Dạy học bài tập giải tích tổ hợp, xác suất thống kê

Các dạng bài tập
phương pháp giải, VD minh hoạ
Trong phần này có các dạng bài tập sau:
Dạng 1: biến đổi các biểu thức nhờ các công thức cơ bản để đơn giản biểu thức, giải phương trình, bất phương trình.
Dạng 2: Các bài toán về quy tắc đếm
Dạng 3: áp dụng công thức nhị thức Newton để chứng minh các đẳng thức
Dạng 4: Số hạng trong khai triển nhị thức Newton.
Dạng 1: : Biến đổi các biểu thức nhờ các công thức cơ bản để đơn giản biểu thức, giải 
 phương trình, bất phương trình.
PP: Cơ sở của pp là thực hiện các bước sau
Biến đổi sơ cấp với chú ý.
Rút gọn suy ra các đẳng thức
Đánh giá suy ra các bất đẳng thức
Trong quá trình giải có thể áp dụng các bước trung gian: quy nạp, phản chứng.
VD1: CM với mọi số nguyên dương chẵn n có:
 (1)
Đặt S = VT(1). Ta có :
Mặt khác 
Suy ra với mọi n chẵn .
VD2: CM 
Ta dùng quy nạp toán học
Khi n = 3 có (*) đúng.
Giả sử (*) đúng đến n =k nghĩa . Ta CM (*) đúng n = k+1 tức . Thật vậy từ .
Do .
VD3: Cho cấp số cộng . CM :
 .
Giải
Do là 1 cấp số cộng nên có :
Mà nên :
.
Đẳng thức cần chứng minh trở thành: (2).
Ta CM (2) bằng quy nạp
Với n = 1: 
 VP(2)==VT(2). Vậy (2) đúng với n = 1.
Giả sử (2) đúng đến n = p. Ta CM nó đúng với n = p+1.
Ta có : (3)
 .
Từ (3) suy ra 
Theo giả thiết quy nạp có:
 . Từ đó có đpcm
VD4: Giải Pt (1)
Giải
Điều kiện: . (1) tương đương với
Vậy nghiệm x = 4.
VD5: CM
Giải 
áp dụng công thức ta có : 
VD6: CM 
đpcm 
áp dụng bất đẳng thức có :
Nhân vế với vế của các BĐT trên có đpcm.
Dạng 2: Các bài toán về quy tắc đếm
 Cần chú ý khi nào sử dụng quy tắc nhân, khi nào sử dụng quy tắc cộng.
VD1: Cho . Từ B có thể lập được:
a/ Bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau?
b/ Bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau?
Giải
a/ Dạng .
 Chọn có 3 cách chọn
 có 3 cách chọn.
 có 2 cách chọn
 có 2 cách chọn
 Vậy có 3.3.2.1=18 cách chọn.
b/ 
TH1: dạng .
 có 3 cách chọn a.
	Tương tự có 2 cách chọn b, 1 cách chọn c
 có 3.2.1=6 cách
TH2: dạng .
Có 2 cách chọn a, 2 cách chọn b, 1 cách chọn c.
có 2.2.1=4 cách
	Vậy có 6+4=10 cách chọn.
VD2: Cho tập hợp . Có bao nhiêu số chẵn có 5 chũ số phân biệt lập từ E.
Giải
Gọi A là tập hợp các số chẵn gồm 5 chữ số phân biệt lập từ E và tận cùng là 0.
 B là hợp các số chẵn gồm 5 chữ số phân biệt lập từ E và tận cùng là số khác 0.
Ta có .
Ta tính số phần tử của B:
Số có dạng .
có 3 cách chọn e.
số chỉnh hợp chập 4 từ là .
số chỉnh hợp chập 4 từ đứng đầu là 0 bằng số chỉnh hợp chập 3 từ và bằng 
vậy .
Kết luận: có 840+2160=3000 cách chọn.
VD3:
Có bao nhiêu cách phân phối 10 vật phân biệt vào 5 hộp phân biệt sao cho hộp 1 chứa 3 vật, hộp 2 chứa 2 vật , hộp 3 chứa 2 vật , hộp 4 chứa 3vật và hộp 5 không chứa vật nào?
Giải
Chọn 3 vật trong 10 vật cho vào hộp 1 có cách chọn
Chọn 2 vật trong 7 vật còn lại cho vào hộp 2 có cách chọn
Chọn 2 vật trong 5 vật còn lại cho vào hộp 3 có cách chọn
Chọn 3 vật trong 3vật còn lại cho vào hộp 4 có cách chọn
Vậy có ...=25200 cách chọn.
Dạng 3: Các bài toán áp dụng nhị thức Newton
PP: muốn CM 1 đẳng thức tổ hợp dạng ta cần nhận dạng đặc biệt của và A. Sau đó sử dụng khai triển:
 (*)
Hoặc sử dụng (**)
Khi đó dựa vào dạng của A mà sử dụng (*) hoặc (**) bằng cách thay a, b bằng các giá trị cụ thể hoặc sử dụng đạo hàm hoặc tích phân .
VD: CM 
áp dụng nhị thức Newton: 	
Nhân 2 vế với được:
 (1)
Với có : (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
Thay x= -1 ta được đpcm.
VD2: CM 
Xét khai triển 
 (1)
Lấy đạo hàm 2 vế (1) :
 (2)
Lấy đạo hàm 2 vế (2):
 (3)
Thay x= 1 vào (3) suy ra đpcm.
VD3: CM đẳng thức :
 (*)
Xét (1)
Mặt khác 
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra (*).
Dạng 4: Số hạng trong khai triển nhị thức Newton
VD1: Tìm hệ số của trong khai triển: 
Giải
Ta có 
Suy ra (1)
áp dụng nhị thức Newton có : 
 (2)
Thay (2) vào (1) được:
Mà 
Vậy hệ số của là .
VD2: Viết số hạng thứ k+1 trong khai triển của và tìm số hạng không chứa x
Giải 
Theo công thức nhị thức Newton số hạng thứ k+1 là .
Suy ra số hạng không chứa x : . Vậy số hạng thứ 6 không chứa x.
VD3: Tìm 2 số chính giữa của khai triển .
Giải
Theo công thức nhị thức Newton 2 số chính giữa là .