Đại số 10 - Chương 4: Bất đẳng thức bất phương trình

 dài của khoảng (a ; b) là b – a . 
Khoảng dương của biểu thức y = (2x + 8)(1 - x) có độ dài là : 
 a) 3 b) 5 c) 9 
 d) vô giới hạn 
4. 26. Chọn câu đúng : Bất phương trình 
2x 9 1
x 3
+ <− có bao nhiêu nghiệm nguyên 
dương 
 a) 2 b) 3 c) 11 
 d) vô số 
4.27 . Chọn câu đúng : Bất phương trình : x4 ≤ 4x3 có bao nhiêu nghiệm nguyên 
 a) 5 b) 4 c) 2 d) vô số 
4. 28. Chọn câu đúng : Nghiệm của bất phương trình : 
2 1
2x 1 3 x
x 1
⎧ ≤⎪ − +⎨⎪ <⎩
 là : 
 a) – 1< x < ½ b) ½ < x < 1 c) – 1 < x < 1 d) x ∈ ∅ 
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình 
www.saosangsong.com.vn 
24
4.29. Chọn câu đúng : Tập hợp những số x sao cho có y thỏa : 
 4y2 + 4xy + x + 6 = 0 là : 
 a) x ≤ - 2 hay x ≥ 3 b) x ≤ 2 hay x ≥ 3 
 c) x ≤ - 3 hay x ≥ 2 d) – 3 ≤ x ≤ 2 
4.30. Chọn câu đúng : Nếu x là số sao cho : 2
x
1 < và 3
x
1 −> , thế thì : 
 a) 
2
1x
2
1 
2
1
 c) 0x
3
1hay
2
1x d) x > 
3
1xhay
2
1 −< 
4.31. Chọn câu đúng : Nghiệm của bất phương trình : 3x
x
1x2 +>− là : 
 a) mọi x b) x ∈ ∅ c) x > 0 d) x < 0 
4.32. Chọn câu đúng : Giá trị lớn nhất của m để bất phương trình 
 2(x – m) ≥ m2( 3 - x) thỏa với mọi x ≥ 3 là một : 
 a) số nguyên lẻ b) số nguyên chẵn 
 c) số hữu tỷ không nguyên d) số vô tỉ 
C. Hướng dẫn giải hay đáp số . 
4. 16. a) A = x 8
x 3
−
+ b) Vì x
2 + 2x + 3 > 0 với mọi x nên dâu của B là dâu của x(x – 4) 
c) C = 
5x 7
(x 1)(x 1)
+
− + d) D = 
3x 12 ; x 2
x 4 ; x 2
− ≥⎧⎨− − <⎩ 
e) Dấu của E là dấu của biểu thức : 
(3 2x)(x 2) (x 5)
4 3x
− + ≠− 
4.17. a) 
2x 4x 16 0 x 2 0 x 2
x 2
+ + > + > > −+ 
 b) 
x 19
(x 2)(x 2) 0
− +
− + ≥ c) (3x
2 – 5x + 14)(x2 – 7x) ≤ 0 Ù x(x – 7) ≤ 0 
( vì 3x2 – 5x + 14 > 0 , với mọi x ) 
 d) 
1 1 1 1 0
x 5 x 4 2x 5 2x 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − <⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
4. 19. a) 2 2(2x 7) (4 x)+ ≤ − b) 2x 3 (x 3)(x 2)+ ≤ − + vì x2 + 3 > 0 , với mọi x. 
 c) Giải khi x ≥ 0 và giải khi x < 0 
 d) – 2 ≤ 2x 5 2
x 2
− ≤+ 
4.20. a) Giải khi x 5/2 
 b) * Xét x ≥ 4 : | x + 2 | ≥ x Ù x + 2 ≥ x ( đúng ) 
x - ∞ - 4 2 4 + ∞ 
D + 0 - | - 0 + 
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình 
www.saosangsong.com.vn 
25
 * Xét x < 4 : | 10 – x | ≥ x Ù 10 – x ≥ x Ù x ≤ 5 . Vậy x < 4 
Bất phương trình có tập nghiệm là R . 
b) BPT Ù 0
1x
1x
2x
3x
1x
1x
2x
3x ≤⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−
+−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−
++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+
−
Ù 0
)1x()2x(
)1x7)(5xx2(
22
2
≤−+
+−+− Ù x ≥ 1/7 và x ≠ - 2 ; 1 
4. 21. a) mx < m2 – 2m 
• m = 0 : VN 
• m > 0 : x < m – 2 
• m m – 2 
b) (m + 2)x ≥ m2 + 4m + 4 = (m + 2)2 
• m = - 2 : x ∈ R 
• m > - 2 : x ≥ m + 2 
• m < - 2 : x ≤ m + 2 
c) 0
x
1x)m1( ≥−− 
• m = 1 : x < 0 
• m ≠ 1 : Tử có nghiệm x1 = 1/(1 – m) , mẫu có nghiệm x2 = 0 
¾ m > 1 : x1< x2 . Lập bảng xét dấu , BPT có nghiệm 
 0x
m1
1 <<− 
¾ m < 1 : x1< x2 . Lập bảng xét dấu , BPT có nghiệm 
 x 
m1
1
− 
4. 22. a) m + 1 = 0 và 2m – 3 < 0 Ù m = 1 
 b) Viết lại (1) : (x – 2)m > - x – 3 : thỏa với mọi m Ù x – 2 = 0 và – x – 3 < 0 
Ù x = 2 
4. 23 . a) Hàm số xác định khi f(x) = mx – m + 6 ≥ 0 (1) 
 * Xét m > 0 : D = 
m 6[ ;
m
−
 + ∞ ) 
 * Xét m < 0 : D = ( - ∞ ; m 6]
m
−
 * Xét m = 0 : D = R 
Hàm số có miền xác định là [ 1 ; + ∞ ) Ù m 6 1
m
− = − và m > 0 Ù m = 3 
b) Hàm số xác định với mọi x < 1 Ù 
m 0
m 0
m 61
m
=⎡⎢ <⎧⎢⎪⎢⎨ −≤⎢⎪⎩⎣
Ù m ≤ 0 
4. 24. a) Giải (1) : x ≥ 1 
Giải (2) : x ≤ m 2
3
− −
Để hệ có nghiệm thì 
m 21
3
− −≤ Ù m ≤ - 5 
Vậy GTLN để bất phương trình có nghiệm là m = - 5 . 
b) BPT (1) Ù - x < 2x – 1 < x 
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình 
www.saosangsong.com.vn 
26
 Ù 1/3 < x < 1 
Giải BPT (2) : 
• m > 0 : (2) Ù x > m : Hệ vô nghiệm khi m ≥ 1 
• m < 0 : (2) Ù x < m : Hệ vô nghiệm khi m ≤ 1/ 3 ( thỏa với mọi m < 0 ) 
Vậy hệ vô nghiệm khi m < 0 hay m ≥ 1 . 
c) Hệ Ù ( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−−
>−
−+
)2()m1x)(2x(
10
5x
3x2x
2
2
Lập bảng xét dấu , (1) có nghiệm là : x > 5 hay – 3 < x < 1 
• m2 1 nên hệ vô nghiệm 
• m2 = 1 : (2) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm . 
• m 2 > 1 : (2) có nghiệm là 2 < x < m2 + 1 . Hệ có nghiệm khi : 
 m2 + 1 > 5 Ù m2 > 4 Ù m > 2 hay m < - 2 
4. 25.(b) - 4 < x < 1 
4.26. (a) - 12 < x < 3 có 2 nghiệm nguyên dương là 1 và 2 . 
4. 27. (a) x3 (x – 4) ≤ 0 Ù 0 ≤ x ≤ 4 : 5 nghiệm nguyên 
4. 28. (a) Giải (1) : - 3 < x < ½ 
 Giải (2) : - 1 < x < 1 
 Kết hợp , ta được nghiệm : - 1< x < ½ 
4.29.(a) Phương trình ẩn y có nghiệm Ù 024x4x4' 2 ≥−−=Δ 
 Ù 4(x – 3(x + 2) ≥ 0 
 Ù x ≤ - 2 hay x ≥ 3 
4.30.(d) 2
x
1 < Ù 0
x
x21 ½ 
 3
x
1 −> Ù 0
x
x31 >+ Ù x 0 
Kết hợp , ta được : x > ½ hay x < - 1/3 
4.31.(c) 3x
x
1x2 +>− Ù 0
x
1xx 2 <++ Ù x < 0 
4.32.(b) 2(x – m) ≥ m2( 3 - x) Ù (2 + m2 ) x ≥ 3m2 + 2m 
 Ù x ≥ 
2m
m2m3
2
2
+
+
 YCBT Ù 
2m
m2m3
2
2
+
+ ≤ 3 Ù m ≤ 3 
 Vậy giá trị lớn nhất của m là 3 . 
§ 4. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn 
A. Tóm tắt giáo khoa . 
 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là bất phương trình có dạng : 
 ax + by c , ≥ c ) trong đó a , b , c là các hệ số thực và a , b 
không đồng thời bằng 0 , x và y là hai ẩn . 
 Cặp số thực (x0 ; y0) thỏa ax0 + by0 ≤ c được gọi là một nghiệm của bất phương trình . 
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình 
www.saosangsong.com.vn 
27
 2. Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình theo các bước sau : 
• Bước 1 : Vẽ đường thẳng ∆ : ax + by = c 
• Bước 2 : Lấy một điểm M(x0 ; y0 ) ∉∆ và tính số ax0 + by0 
• Bước 3 : 
 * Nếu ax0 + by0 > c thì nửa mặt phẳng bờ ∆ chứa M là miền nghiệm của 
bất phương trình ax + by > c 
 * Nếu ax0 + by0 < c thì nửa mặt phẳng bờ ∆ chứa M là miền nghiệm của 
bất phương trình ax + by < c 
Ta gạch chéo bỏ miền không thỏa , miền trắng còn lại là miền nghiệm của bất phương trình 
Ghi chú : Nếu ∆ không qua O , ta thường chọn M là O . 
 3. Biểu diễn tập nghiệm của hệ như sau ; 
• Bước 1 : Biểu diễn tập nghiệm của bất 
phương trình (1) 
• Bước 2 : Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình (2) trên cùng hệ trục tọa độ 
• Bước 3 : Miền trắng còn lại là miền nghiệm của hệ . 
B. Giải toán . 
Dạng toán 1 : Giải bất phương trình 
Ví dụ : Giải các bất phương trình sau : 
 a) 3(x – y) + 5 > 2( x – 2y) + 8 b) (x – 2)(2x + 3y – 12) < 0 
 c) x2 + 2xy – 3y2 > 0 
Giải a) BPT Ù 3x – 3y + 5 > 2x – 4y + 8 
 Ù x + y > 3 
 Vẽ ∆ : x + y = 3 qua hai điểm ( 0 ; 3) và (3 ; 0) 
 Chọn O(0 ; 0) : 0 + 0 gạch bỏ nửa mặt phẳng chứa 
O , miền còn lại là miền nghiệm của bất phương trình x + y > 3 
x
y 
O
x + 2y > 4 
Gạch bỏ miền nghiệm của 
bất phương trình x + 2y < 4 
, ta được nửa mặt phẳng 
trắng là miền nghiệm của 
bất phương trình x + 2y > 4 
x 
y
O
Gạch bỏ các miền x + 2y < 
4 và 2x – y < - 1 , ta được 
miền nghiệm của hệ bất 
phương trình x + 2y > 4 và 
2x – y > - 1 
x 2y 4
2x y 1
+ >⎧⎨ − > −⎩ 
x 
y 
O 
x + y > 3 
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình 
www.saosangsong.com.vn 
28
b) Vẽ ∆1 : x = 2 , đường thẳng song song với Oy và qua điểm (2 ; 0) 
 Vẽ ∆2 : 2x + 3y = 12 qua hai điểm (0 ; 3) và (6 ; 0) 
Hai đường thẳng chia mặt phẳng làm bốn miền ,đánh dấu từ I đến IV như trong hình . Xét điểm O 
(0 ; 0) : 
• Với ∆ 1: Ta có 0 miền (I) và (IV) thỏa x – 2 < 
0 ( nửa mặt phẳng 
 chứa O bờ ∆ 1 ) , suy ra miền (II) , (III) thỏa x – 2 > 0 
• Với ∆ 2: Ta có 2.0 + 3.0 miền (I) và (II) thỏa 
2x + 3y – 12 < 0 ( nửa mặt phẳng chứa O bờ ∆ 2 ) , 
suy ra miền (III) và (IV) thỏa 2x + 3y – 12 > 0 
Vì BPT Ù 
x 2 0
2x 3y 12 0
x 2 0
2x 3y 12 0
⎡ − >⎧⎨⎢ + − ⎢⎩⎣
 nên miền nghiệm của BPT là 
miền (II) và (IV) . 
 Ghi chú : (1) Ta có thể lập bảng xét dấu như trong trường hợp tích hai nhị thức , như sau : 
(x ; y) (I) (II) (III) (IV) 
x – 2 - + + - 
2x + 3y - 12 - - + + 
VT + - + - 
 Căn cứ vào bảng xét dấu , miền nghiệm của bất phương trình là (II) ∪ (IV) . 
 c) Xem VT là đa thức theo x , hệ số là y , tính x theo y , ta phân tích được : 
 (x - y)(x + 3y) > 0 
 Vẽ ∆1 : x – y = 0 qua O và A(1 ; 1) . 
 Vẽ ∆2 : x + 3y = 0 qua O và B(3 ; - 1) . 
Hai đường thẳng chia mặt phẳng làm bốn miền ,đánh dấu từ I đến IV như trong hình . Xét điểm 
M(1 ; 0) : 
• Với ∆ 1: Ta có 1 – 0 > 0 => miền (I) và (IV) thỏa x – y > 0 
• Với ∆ 2: Ta có 1. + 3.0 > 0 => miền (I) và (II) thỏa x + 3y > 0 
Căn cứ vào 
bảng xét dấu , 
miền nghiệm 
của bất phương 
trình là (I) ∪ (III) 
Cách khác : Chọn 4 điểm trong 4 miền và thử dấu của 
biểu thức tại 4 điểm đó . 
(x ; y) (I) (II) (III) (IV) 
x - y + - - + 
x + 3y + + - - 
VT + - + - 
x 
y 
O 
(I))
(II)
(III) 
(IV)
∆1 ∆2 
x 
y 
O
M 
(I) 
(II) 
(III) 
(IV)
(∆1) 
(∆2) 
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình 
www.saosangsong.com.vn 
29
x 
y 
O 
(I) 
(II) 
(III) 
(IV) (∆1) 
(∆2) 
x O
(I) 
(II) 
(III) 
(∆1) 
(∆2) 
y
. 
Dạng 2 : Giải hệ bất phương trình 
Ví dụ 1 : Giải các hệ sau : 
 a) 
x 3y 3 0
2x y 2 0
+ + >⎧⎨ − − >⎩ b) x 2y 3+ < 
Giải a) 
 Vẽ ∆1 : x + 3y + 3 = 0 qua hai điểm (0 ; - 1) và (- 3 ; 0) . 
 Vẽ ∆2 : 2x - y – 2 = 0 qua hai điểm (0 ; - 2) và (1 ; 0) 
 Hai đường thẳng chia mặt phẳng làm bốn miền ,đánh dấu từ I đến IV như trong hình . Xét điểm 
O(0 ; 0) : 
 b) BPT Ù x 2y 3
x 2y 3
+ −⎩ 
 Vẽ ∆1 : x + 2y = 3 qua hai điểm (0 ; 3/2) và (3 ; 0) . 
 Vẽ ∆2 : x + 2y = - 3 qua hai điểm (0 ; -3/ 2) và (- 3 ; 0) . 
 Hai đường thẳng này song song , chia mặt phẳng làm ba miền ,đánh dấu từ I đến III như 
trong hình . 
 Xét điểm O(0 ; 0) : 
* Ví dụ 2 : Một nghiên cứu cho kết quả như sau : 
Một người có thể tiếp nhận mỗi ngày không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị 
vitamin B. Một ngày mỗi người cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả A lẫn B . 
• Với ∆ 1: Ta có 0 + 3.0 + 3 > 0 => xóa 
nửa mặt phẳng không chứa O [miền 
(III) và (IV) ]