Đáp án đề thi tuyển sinh Cao đẳng môn Toán khối A năm 2009

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 
 ĐỀ CHÍNH THỨC 
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM 
ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2009 
Môn: TOÁN; Khối: A 
(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) 
ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM 
Câu Đáp án Điểm 
1. (1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  
Khi hàm số trở thành 2,m = (1) 3 23 2y x x= − + .
• Tập xác định: .\
• Chiều biến thiên: 
- Ta có hoặc 2' 3 6 ;y x x= − ' 0 0y x= ⇔ = 2.x =
- Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; và 0)−∞ (2; ).+∞
- Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).
0,25 
• Cực trị: 
- Hàm số đạt cực đại tại y0,x = CĐ = y(0) = 2. 
- Hàm số đạt cực tiểu tại y2,x = CT = y(2) = −2. 
• Các giới hạn tại vô cực: và lim
x
y
→−∞
= −∞ lim .
x
y
→+∞
= +∞
0,25 
• Bảng biến thiên: 
 Trang 1/4 
0,25 
• Đồ thị 
0,25 
2. (1,0 điểm) Tìm các giá trị của m  
Ta có ( )2' 3 2 2 1 2y x m x= − − + − .m
m thỏa mãn yêu cầu của bài toán khi và chỉ khi phương trình có hai 
nghiệm dương phân biệt 
' 0y = 0,25 
2' (2 1) 3(2 ) 0
2(2 1) 0
3
2 0
3
m m
mS
mP
⎧⎪Δ = − − − >⎪
−⎪
⇔ = >⎨⎪
−⎪
= >⎪⎩
 0,25 
I 
(2,0 điểm) 
5 2.
4
m⇔ < < 0,50 
x 
y 
O 
2 
2 
−2 
 x −∞ 0 2 +∞ 
 y' + 0 − 0 + 
 y 2 +∞ 
 −∞ −2
 Trang 2/4 
Câu Đáp án Điểm 
1. (1,0 điểm) Giải phương trình 
Phương trình đã cho tương đương với (si n 1)(2sin 2 1) 0x x+ −
II 
= 0,50 
• sin 1x = − π 2π ( )
2
x k k⇔ = − + ∈]
(2,0 điểm) 
. 0,25 
• 1sin 2
2
x = π π
12
x k⇔ = hoặc + 5π π ( )
12
x k k= + ∈] . 0,25 
2. (1,0 điểm) Giải bất phương trình  
Điều kiện: 2.x ≥ 0,25 
Bất phương trình đã cho tương đương với ( 1)( 2) 2x x+ − ≤ 0,25 
2 3x⇔ − ≤ ≤ . 0,25 
Kết hợp điều kiện ta được tập hợp nghiệm của bất phương trình đã cho là [ ]2; 3 . 0,25 
1 1 1 11
0
0 0 0 0
11 .x x x x xI e dx xe dx e xe dx xe dx
e
− −
= + = − + = − +∫ ∫ ∫ ∫ 0,25 
Đặt và ta có và .u x= ,xdv e dx= du dx= xv e= 0,25 
11 1
0 0
0
1 11 1x x xI xe e dx e e
e e
= − + − = − + −∫ 0,25 
III 
(1,0 điểm) 
12
e
= − ⋅ 0,25 
Ta có //MN CD và suy ra ,SP CD⊥ .MN SP⊥ 0,50 IV 
(1,0 điểm) 
Gọi là tâm của đáy O .ABCD 
Ta có 2 2 6
2
aSO SA OA= − = ⋅ 
.
1 1
4 8AMNP ABSP S ABCD
V V V= = 
3
21 1 6. .
8 3 48
aSO AB= = ⋅ 
0,50 
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 2
ln ln
1 1
a b
a b
< ⋅
+ +
 0,25 
Xét hàm số 2
ln( ) , (0; 1).
1
tf t t
t
= ∈
+
 Ta có 
2
2 2
1( 1) 2 ln
'( ) 0, (0; 1).
( 1)
t t t
tf t t
t
+ −
= > ∀
+
∈ 
Do đó ( )f t đồng biến trên khoảng (0 ; 1).
0,50 
V 
(1,0 điểm) 
Mà nên 0 1a b< < < , ( ) ( ).f a f b< Vậy 2 2
ln ln
1 1
a b
a b
< ⋅
+ +
 0,25 
S
M
N
A
B C 
D 
P O
 Trang 3/4 
Câu Đáp án Điểm 
1. (1,0 điểm) Tìm tọa độ các đỉnh A và B  
Đường thẳng AC qua và vuông góc với đường thẳng C 3 5 0x y+ − = .
Do đó : 3 1 0.AC x y− + = 0,25 
Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ 
5 9 0
(1; 4).
3 1 0
x y
A
x y
+ − =⎧ ⇒⎨
− + =⎩ 0,25 
Điểm B thuộc đường thẳng và trung điểm của 3 5 0x y+ − = BC thuộc đường 
thẳng 5 Tọa độ điểm 9x y+ − = 0. B thỏa mãn hệ 
3 5 0
1 25 9
2 2
x y
x y
+ − =⎧⎪
− −⎨ ⎛ ⎞
+ − =⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩ 0
 0,25 
(5; 0).B⇒ 0,25 
2. (1,0 điểm) Viết phương trình mặt phẳng (P)  
• (P1) có vectơ pháp tuyến 1 (1; 2; 3).n =
JJG
• (P2) có vectơ pháp tuyến 2 (3; 2; 1).n = −
JJG 0,25 
• (P) có vectơ pháp tuyến (4; 5; 2).n = −
JJG
0,25 
VI.a 
(2,0 điểm) 
(P) qua A(1; 1; 1) nên ( ) : 4 5 2 1 0.P x y z− + − = 0,50 
Hệ thức đã cho tương đương với (1 2 ) 8i z i+ = + 0,25 
2 3 .z i⇔ = − 0,50 
VII.a 
(1,0 điểm) 
Do đó z có phần thực là 2 và phần ảo là 3.− 0,25 
1. (1,0 điểm) Tìm tọa độ điểm M  
1 (2 3; ).M M t t∈Δ ⇒ + 0,25 
Khoảng cách từ M đến là 2Δ 2
| 2 3 1|( , )
2
t td M + + +Δ = ⋅ 0,25 
2
1( , )
2
d M Δ =
1
5
3
t
t
= −⎡⎢⇔ ⎢ = − ⋅⎣
 0,25 
Vậy hoặc (1; 1)M − 1 5; .
3 3
M ⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠ 0,25 
2. (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng Δ  
Tọa độ điểm C thỏa mãn hệ 
1 0
3
3 2
3
1 1
3
x
y
z
+⎧
=⎪⎪
+⎪
=⎨⎪
+⎪
= −⎪⎩
 ( 1; 3; 4).C⇒ − − 0,25 
Ta có ( 1; 1; 1), ( 1; 1; 1).AB AG= − = − −
JJJG JJJG
0,25 
Mặt phẳng ( )ABC có vectơ pháp tuyến (1; 1; 0).n =
JJG
 0,25 
VI.b 
(2,0 điểm) 
Phương trình tham số của đường thẳng Δ là 
1
3
4.
x t
y t
z
= − +⎧⎪
= +⎨⎪
= −⎩
 0,25 
 Trang 4/4 
Câu Đáp án Điểm 
Điều kiện: .z i≠ 
Phương trình đã cho tương đương với 2 (4 3 ) 1 7 0.z i z i− + + + = 0,25 
VII.b 
23 4 (2 ) .i iΔ = − = − 0,50 
(1,0 điểm) 
Nghiệm của phương trình đã cho là và 1 2z i= + 3 .z i= + 0,25 
-------------Hết-------------