Chuyên ñề phương trình lượng giác - Nguyễn Tất Thu

Chuyên ñề phương trình lượng giác Nguyễn Tất Thu (01699257507) 
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 1 - 
§ 1. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 
1. Các hằng ñẳng thức: 
1) 2 2sin cos 1α + α = 2) tan .cot 1α α = 3) 2
2
1
1 tan
cos
+ α =
α
 4) 2
2
1
1 cot
sin
+ α =
α
2.Hệ thức các cung ñặc biệt 
 a)Hai cung ñối nhau 
1)cos( ) cos 2)sin( ) sin−α = α −α = α 
b)Hai cung phụ nhau: 
1) cos( ) sin 2) sin( ) cos
2 2
pi pi
− α = α − α = α 
 c)Hai cung bù nhau 
1) sin( ) sin 2) cos( ) cos pi − α = α pi − α = α 
 d) Hai cung hơn kém nhau pi 
1) sin( ) sin 2) cos( ) cospi + α = − α pi + α = α 
3. Các công thức lượng giác 
a) Công thức cộng 
1) cos(a b) cos a. cos b sin a. sin b 2) sin(a b) sin a.cos b cos a. sin b
tan a tan b
3) tan(a b)
1 tan a. tan b
± = ± = ±
±± =
∓
∓
 b) Công thức nhân 
2 2 2 2
sin 2a 2 sin a cos a
cos 2a cos a sin a 1 2 sin a 2 cos a 1
=
= − = − = −
 c) Công thức hạ bậc 
2 21 cos 2a 1 cos 2a1) sin a 2) cos a
2 2
− +
= = 3) 2 1 cos 2atan a
1 cos 2a
−
=
+
d) Công thức biến ñổi tích thành tổng 
1 1
1)cos a.cos b [cos(a b) cos(a b)] 2) sin a. sin b [cos(a b) cos(a b)]
2 2
1
3)cos a. sin b [sin(a b) sin(a b)]
2
= + − − = − − +
= + − −
e) Công thức biến ñổi tổng thành tích 
a b a b a b a b
1) cos a cos b 2 cos . cos 2) cos a - cos b 2 sin . sin
2 2 2 2
a b a b a b a b
1)sin a sin b 2 sin . cos 3) sin a - sin b 2 cos . sin 
2 2 2 2
+ − + −
+ = =
+ − + −
+ = =
§ 2. Phương trình lượng giác 
1)Phương trình lượng giác cơ bản: 
a)Phương trình: sin x m (1)= 
*Nếu: m 1 > ⇒ Pt vô nghiệm 
*Nếu: m 1 : sin m≤ ⇒ ∃α α = (1) sin x sin⇒ ⇔ = α ⇔
x k2
x k2



= α + pi
= pi − α + pi
 ( ∈k Z ). 
Chuyên ñề phương trình lượng giác Nguyễn Tất Thu (01699257507) 
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 2 - 
Chú ý : * Nếu α thỏa mãn 2 2
sin m
 pi pi
− ≤ α ≤

 α =

 thì ta viết arcsin mα = . 
*Các trường hợp ñặc biệt: 
1) sin x 1 x k2
2
pi
= ⇔ = + pi 2) sin x 1 x k2
2
pi
= − ⇔ = − + pi 3) sin x 0 x k= ⇔ = pi 
b) Phương trình: cos x m (2)= 
Nếu: m 1> ⇒ Pt vô nghiệm 
Nếu: m 1 : cos m≤ ⇒ ∃α α = (2) cos x cos⇒ ⇔ = α ⇔ 
x k2
x k2
 = α + pi

= −α + pi
 ( ∈k Z ). 
Chú ý : * Nếu α thỏa mãn 0
cos m
 ≤ −α ≤ pi

α =
 thì ta viết arccosmα = . 
*Các trường hợp ñặc biệt: 
1) cos x 1 x k2= ⇔ = pi 2) cos x 1 x k2= − ⇔ = pi + pi 3) cos x 0 x k
2
pi
= ⇔ = + pi 
c)Phương trình : tan x m (3)= 
Với m :∀ ⇒ ∃α tan m (3) tan x tan x kα = ⇒ ⇔ = α ⇔ = α + pi . 
Chú ý : * Nếu α thỏa mãn 2 2
tan m
 pi pi
− < α <

 α =

 thì ta viết arctan mα = . 
*Các trường hợp ñặc biệt: 
1) tan x 1 x k
4
pi
= ⇔ = + pi 2) tan x 1 x k
4
pi
= − ⇔ = − + pi 3) tan x 0 x k= ⇔ = pi 
d)Phương trình: cot x m (4)= 
Với m :∀ ⇒ ∃α cot m (4) cot x cot x kα = ⇒ ⇔ = α ⇔ = α + pi . 
Chú ý : * Nếu α thỏa mãn 2 2
cot m
 pi pi
− < α <

 α =

 thì ta viết arc co tmα = . 
*Các trường hợp ñặc biệt: 
 1) cot x 1 x k
4
pi
= ⇔ = + pi 2) co t x 1 x k
4
pi
= − ⇔ = − + pi 3) cot x 0 x k
2
pi
= ⇔ = + pi 
Ghi chú: *
u v k2
sin u sin v 
u v k2
 = + pi
= ⇔
= pi − + pi
∈ ( )k Z * cos u cos v u v k2= ⇔ = ± + pi ∈(k Z) 
* tan u tan v u v k= ⇔ = + pi ∈(k Z) * cot u cot v u v k= ⇔ = + pi ∈(k Z) 
Chuyên ñề phương trình lượng giác Nguyễn Tất Thu (01699257507) 
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 3 - 
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau 
2x
1) 2 cos x 2 0 2) 3 tan 2x 3 0 3) 2 cot 3
3
− = − = = 
4) sin x cos 2x 0− = 5) tan x cot2x 0− = 06) 2 sin(2x 35 ) 3− = 
7) sin(2x 1) cos(3x 1) 0+ + − = 8) tan(2x 3) cot(x )
7
pi
+ − − 
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau 
2cos 3x 9x 16x 80
4
 pi  
− − −  
  
. 
2)Phương trình bậc hai một hàm số lượng giác: Là phương trình có dạng 
2
sin x sin x
cos x cos x
a. b. c 0
tan x tan x
cot x cot x
   
   
   + + =   
   
      
 (1) 
Cách giải: ðặt 
sin x
cos x
t
tan x
cot x
 
 
 
=  
 
  
 (*) khi ñó (1) trở thành: 2at bt c 0 + + = giải phương trình này ta tìm ñược t 
thay vào (*) ta tìm ñược x 
Chú ý: Nếu sin xt
cos x
 
=  
  
 thì 1 t 1− ≤ ≤ . 
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau 
21) 2 sin x 3 sin x 1 0− + = 22) sin x cos x 1 0− + = 3) 2 cos 2x 3 sin x 1 0+ − = 
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau 
21) 3 tan x ( 3 1) tan x 1 0− + + = 
2
1
2) 3 cot x 1 0
sin x
+ + = 3) 3 tan x 4 cot x 1− = 
Ví dụ 3: Giải các phương trình sau 
1) 4 cos x. cos 2x 1 0+ = 8 8 22) 16(sin x cos x) 17 cos 2x+ = 4 63)cos x cos 2x 2 sin x 0− + = 
3. Phương trình bậc nhất ñối với sinx và cosx 
Là phương trình có dạng: a sin x b cos x c (1)+ = . 
Cách giải: Chia hai vế cho: 2 2a b+ và ñặt 
2 2 2 2
a b
cos ; sin
a b a b
α = α =
+ +
2 2
c
(1) sin x.cos cos x. sin sin(x ) sin
a b
⇒ ⇔ α + α = ⇔ + α = β
+
Chú ý: * (1) có nghiệm 2 2 2a b c⇔ + ≥ . 
 * 
1 3
sinx 3 cos x 2 sin x cos x 2 sin(x )
2 2 3
  pi± = − = − 
  
Chuyên ñề phương trình lượng giác Nguyễn Tất Thu (01699257507) 
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 4 - 
 * 
3 1
3sinx cos x 2 sin x cos x 2 sin(x )
2 2 6
  pi± = ± = ± 
  
 * 
1 1
sin x cos x 2 sin x cos x 2 sin(x )
42 2
  pi± = ± = ± 
 
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: 
1) 3 sin 4 cos 5 2) sin 2 3 cos 2 1 3)2 sin 3 5 cos 3 5+ = + = + =x x x x x x 
4)3 cos 3 sin 1 5) sin 7 - cos 2 3(sin 2 cos 7 ) 6) sin 3 3 cos 3 2 sin 2+ = = − − =x x x x x x x x x 
Ví dụ 2: Cho phương trình : ( - 1) cos 2 sin 3+ = +m x x m 
 1)Giải phương trình khi 2= −m 
 2)Tìm m ñể phương trình có nghiệm. 
Ví dụ 3: Tìm gtln và gtnn của các hàm sau : 
sin x 2cos x 1
1)y 3sin x 4cos x 5 2) y
sinx cos x 2
+ +
= + + =
+ +
. 
4. Phương trình ñẳng cấp: Là phương trình có dạng (sin , cos ) 0=f x x trong ñó luỹ thừa của sinx và cosx 
cùng chẵn hoặc cùng lẻ. 
Cách giải: Chia hai vế pt cho cos 0≠k x (k là số mũ cao nhất) ta ñược pt ẩn là tan x . 
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau 
2 21)4 sin x 5 sin x cos x 6 cos x 0− − = 22) sin x 3 sin x. cos x 1 − = − 
2 23)3 sin x 5 cos x 2 cos 2x 4 sin 2x+ − = 
3 1
4)8 sin x
s inx cos x
= + 
5. Phương trình lượng giác không mẫu mực 
 ðể giải phương trình lượng giác không mẫu mực, ta sử dụng các phép biến ñổi lượng giác, ñưa phương trình 
ñã cho về những dạng phương trình ñã biết. Khi thực hiện các phép biến ñổi cần chú ý một số nguyên tắc sau 
1. ðưa về cùng một hàm số lượng giác: Trong một phương trình nếu các hàm số lượng giác có mặt trong 
phương trình có thể cùng biểu diễn qua ñược một hàm số lượng giác thì ta ñưa phương trình ñã cho về 
hàm chung ñó rồi sử sụng phương pháp ñặt ẩn phụ ñể chuyển về phương trình ñại số. 
Ví dụ 1: Giải phương trình : cos 3x 2 cos 2x cos x 0 − + = . 
Ta thấy các hàm số lượng giác có mặt trong phương trình ñều biểu diễn ñược qua cosx. Do ñó ta chuyển 
phương trình ñã cho về phương trình chỉ chứa hàm số cosx. 
3 2 3 2PT 4 cos x 3 cos x 2(2 cos x 1) cos x 0 2 cos x 2 cos x cos x 1 0⇔ − − − + = ⇔ − − + = 
ðặt t cos x, t 1= ≤ . Ta có: 3 2 2
t 1
2t 2t t 1 0 (t 1)(t t 1) 0 1 5
t
2
 =

− − + = ⇔ − − − = ⇔
−
=
. 
* t 1 cos x 1 x k2= ⇔ = ⇔ = pi 
* 
1 5 1 5 1 5
t cos x x arccos k2
2 2 2
− − −
= ⇔ = ⇔ = ± + pi . 
Ví dụ 2: Giải phương trình : 6 23 cos 4x 8 cos x 2 cos x 3 0− + + = . 
Cách giải tương tự như ví dụ 1 
2. ðưa về cùng một cung: Trong một phương trình lượng giác thường xuất hiện hàm số lượng giác của 
các cung khác nhau (chẳng hạn cung x; x, 3x...
3
pi
− ), khi ñó ta có thể tìm cách ñưa về cùng một cung 
nếu có thể ñược 
Chuyên ñề phương trình lượng giác Nguyễn Tất Thu (01699257507) 
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 5 - 
Ví dụ 3: Giải phương trình : 1 1 74 sin( x)
sin x 3 4
sin(x )
2
pi
+ = −
pi
−
 (ðH Khối A – 2008 ) 
Trong phương trình có ba cung 3 7x; x ; x
2 4
pi pi
− − nên ta tìm cách chuyển ba cung này về cùng một cung x 
Ta có: 3sin(x ) sin (x ) 2 sin(x ) cos x
2 2 2
 pi pi pi
− = + − pi = + = 
 
( )7 1sin( x) sin 2 (x ) sin(x ) sin x cos x
4 4 4 2
 pi pi pi
− = pi − + = − + = − + 
 
PT 1 1 2 2(sin x cos x) (sin x cos x)( 2 sin 2x 1) 0
sin x cos x
⇔ + = − + ⇔ + + = 
sin x cos x 0 x k2
41
5sin 2x
x k ; x k2 8 8
 pi + =
= − + pi
⇔ ⇔  pi pi= − 
= − + pi = − + pi 
. 
Ví dụ 4: Giải phương trình : 2 sin x(1 cos 2x) sin 2x 1 2 cos x+ + = + (ðH Khối D – 2008 ). 
Cách giải : Ta chuyển cung 2x về cung x 
3. Biến ñổi tích thành tổng và ngược lại: 
4. Hạ bậc: Khi giải phương trình lượng giác ta phải sử dụng các công thức biến ñổi lượng giác. Tuy 
nhiên những công thức này chỉ sử dụng khi hàm số lượng giác có số mũ bằng 1, do ñó nếu trong 
phương trình có số mũ của các hàm số lượng giác là chẵn thì ta có thể hạ bậc ñể thuận tiện cho việc 
biến ñổi 
Ví dụ 5: Giải phương trình : 2 2 2 2sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x− = − 
Áp dụng công thức hạ bậc, ta có: 
1 cos 6x 1 cos 8x 1 cos10x 1 cos12x
PT cos 6x cos 8x cos10x cos12x
2 2 2 2
− + − +
⇔ − = − ⇔ + = + 
ðể thực hiện ñược ñiều này ta thường sử dụng các phép biến ñổi sau: 
Phương pháp ñưa về dạng tích :