Đáp án Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng môn Toán khối A năm 2004

 1
Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o §¸p ¸n - Thang ®iÓm 
 ..................... ®Ò thi tuyÓn sinh ®¹i häc, cao ®¼ng n¨m 2004 
 ........................................... 
 §Ò chÝnh thøc M«n: To¸n, Khèi A 
 (§¸p ¸n - thang ®iÓm cã 4 trang) 
C©u ý Néi dung §iÓm
I 2,0 
 I.1 (1,0 ®iÓm) 
 ( )12
332
−
−+−
=
x
xxy = ( )
1 1x 1
2 2 x 1
− + −
−
. 
 a) TËp x¸c ®Þnh: { }R \ 1 . 
b) Sù biÕn thiªn: 
 2
x(2 x)y '
2(x 1)
−
=
−
; y ' 0 x 0, x 2= ⇔ = = . 
0,25 
 yC§ = y(2) = 
1
2
− , yCT = y(0) = 
3
2
. 
§−êng th¼ng x = 1 lµ tiÖm cËn ®øng. 
 §−êng th¼ng 1y x 1
2
= − + lµ tiÖm cËn xiªn. 
0,25 
 B¶ng biÕn thiªn: 
 x −∞ 0 1 2 +∞ 
 y' − 0 + + 0 − 
 y +∞ +∞ 1
2
− 
 3
2
 −∞ −∞ 
0,25 
 c) §å thÞ: 
0,25 
 2
 I.2 (1,0 ®iÓm) 
 Ph−¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè víi ®−êng th¼ng y = m lµ : 
( ) mx
xx
=
−
−+−
12
332
 ⇔ ( ) 023322 =−+−+ mxmx (*). 
0,25
 Ph−¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt khi vµ chØ khi: 
 0>∆ ⇔ 24m 4m 3 0− − > ⇔ 3m
2
> hoÆc 
1m
2
< − (**) . 
0,25
 Víi ®iÒu kiÖn (**), ®−êng th¼ng y = m c¾t ®å thÞ hµm sè t¹i hai ®iÓm A, B cã hoµnh 
®é x1 , x2 lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (*). 
 AB = 1 ⇔ 121 =− xx ⇔ 
2
1 2x x 1− = ⇔ ( )1 2 2 1 2x x 4x x 1+ − = 
0,25
 ⇔ ( ) ( ) 123432 2 =−−− mm ⇔ 1 5m
2
±
= (tho¶ m·n (**)) 
0,25
II 2,0
 II.1 (1,0 ®iÓm) 
 §iÒu kiÖn : x 4≥ . 0,25
 BÊt ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi bÊt ph−¬ng tr×nh: 
2 22(x 16) x 3 7 x 2(x 16) 10 2x− + − > − ⇔ − > − 
0,25
 + NÕu x > 5 th× bÊt ph−¬ng tr×nh ®−îc tho¶ m·n, v× vÕ tr¸i d−¬ng, vÕ ph¶i ©m. 0,25
 + NÕu 4 x 5≤ ≤ th× hai vÕ cña bÊt ph−¬ng tr×nh kh«ng ©m. B×nh ph−¬ng hai vÕ ta 
®−îc: ( ) ( )22 22 x 16 10 2x x 20x 66 0− > − ⇔ − + < 10 34 x 10 34⇔ − < < + . 
KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn 4 x 5≤ ≤ ta cã: 10 34 x 5− − 
0,25
 II.2 (1,0 ®iÓm) 
 §iÒu kiÖn: y > x vµ y > 0. 
 ( ) 11loglog 4
4
1 =−− y
xy ⇔ ( ) 11loglog 44 =−−− yxy 
0,25
⇔ 4
y xlog 1
y
−
− = ⇔ 
4
3yx = . 
0,25
ThÕ vµo ph−¬ng tr×nh x2 + y2 = 25 ta cã: 
2
23y y 25 y 4.
4
⎛ ⎞
+ = ⇔ = ±⎜ ⎟⎝ ⎠ 
0,25
 So s¸nh víi ®iÒu kiÖn , ta ®−îc y = 4, suy ra x= 3 (tháa m·n y > x). 
VËy nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh lµ (3; 4). 
0,25
III 3,0
 III.1 (1,0 ®iÓm) 
 + §−êng th¼ng qua O, vu«ng gãc víi BA( 3 ; 3)
JJJG
 cã ph−¬ng tr×nh 3x 3y 0+ = . 
 §−êng th¼ng qua B, vu«ng gãc víi OA(0; 2)
JJJG
 cã ph−¬ng tr×nh y = 1− 
( §−êng th¼ng qua A, vu«ng gãc víi BO( 3 ; 1)
JJJG
cã ph−¬ng tr×nh 3x y 2 0+ − = ) 
0,25
 Gi¶i hÖ hai (trong ba) ph−¬ng tr×nh trªn ta ®−îc trùc t©m H( 3 ; 1)− 0,25
 + §−êng trung trùc c¹nh OA cã ph−¬ng tr×nh y = 1. 
 §−êng trung trùc c¹nh OB cã ph−¬ng tr×nh 3x y 2 0+ + = . 
( §−êng trung trùc c¹nh AB cã ph−¬ng tr×nh 3x 3y 0+ = ). 
0,25
 3
 Gi¶i hÖ hai (trong ba) ph−¬ng tr×nh trªn ta ®−îc t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c 
OAB lµ ( )I 3 ; 1− . 
0,25 
 III.2.a (1,0 ®iÓm) 
 + Ta cã: ( )C 2; 0; 0− , ( )D 0; 1; 0− , ( )2;0;1−M , 
 ( )22;0;2 −=SA , ( )BM 1; 1; 2= − −JJJJG . 
0,25
 Gäi α lµ gãc gi÷a SA vµ BM. 
 Ta ®−îc: ( ) SA.BM 3cos cos SA, BM 2SA . BMα = = =
JJJG JJJJG
JJJG JJJJG
JJJG JJJJG ⇒ 30α = ° . 
0,25
 + Ta cã: ( )SA, BM 2 2; 0; 2⎡ ⎤ = − −⎣ ⎦JJJG JJJJG , ( )AB 2; 1; 0= −JJJG . 0,25
 VËy: 
( ) SA, BM AB 2 6d SA, BM
3SA, BM
⎡ ⎤
⋅⎣ ⎦
= =⎡ ⎤⎣ ⎦
JJJG JJJJG JJJG
JJJG JJJJG
0,25
 III.2.b (1,0 ®iÓm) 
Ta cã MN // AB // CD ⇒ N lµ trung ®iÓm SD ⇒ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
− 2;
2
1
;0N . 
0,25
 ( )SA 2; 0; 2 2= −JJJG , ( )2;0;1 −−=SM , ( )22;1;0 −=SB , 1SN 0; ; 22⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠
JJJG
 ( )SA, SM 0; 4 2; 0⎡ ⎤⇒ =⎣ ⎦JJJG JJJG . 
0,25
S.ABM
1 2 2V SA,SM SB
6 3
⎡ ⎤= ⋅ =⎣ ⎦
JJJG JJJG JJG
0,25
S.AMN
1 2V SA,SM SN
6 3
⎡ ⎤= ⋅ =⎣ ⎦
JJJG JJJG JJJG
 ⇒ S.ABMN S.ABM S.AMNV V V 2= + = 
0,25
IV 2,0
 IV.1 (1,0 ®iÓm) 
 2
1
xI dx
1 x 1
=
+ −∫ . §Æt: 1−= xt ⇒ 12 += tx ⇒ tdtdx 2= . 
 01 =⇒= tx , 12 =⇒= tx . 
0,25
 4
Ta cã: 
1 1 12 3
2
0 0 0
t 1 t t 2I 2t dt 2 dt 2 t t 2 dt
1 t 1 t t 1
+ + ⎛ ⎞
= = = − + −⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠∫ ∫ ∫ 
0,25
I 
1
3 2
0
1 12 t t 2t 2 ln t 1
3 2
⎡ ⎤
= − + − +⎢ ⎥⎣ ⎦ 
0,25
 1 1 11I 2 2 2ln 2 4ln 2
3 2 3
⎡ ⎤
= − + − = −⎢ ⎥⎣ ⎦ . 
0,25
 IV.2 (1, 0 ®iÓm) 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
8 2 3 42 0 1 2 2 4 3 6 4 8
8 8 8 8 8
5 6 7 85 10 6 12 7 14 8 16
8 8 8 8
 1 x 1 x C C x 1 x C x 1 x C x 1 x C x 1 x
C x 1 x C x 1 x C x 1 x C x 1 x
⎡ ⎤+ − = + − + − + − + −⎣ ⎦
+ − + − + − + −
0,25
BËc cña x trong 3 sè h¹ng ®Çu nhá h¬n 8, bËc cña x trong 4 sè h¹ng cuèi lín h¬n 8. 0,25
 VËy x8 chØ cã trong c¸c sè h¹ng thø t−, thø n¨m, víi hÖ sè t−¬ng øng lµ: 
 3 2 4 08 3 8 4C .C , C .C 
0,25
 Suy ra a8 168 70 238= + = . 0,25
V 1,0 
 Gäi 3cos22cos222cos −++= CBAM 
 3
2
cos
2
cos2221cos2 2 −
−
⋅
+
⋅+−=
CBCBA . 
0,25
Do 0
2
sin >
A
, 1
2
cos ≤− CB nªn 2 AM 2cos A 4 2 sin 4
2
≤ + − . 
0,25
 MÆt kh¸c tam gi¸c ABC kh«ng tï nªn 0cos ≥A , AA coscos2 ≤ . Suy ra: 
 4
2
sin24cos2 −+≤ AAM 4
2
sin24
2
sin212 2 −+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−=
AA
 2
2
sin24
2
sin4 2 −+−=
AA
01
2
sin22
2
≤⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−−=
A
. VËy 0≤M . 
0,25
Theo gi¶ thiÕt: M = 0 ⇔ 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
−
=
2
1
2
sin
1
2
cos
coscos2
A
CB
AA
 ⇔
A 90
B C 45
= °⎧⎨
= = °⋅⎩ 
0,25