Đề cương môn Toán (Dùng cho ôn tập thi tuyển sinh đầu vào hệ vừa làm vừa học)

1 + .	
IV. Khảo sát hàm số
Bài 25. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số:
a) y = x3 – 3x + 2;	b) y = 2x3 – 3x2 – 1;
c) y = – 4x3 + 3x2 + 1;	d) y = x3 – 3x2 + 3x + 2;
e) y = .
Bài 26. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số:
a) y = ;	b) y = x4 – 2x2.
Bài 27. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số:
a) y = ;	b) y = ;	c) y = ;
d) y = ;	e) y = ;	f) y = –x +1 + .
B. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
I. Tích phân bất định – nguyên hàm
Bài 28. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số: 
a) f(x) = ex (1 – e-x);	b) f(x) = ex ;	c) f(x) = 2ax + ;
d) f(x) = 2x – 3x;	e) f(x) = ;	f) f(x) = tg2x + 2.
Bài 29. Tính các tích phân bất định:
a) I = ; 	b) I = ; 	c) I = ;
d) I = ;	e) I = ;	f) I = ;
g) I = ;	h) I = ;	i) I = .
II. Tích phân xác định
Bài 30. Tính các tích phân:
a) ;	b) ;	c) ;	d) .
Bài 31. Tính các tích phân:
a) I = ;	b) I = ;
c) I = ;	d) I = .
Bài 32. Tính các tích phân:
a) ;	b) ;
c) ;	d) 
Bài 33. Tính các tích phân:
a) I = ;	b) I = 4.	
Bài 34. Tính các tích phân:
a) ;	b) I = 4 ;
c) I = ;	d) I = 
Bài 35. Tính các tích phân: 
a) I = (đặt x = 2tgt);	b) I = (đặt x = 2sint)
Bài 36. Tính các tích phân:
a) I = ;	b) I = ;	
c) I = ;	d) I = ;	
e) ;	f) I = ;
g) ;	h) ;	
i) ;	j) ;	
III. Ứng dụng tích phân xác định tính diện tích – thể tích.
Bài 37. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
a) x = 0, x = 1, y = 0, y = 5x4 + 3x2 + 3;	b) y = x2 + 1, x + y = 3;
c) y = x2 + 5, y = 6x;	d) y = 4x – x2, y = 0;
e) y = lnx, y = 0, x = e;	f) x = y3, y = 1, x = 8.
Bài 38. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi ccas đường sau
a) x = – , x = p, y = 0, y = cosx;	b) y = 18.x(x – 1) (x – 2), y = 0.
Bài 39. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
a) x.y = 4, y = 0, x = 2, x = 6;	b) y = ex, y = e-x, x = 1.
C. BÀI TẬP TỔNG HỢP 
Bài 40
Khảo sát hàm số y = –x3 + 3x + 1 	
Dựa vào đồ thị	(C) của hàm số, biện luận theo m số nghiệm của phương trình
 x3 – 3x + m – 2 = 0.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đĩ song song với đường thẳng y = –9x + 4.
Bài 41. Cho hàm số y = , m là tham số.
Khảo sát hàm số khi m = 2
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, hàm số luơn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nĩ.
Xác định m để đường tiệm cận đứng của đồ thị đi qua A(-1; ).
Bài 42. Cho hàm số y = 	cĩ đồ thị là (Cm), m là tham số.
Khảo sát hàm số khi m = 1
Với giá trị nào của m thì (Cm) đi qua điểm (-1; 1)?
Bài 43 
Khảo sát hàm số y = x3 + 3x2 + 1. Gọi (C) là đồ thị hàm số đã cho.
Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3 + 3x2 + m = 0.
Từ gốc tọa độ cĩ thể vẽ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị (C). Viết phương trình các tiếp tuyến đĩ.
Bài 44 
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x3 – 3x2 + 2. 	
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm cĩ hồnh độ bằng 1.
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đĩ đi qua điểm A(0; 3).
Bài 45. Cho hàm số y = x3 – 3(m + 1)x2 + 3 (2m + 1)x + 1, m là tham số.
Khảo sát hàm số khi m = 0.
Xác định m để hàm số luơn luơn đồng biến.
Xác định m để hàm số cĩ một cực đại và một cực tiểu. Tìm tọa độ điểm cực tiểu.
Bài 46 
Khảo sát hàm số y = .
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại các điểm uốn.
Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đĩ đi qua điểm A(0; ).
Bài 47. Cho hàm số y = – x4 – 2mx2 + 2m + 1 cĩ đồ thị là (Cm), m là tham số.
Biện luận theo m số cực trị hàm số.
Khảo sát hàm số khi m = –5.
Xác định m sao cho (Cm) cắt trục hồnh tại bốn điểm phân biệt.
Bài 48
Khảo sát hàm số y = cĩ đồ thị là (C).
Tìm các điểm trên đồ thị (C) cĩ tọa độ là những số nguyên.
Bài 49
Khảo sát hàm số y = cĩ đồ thị là (C).
Chứng minh rằng đường thẳng y = 2x + m luơn luơn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N.
Xác định m để độ dài đoạn MN nhỏ nhất.
Tiếp tuyến tại một điểm I bất kỳ của (C) cắt hai đường tiệm cận của đồ thị (C) tại hai điểm P và (Q). Chứng minh I là trung điểm của PQ.
Bài 50
Khảo sát hàm số y = x – cĩ đồ thị là (C).
Xác định tâm đối xứng của đồ thị (C).
Bài 51. Cho hàm số y = 	cĩ đồ thị là (Cm), m là tham số.
Khảo sát hàm số khi m = –1 .
Xác định m sao cho hàm số cĩ cực trị và tiệm xiên của (Cm) đi qua gốc tọa độ.
Bài 52. Cho hàm số y = cĩ đồ thị là (Cm), m là tham số.
Tìm các điểm cố định của (Cm) khi m thay đổi.
Xác định m để hàm số cĩ hai điểm cực trị với hồnh độ dương.
Khảo sát hàm số khi m = –2.
Viết phương trình các tiếp tuyến của (C-2) đi qua điểm A().
Bài 53. 
Khảo sát hàm số y = x4 – 4x3 + 4x2. Gọi (C) là đồ thị của nĩ.
Tìm giao điểm của (C) với đường thẳng y = 1.
Xác định m để phương trình: x4 – 4x3 + 4x2 = m2 – 2m cĩ 4 nghiệm phân biệt.
Bài 54.
Khảo sát hàm số y = . Gọi đồ thị của nĩ là (C).
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C), đường tiệm cận xiên của (C) và hai đường thẳng x = 2, x = 3.
Bài 55. Cho hàm số y = 	(với tham số k)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi k = 1.
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vừa vẽ ở câu 1, biết rằng tiếp tuyến đĩ đi qua A(3;0).
Chứng minh rằng với k bất kỳ, đồ thị hàm số luơn luơn cĩ điểm cực đại, điểm cực tiểu và tổng các tung độ của chúng bằng 0.
Bài 56. Cho hàm số y = cĩ đồ thị là (Cm), m là tham số.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C2) của hàm số khi m = 2.
Chứng minh rằng (Cm) nhận giao điểm các đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C2) vẽ từ gốc tọa độ.
Bài 57. Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 4.
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Viết phương trình parabol ( cĩ trục đối xứng cùng phương với Oy) đi qua các điểm cực trị của (C) và tiếp xúc với đường thẳng y = –2x + 2.
Bài 58. Cho hàm số y = cĩ đồ thị là (Cm), m là tham số.
Khảo sát hàm số ứng với m = 0.
Tìm điểm cố định của đồ thị (Cm).
Bài 59
Khảo sát hàm số y = –x3 + 3x2 – 4.
Với mỗi giá trị của tham số a, tìm tọa độ các điểm cực trị của đồ thị (Ca) của hàm số y = –x3 + ax2 – 4.
 Bài 60. Cho hàm số y = x3 – 6mx2 + 9x cĩ đồ thị là (Cm), m là tham số.
Tìm m để A(1, 4) là điểm cực đại của (Cm). Khảo sát hàm số với m vừa tìm được.
Lập phương trình các tiếp tuyến kẻ từ gốc tọa độ đến đồ thị vừa vẽ ở câu 1).
BÀI TẬP ÔN PHẦN TOÁN HÌNH HỌC
A. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
I. Tích vơ hướng. Gĩc giữa hai vectơ
1) Cho các vectơ: .
Tìm các tích vơ hướng: .
Tìm gĩc giữa các cặp vectơ: 
2) Cho ABC cĩ A(-3,-1), B(0,2), C(6,2). 	Tính gĩc B của ABC.
II. Vectơ chỉ phương, pháp vectơ
3) Cho A(-2,3) và B(4,1). Tìm pvt và vtcp của đường thẳng (d) vuơng gĩc với đường thẳng AB.
4) Tìm một vtcp và pvt của đường thẳng (d) biết
a) (d) cùng phương với AB, biết A(0,2); B(2,0).
b) (d) vuơng gĩc với AB, biết A(-1,2); B(3,4).
III. Phương trình tham số của đường thẳng
	5) Viết ptts của (d) biết :
(d) qua A(-1,3) nhận = (-2,1) làm pvt.
(d) qua M(2,1) cĩ vtcp .
(d) qua A(3,5) và B(6,2).
6) Cho đường thẳng (d): 
	a) Tìm điểm M nằm trên (d) và cách điểm A(0,1) một khoảng bằng 5.
	b) Tìm tọa độ giao điểm của (d) với đường thẳng x + y + 1 = 0.
IV. Phương trình tổng quát của đường thẳng
	7) Lập phương trình đường thẳng (d) biết
Đi qua M(3,4), nhận = (-2,1) làm pvt.
Đi qua M(2,3), nhận làm vtcp.
Đi qua M(-5,-8) cĩ k = -3 là hệ số gĩc.
8) Cho ABC cĩ A(1,4), B(3,-1), C(6,2).
	a) Lập phương trình các đường thẳng AB, BC, CA.
	b) Lập phương trình đường cao AH và trung tuyến AM. 
9) Cho ABC biết AB: 4x + y – 12 = 0, đường cao BH: 5x – 4y – 15 = 0; đường cao AH: 2x + 2y – 9 = 0. Viết phương trình của BC, CA, CH.
V. Gĩc giữa hai đưởng thẳng, khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
	10) Tính gĩc tạo bởi hai đường thẳng:
	(a): 2x – 3y – 5 = 0 (b): x + y + 1 = 0.
11) Cho ABC cĩ: A(1,4), B(4,0), C(-2,-2).
a) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng BC.
b) Tính diện tích ABC.
	12) Tìm bán kình đường trịn (C) tâm I(1,4) biết nĩ tiếp xúc với đường thẳng 
 (d): x + 2y + 1 = 0.
	13) Cho ABC với A(-1,4), B(-4,0), C(2,-2).
	a) Tính diện tích ABC.
	b) Tính bán kính đường trịn tâm C, tiếp xúc với đường thẳng AB.
	c) Viết phương trình các đường thẳng qua B sao cho khoảng cách từ A đến 
 chúng bằng 1.
VI) Phương trình đường phân giác
14) Lập phương trình phân giác của gĩc tạo bởi hai đường thẳng:
a) (d1): x – y + 4 = 0; 	(d2): x + 7y – 12 = 0;
b) (d1): -x +y – 4 = 0;	 (d2): 7x – y – 3 = 0.
15) Cho ABC biết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh như sau
AB: 2x + y + 5 = 0; BC: x + 2y – 5 = 0; CA: 2x – y – 5 = 0.
a) Tính các gĩc của ABC.
b) Tìm phương trình các đường phân giác trong của ABC.
VII) Tương giao giữa hai đường thẳng. Chùm đường thẳng
16) Xét sự tương giao giữa hai đường thẳng:
a) 
b) 
c) (d1): 6x – 3y + 5 = 0; 	(d2):
d) (d1): 4x + 5y - 6 = 0; 	(d2):
e) (d1):6 x - 3y + 5 = 0; 	(d2): 4x + 5y – 6 = 0.
f) (d1): x + 3y – 5 = 0; 	(d2): 4x + 6y – 5 = 0.
	17) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua giao điểm của (d1): 5x + 3y – 4 = 0; 
 (d2): 3x + 8y +13 = 0 và song song với (d3): x + y – 4 = 0.
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 18.Viết phương trình đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:
Qua hai điểm A(2; -2) và B(3; 1).
Qua điểm A(2; -2) và song song với đường thẳng x – 3y + 1 = 0.
Qua điểm A(2; -2) và vuông góc với đường thẳng x – 3y + 1 = 0.
Qua điểm A(2; -2) và qua giao điểm của hai đường thẳng x – 3y - 6 = 0, 3x – 4y – 13 = 0.
Qua điểm A(2; -2) và cách điểm B(3; 1) một đoạn bằng 3.
Qua điểm A(2; -2) và cách đều hai điểm B(1; 1) và C(3; 4).
Song song và cách đều hai đường thẳng x – 3y - 6 = 0, 2x – 6y – 20 = 0.
Đường trung trực của đoạn AB, trong đó A(2; -2) và B(4; 4).
Bài 19. Cho ABC đỉnh A(2,2).
a) Lập phương trình các cạnh của tam giác biết rằng: 9x – 3y – 4 và x + y – 2 lần lượt là phương trình các đường cao kẻ từ B và C. 
b) Lập phương trình đường thẳng đi qua A và vuơng gĩc với AC.
Bài 20. Cho ABC cĩ phương trình cạnh AB: 5x – 3y + 2 = 0, các đường cao qua đỉnh A và B lần lượt là : 4x – 3y + 1 = 0; 7x + 2y – 22 = 0. Lập phương trình AB, BC và đường cao thứ ba.
Bài 21. Cho hai đường thẳng (d1) và (d2) cĩ phương trình tham số:
Xác định giao điểm của