Cực trị hàm số - Nguyễn Phú Khánh

có đạo 
hàm trên các khoảng ( )0;a x và ( )0;x b . Khi đó : 
)a Nếu ( ) ( )( ) ( )0 00 0
' 0, ;
' 0, ;
f x x a x
f x x x b
 < ∈

> ∈
thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm 
0
x . Nói một 
cách khác , nếu ( )'f x đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm 0x thì hàm số 
đạt cực tiểu tại điểm 
0
x . 
x a 
0
x b 
( )'f x − 0 + 
( )f x 
( )f a ( )f b 
 ( )0f x 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
50 
)b Nếu ( ) ( )( ) ( )0 00 0
' 0, ;
' 0, ;
f x x a x
f x x x b
 > ∈

< ∈
thì hàm số đạt cực đại tại điểm 
0
x . Nói một 
cách khác , nếu ( )'f x đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm 0x thì hàm số 
đạt cực đại tại điểm 
0
x . 
x a 
0
x b 
( )'f x + 0 − 
( )f x 
 ( )0f x 
( )f a ( )f b 
Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng ( );a b chứa điểm 
0
x , ( )0' 0f x = và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm 0x . 
)a Nếu ( )0'' 0f x < thì hàm số f đạt cực đại tại điểm 0x . 
)b Nếu ( )0'' 0f x > thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm 0x . 
Chú ý: 
Không cần xét hàm số f có hay không có đạo hàm tại điểm 
0
x x= nhưng không 
thể bỏ qua điều kiện " hàm số liên tục tại điểm 
0
x " 
Ví dụ : Hàm số 
1 0
( )
0
x khi x
f x
x khi x

− ≤
= 
>
 không đạt cực trị tại 0x = . Vì 
hàm số không liên tục tại 0x = . 
2.1 DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP. 
Dạng 1 : Tìm các điểm cực trị của hàm số . 
Quy tắc 1: Áp dụng định lý 2 
• Tìm ( )'f x 
• Tìm các điểm ( )1,2, 3...ix i = tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục 
nhưng không có đạo hàm. 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
51 
• Xét dấu của ( )'f x . Nếu ( )'f x đổi dấu khi x qua điểm 0x thì hàm số có cực 
trị tại điểm 
0
x . 
Quy tắc 2: Áp dụng định lý 3 
• Tìm ( )'f x 
• Tìm các nghiệm ( )1,2, 3...ix i = của phương trình ( )' 0f x = . 
• Với mỗi 
i
x tính ( )'' .if x 
− Nếu ( )'' 0if x < thì hàm số đạt cực đại tại điểm ix . 
− Nếu ( )'' 0if x > thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm ix . 
Ví dụ 1 : Tìm cực trị của các hàm số : 
3 21. 3 3 5y x x x= + + + 4 22. 6 8 1y x x x= − + − + 
Giải : 
3 21. 3 3 5y x x x= + + + 
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên 
 . 
* Ta có: 2 2' 3 6 3 3( 1) 0 y x x x x= + + = + ≥ ∀ ⇒Hàm số không có cực trị. 
Chú ý: 
* Nếu 'y không đổi dấu thì hàm số không có cực trị. 
* Đối với hàm bậc ba thì ' 0y = có hai nghiệm phân biệt là điều cần và đủ để 
hàm có cực trị. 
4 22. 6 8 1y x x x= − + − + 
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên 
 . 
* Ta có: 3 2' 4 12 8 4( 1) ( 2)y x x x x= − + − = − − + 
2' 0 4( 1) ( 2) 0 1 2y x x x x= ⇔ − − + = ⇔ = ∨ = − 
* Bảng biến thiên 
x −∞ 2− 1 +∞ 
'y 
 + 0 + 0 − 
y 
−∞ 
 25 
 −∞ 
Vậy, hàm đạt cực đại tại 2x = − với giá trị cực đại của hàm số là ( 2) 25y − = , 
hàm số không có cực tiểu. 
Bài tập tự luyện: 
Tìm cực trị của các hàm số : 
1. 
24 3
1
x x
y
x
−
=
−
 2. 
2
2
4 4 1
2 4 3
x x
y
x x
+ −
=
+ +
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
52 
Ví dụ 2 : Tìm cực trị của các hàm số : 
21. 4y x x= − 
22. 2 3y x x= − − 
3 23. 3y x x= − + 
24. 2 1 2 8y x x= + − − 
215. 12 3
2
y x x
 
= − − 
 
Giải : 
( ) 21. 4y f x x x= = − 
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn 2;2 −  
* Ta có ( )2
2
4 2
' , 2;2
4
x
y x
x
−
= ∈ −
−
Hàm số không có đạo hàm tại các điểm 2, 2x x= − = . 
Suy ra, trên khoảng ( )2;2− : ' 0 2, 2y x x= ⇔ = − = 
Bảng xét dấu 'y 
x 2− 2− 2 2 
'y 
 − 0 + 0 − 
'y đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm 2− thì hàm số đạt cực tiểu tại 
điểm 2,x = − ( )2 2y − = − ; 
'y đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm 2 thì hàm số đạt cực đại tại 
điểm 2,x = ( )2 2y = . 
22. 2 3y x x= − − 
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên ( ; 3 −∞ − ∪ )3; +∞ . 
* Ta có: ( ) ( )2
2 2
2 3
' 2 , ; 3 3;
3 3
x x x
y x
x x
− −
= − = ∈ −∞ − ∪ +∞
− −
. 
Hàm số không có đạo hàm tại các điểm 3, 3x x= − = . 
Suy ra, trên mỗi khoảng ( ) ( ); 3 , 3;−∞ − +∞ : ' 0y = 
( ) ( )
2 22
; 3 3; 0 3
2
4( 3)2 3
x x
x
x xx x
 ∈ −∞ − ∪ +∞ ≤ < 
⇔ ⇔ ⇔ = 
− = − = 
. 
Tương tự trên suy ra hàm số đạt cực tiểu tại điểm 2, (2) 3x y= = , hàm số 
không có cực đại. 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
53 
3 23. 3y x x= − + 
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên nửa khoảng ( ;3]−∞ . 
* Ta có:
2
3 2
3( 2 )
' , 3, 0
2 3
x x
y x x
x x
− −
= < ≠
− +
Hàm số không có đạo hàm tại các điểm 0, 3x x= = . 
Suy ra, trên mỗi khoảng ( );3−∞ : ' 0 2y x= ⇔ = 
* Bảng biến thiên: 
x −∞ 0 2 3 
'y − || + 0 − || 
y 
+∞ 2 
 0 0 
Hàm số đạt cực đại tại điểm 2, (2) 2x y= = và đạt cực tiểu tại điểm 
0, (0) 0x y= = . 
Chú ý: 
* Ở bài 2 ví dụ 2 mặc dù 3x = ± là điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm 
tuy nhiên hàm số lại không xác định trên bất kì khoảng ( ; )a b nào của hai điểm 
này nên hai điểm này không phải là điểm cực trị của hàm số. 
* Tương tự vậy thì 3x = của hàm số ở câu 3 cũng không phải là điểm cực trị 
nhưng 0x = lại là điểm cực trị của hàm số. 
24. 2 1 2 8y x x= + − − 
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên nửa khoảng ( ); 2 , 2; −∞ − +∞  . 
* Ta có: ( ) ( )
2
2
' 2 , ; 2 2;
2 8
x
y x
x
= − ∈ −∞ − ∪ +∞
−
. 
Hàm số không có đạo hàm tại các điểm 2, 2x x= − = . 
Suy ra, trên các khoảng ( ) ( ); 2 , 2;−∞ − +∞ : ' 0y = 
( ) ( )
22
; 2 2; 0 2
2 2
82 8
x x
x
xx x
 ∈ −∞ − ∪ +∞ ≤ < 
⇔ ⇔ ⇔ = 
=
− =  
. 
* Bảng biến thiên: 
x 
−∞ 2− 2 2 2 +∞ 
'y + || || − 0 + 
y 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
54 
Trên khoảng ( )2;2 2 : ' 0y điểm cực tiểu là 
( )2 2;3 2 1+ . 
215. 12 3
2
y x x
 
= − − 
 
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn 2;2 −  . 
* Ta có: ( )2
2
1 12 3 3
' , 2;2
2 12 3
x x
y x
x
 
− +
 = ∀ ∈ −
 
− 
Hàm số không có đạo hàm tại các điểm 2, 2x x= − = . 
Suy ra, trên khoảng ( )2;2− : ' 0y = 
( )
22
2;2 2 0
1
112 3 3
x x
x
xx x
 ∈ −
− < ≤ 
⇔ ⇔ ⇔ = − 
=
− = −  
* Bảng biến thiên: 
x −∞ 2− 1− 2 +∞ 
'y 
 || − 0 + || 
y 
Trên khoảng ( )2; 1 : ' 0y− − suy ra điểm cực tiểu 
là ( )1; 2− − . 
Bài tập tương tự : 
Tìm cực trị của các hàm số : 
1. 21 2 8y x x= + + − 
2. 2 3
2
x
y x= + + 
3. 22 1y x x x= + + + 
4. ( )216 1y x x x x= − + − 
Ví dụ 3 : Tìm cực trị của các hàm số : 
( )1. y f x x= = 
( ) ( )2. 2y f x x x= = + 
( ) ( )3. 3y f x x x= = − 
Giải : 
( )1. y f x x= = 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
55 
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên 
 . 
0
0
x khi x
y
x khi x
 ≥
= 
− <
. 
* Ta có 
1 0
'
1 0
khi x
y
khi x
 >
= 
− <
Trên khoảng ( );0−∞ : ' 0y . 
* Bảng biến thiên 
x −∞ 0 +∞ 
'y 
 − 
 + 
y +∞ 
0 
 +∞ 
Hàm số đạt điểm cực tiểu tại điểm ( )0, 0 0x f= = . 
( ) ( ) ( )( )
2 0
2. 2
2 0
x x khi x
y f x x x
x x khi x
 + ≥
= = + = 
− + <
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên 
 . 
* Ta có 
2 2 0 0
'
2 2 0
x khi x
y
x khi x
 + > >
= 
− − <
Hàm số liên tục tại 0x = , không có đạo hàm tại 0x = . 
Trên khoảng ( );0−∞ : ' 0 1y x= ⇔ = − ,trên khoảng ( )0;+∞ : ' 0y > . 
* Bảng biến thiên 
x −∞ 1− 0 +∞ 
'y 
 + 0 − 
 + 
y 
−∞ 
0 
 +∞ 
Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm ( )1, 1 1x f= − − = , hàm số đạt cực tiểu tại điểm 
( )0, 0 0x f= = . 
( ) ( )3. 3y f x x x= = − 
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên 
 . 
( ) ( )( )
3 0
3 0
x x khi x
y f x
x x khi x

− ≥
= = 
− − <
. 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
56 
* Ta có 
( )3 1
0
2'
3
0
2
x
khi x
xy
x
x khi x
x

−
 >

= 
−
− <

−
+ 
Trên khoảng ( );0−∞ : ' 0y > ,trên khoảng ( )0;+∞ : ' 0 1y x= ⇔ = 
* Bảng biến thiên 
x −∞ 0 1 +∞ 
'y 
 + 
 − 0 + 
y 
−∞ 
0 
 +∞ 
 2− 
Hàm số đạt điểm cực đại tại điểm ( )0, 0 0x f= = , hàm số đạt điểm cực tiểu tại 
điểm ( )1, 1 2x f= = − . 
Bài tập tương tự : 
Tìm cực trị của các hàm số : 
1. 1y x x= + + 
2 22. 4y x x x= + − − 
23. 2 4y x x= + − 
24. 2 4 2 8y x x= − + − 
25. 3 9y x x x= + + + 
26. 2 1 2y x x x x= − + + − + − 
Ví dụ 4 : Tìm cực trị của các hàm số sau 
1. 2 sin2 3y x= − 2. 3 2 cos cos2y x x= − − 
Giải : 
1. 2 sin2 3y x= − 
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên 
 . 
* Ta có ' 4 cos2y x= 
' 0 cos2 0 ,
4 2
y x x k k
pi pi
= ⇔ = ⇔ = + ∈  , 
'' 8 sin2y x= − 
8 2
'' 8 sin
8 2 14 2 2
khi k n
y k k
khi k n
pi pi pi
pi

− =    
+ = − + =    
= +    
Vậy hàm số đạt cực đại tại các điểm ; 1
4 4
x n y n
pi pi
pi pi
 
= + + = − 
 
 và đạt cực 
đại tại ( ) ( )2 1 ; 2 1 5
4 2 4 2
x n y n
pi pi pi pi 
= + + + + = − 
 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
57 
2. 3 2 cos cos2y x x= − − 
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên 
 . 
* Ta có ( )' 2 sin 2 s in2 2 sin 1 2 cosy x x x x= + = + 
sin 0
' 0 ,1 2 2
cos cos 2
2 3 3
x x k
y k
x x k
pi
pi pi
pi
 = =
 
= ⇔ ⇔ ∈
 
= − = = ± +
  
  . 
'' 2 cos 4 cos2y x x= + 
2 2
'' 2 6 cos 3 0
3 3
y k
pi pi
pi
 
± + = = − < 
 
. Hàm số đạt cực đại tại 2 2
3
x k
pi
pi= ± + , 
2 1
2 4
3 2
y k
pi
pi
 
± + = 
 
( )'' 2 cos 4 0,y k k kpi pi= + > ∀ ∈  . Hàm số đạt cực tiểu tại 
( ) ( ), 2 1 cosx k y k kpi pi pi= = − 
Bài tập tương tự: 
Tìm cực trị của các hàm số : 
1. 22 siny x x= − . 
2. t ny x a x= . 
3. 2cosy x= . 
4. 3 sin3 cos xy x= + . 
5. 22 siny x x= − . 
6. t ny x a x= . 
7. 2cosy x= . 
8. 3 sin3 cos xy x= + . 
Ví dụ 5: Tìm cực trị của hàm số : sincos xy x= trên đoạn 0;
2
pi 
 
 
. 
Giải: 
* Hàm số đã cho xác định và liên tục đoạn 0;
2
pi 
 
 
. 
* Ta có : 
2cos 1 3 sin
' sin sin .cos
2 sin 2 sin
x x
y x x x
x x
−
= − + = . 
Trên khoảng 0;
2
pi 
 
 
: ( )
2
0;
12' 0 sin *
1 3
sin
3
x
y x
x
pi  
∈    = ⇔ ⇔ =

=

Tồn tại góc β sao cho 1sin
3
β = , khi đó ( )* x β⇔ = . 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
58 
Với 1sin
3
β = thì 6cos
3
β = và ( ) 4 12
3
cos siny β β β= = 
Bảng xét dấu 'y : 
x 
0 β 
2
pi
'y + 0 − 
Hàm số đạt cực đại tại ( ) 4 12
3
,x yβ β= = với 1sin
3
β = . 
Bài tập