöûa ñöôøng troøn ñôn vò taâm O. Xeùt goùc nhoïn a = ·xOM . Giaû söû M(x; y). 
 sina = y (tung ñoä) 
 cosa = x (hoaønh ñoä) 
 tana = y tung ñoä
x hoaønh ñoä
æ ö
ç ÷
è ø
(x ¹ 0) 
 cota = 
x hoaønh ñoä
y tung ñoä
æ ö
ç ÷
è ø (y ¹ 0) 
 Chú ý: – Nếu a tù thì cosa < 0, tana < 0, cota < 0. 
 – tana chỉ xác định khi a ¹ 900, cota chỉ xá