Chuyên đề về Phép dời hình - THPT Chuyên Nguyễn Đình Chiểu

PHÉP DỜI HÌNH
I. Tìm phương trình ảnh của một đường cong :
Bài 1:
Trong mp(Oxy) cho phép biến hình F biến mỗi điểm M(x, y) thành điểm M’(x’, y’) sao cho
 trong đó 
CMR: F là phép dời hình.
Bài 2:
Trong mp(Oxy) cho M(1, 2). Tìm tọa độ điểm M’ là ảnh của M qua mỗi phép biến hình sau:
1. tịnh tiến véctơ (-3,4)
2. đối xứng qua điểm I(-1,3)
3. đối xứng qua đường qua trục hoành Ox.
4. đối xứng qua đường qua trục tung Oy.
5. đối xứng qua đường phân giác thứ nhất.
6. đối xứng qua đường phân giác thứ hai.
7. đối xứng qua đường thẳng d: 2x+y+1=0.
Bài 3:
Trong mp(Oxy) cho và 
Viết phương trình ảnh của và qua mỗi phép biến hình sau:
1. tịnh tiến véctơ (1,-2)
2. đối xứng qua điểm I(-1,2)
3. đối xứng qua đường qua trục hoành Ox.
4. đối xứng qua đường qua trục tung Oy.
5. đối xứng qua đường phân giác thứ nhất.
6. đối xứng qua đường phân giác thứ hai.
7. đối xứng qua đường thẳng d: 2x+y+1=0.
Bài 4:
Tìm ảnh qua phép quay Q
A(2,2)
(C): .
Bài 5:
Tìm phương trình hình biến của đường tròn (C): trong phép quay tâm I(1,0) góc quay .
II. Dựng hình:
Bài 1:
Cho hai đường thẳng a, b và hai điểm phân biệt C, D. Xác định các điểm A, B lần lượt thuộc a, b sao cho tứ giác ABCD là một hình bình hành.
Bài 2:
Cho đường tròn (C), đường thẳng (d) và hai điểm phân biệt A, B không thuộc chúng. Xác định điểm C thuộc (d), điểm D thuộc (C) sao cho tứ giác ABCD là hình thang cân có hai đáy AB và CD.
Bài 3:
Cho hai đường thẳng a, b và điểm C không nằm trên chúng. Hãy tìm trên a và b lần lượt hai điểm A và B sao cho tam giác ABC là tam giác đều.
Bài 4:
Cho hai đường thẳng a, b và điểm O không nằm trên chúng. Xác định điểm A thuộc a, điểm B thuộc b sao cho tam giác ACB vuông cân tại O.
Bài 5:
Cho hai đường thẳng d1 và d2. A và G là hai điểm cho sẵn không thuộc hai đường thẳng đó. Hãy tìm trên d1 điểm B, trên d2 điểm C sao cho tam giác ABC có trọng tâm là G.
Bài 6:
Cho hai đường tròn cắt nhau tại A và A’. Tìm trên hai đường tròn hai điểm B và C sao cho tam giác ABC là tam giác vuông cân đỉnh A.
Bài 7:
Cho hai đường tròn (C) và (C’) có bán kính khác nhau và đường thẳng d. Hãy dựng hình vuông ABCD có hai đỉnh A, C lần lượt nằm trên (C), (C’) còn hai đỉnh kia nằm trên d.
Bài 8:
Cho góc xOy và một điểm A thuộc miền trong của góc đó. Hãy dựng đường thẳng đi qua A, cắt Ox tại B, cắt Oy tại C sao cho A là trung điểm của BC.
Bài 9:
Hãy dựng một hình bình hành ABCD cho biết hai đỉnh A, C; còn hai đỉnh đối diện B, D còn lại nằm trên một đường tròn tâm O bán kính R cho trước.
Bài 10:
Cho hai đường tròn không đồng tâm (O,R) và (O1,R1) và một điểm A trên (O,R). Xác định điểm M trên (O,R) và điểm N trên (O1,R1) sao cho .
III. Quỹ tích:
Bài 1:
Cho đường tròn (O) với đường kính AB cố định, một đường kính MN thay đổi. Các đường thẳng AM và AN cắt tiếp tuyến tại B lần lượt tại P và Q. Tìm quỹ tích trục tâm các tam giác MPQ và NPQ.
Bài 2:
Cho đường tròn (O) và một điểm I không nằm trên đường tròn. Với mỗi điểm A thay đổi trên đường tròn, ta xét hình vuông ABCD có tâm là I. Tìm quỹ tích các điểm B, C, D.
Bài 3:
Cho đường thẳng a và một điểm G không nằm trên a. Với mỗi điểm A nằm trên a ta dựng tam giác đều ABC có tâm là G. Tìm quỹ tích hai điểm B và C khi A chạy trên a.
Bài 4:
Cho đường tròn (O) và tam giác ABC. Một điểm M thay đổi trên đường tròn (O). Gọi M1 là điểm đối xứng của M qua A; M2 là điểm đối xứng của M1 qua B; M3 là điểm đối xứng của M2 qua C. Tìm quỹ tích của điểm M3. 
Bài 5:
Cho đoạn thẳng AB và đường tròn (O,R) nằm về một phía của đường thẳng AB. Lấy M trên (C) rồi dựng hình bình hành ABMM’. Tìm tập hợp các điểm M’ khi M di động trên (C).
Bài 6:
Cho điểm M thay đổi trên nửa đường tròn (C) tâm O, đường kính AB (M khác A và B). vế phía ngoài tam giác AMB dựng hình vuông BMDC.
1. Tìm tập hợp điểm C.
2. Tìm vị trí M để AC dài nhất.
Bài 7:
Cho hình bình hành ABCD. Với mỗi điểm M trên cạnh AB ta lấy M1 đối xứng với M qua D, M2 đối xứng với M1 qua trung điểm cạnh CD và M3 đối xứng với M2 qua B. Tìm tập hợp các điểm M3 khi M thay đổi trên cạnh AB. 
Bài 8:
Cho tam giác ABC cố định có trực tâm H. Vẽ hình thoi BCDE, từ D và E vẽ các đường thẳng vuông góc với AB và AC. Các đường thẳng này cắt nhau tại điểm M. Tìm quỹ tích của điễm M.
Bài 9:
Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ điểm P thay đổi trên cạnh huyền BC vẽ các đường vuông góc PR, PQ với các cạnh góc vuông AB, AC (R thuộc AB, Q thuộc AC). Tìm qũy tích trung điểm M của đoạn RQ.
Bài 10:
Cho đường tròn (O,R) và hai điểm A, B thuộc đường tròn. Đường tròn (I, r) tiếp xúc ngoài với đường tròn (O,R) tại A. Một điểm M di động trên đường tròn (O,R), tia MA cắt đường tròn (I,r) tại điểm thứ hai C. Qua C vẽ đường thẳng song song với AB cắt đường thẳng MB tại D. Tìm quỹ tích của điểm D.
Bài 11:
Cho góc xAy cố định. Trên các tia Ax, Ay theo thứ tự lấy các điểm B, C cố định. Trên tia Bx và Cy ta lần lượt lấy các điểm D, E chuyển động sao cho BD=CE. Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn DE.
IV. Chứng minh:
Bài 1:
Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C, điểm B nằm giữa hai điểm A và C. Dựng về một phía của đường thẳng AC các tam giác đều ABE và BCF.
1. CMR: AF=EC và góc giữa hai đường thẳng AF và EC bằng 60 độ.
2. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AF và EC. CMR: tam giác BMN đều.
Bài 2:
Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngoài của tam giác các hình vuông BCIJ, ACMN, ABEF và gọi O, P, Q lần lượt là tâm đối xứng của chúng.
1. Gọi D là trung điểm của AB. CMR: DOP là tam giác vuông cân đỉnh D.
2. CMR: AO vuông góc với PQ và AO=PQ.
Bài 3:
Cho hai điểm M và N chuyển động trên đường thẳng chứa cạnh AB của tam giác ABC sao cho MN=AB và tia MN và tia AB cùng chiều. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của M lên BC và của N lên CA. Gọi S là trung điểm của AN và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE.
CMR:
1. OS có độ dài không đổi.
2. O thuộc một đường thẳng cố định.
Bài 4:
Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB, AC ta dựng ra phía ngoài các hình vuông ABMN và ACPQ.
1. CMR: NC vuông góc với BQ và NC=BQ.
2. Gọi I là trung điểm của BC. CMR: AI vuông góc với QN và .
Bài 5:
Cho hình bình hành ABCD. Dựng tam giác đều ABE và ADF sao cho đỉnh E nằm cùng phía với điểm C đối với đường thẳng AB, đỉnh F nằm cùng phía với điểm C đối với đường thẳng AD. CMR: CEF là tam giác đều.
Bài 6:
Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Dựng ra phía ngoài của tam giác các hình vuông ABMN, ACPQ, BCEF.
1. CMR: BQ vuông góc với CN và NC=BQ.
2. Gọi D là trung điểm của BC và K, H, G theo thứ tự là tâm các hình vuông ABMN, ACPQ, BCEF. CMR: DKH là tam giác vuông cân và hai đoạn KH và AC bằng nhau và vuông góc với nhau.
Bài 7:
Về phía ngoài của tứ giác lồi ABCD dựng các hình vuông có cạnh lần lượt là AB, BC, CA, DA. CMR: tâm của bốn hình vuông đó tạo thành một tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau.
V. Tích các phép dời hình:
Bài 1:
CMR:
1. Tích của phép đối xứng tâm với phép tịnh tiến là phép đối xứng tâm. Hãy xác định phép đối xứng tâm đó.
2. Tích của phép tịnh tiến với phép đối xứng tâm là phép đối xứng tâm. Hãy xác định phép đối xứng tâm đó.
Bài 2:
Cho hai đường thẳng d1 và d2. Gọi Đ1 và Đ2 lần lượt là các phép đối xứng trục qua d1 và d2. Với mổi điểm M bất kì, giả sử Đ1(M)=M1, Đ2(M1)=M2. Ta nói tích của Đ1 và Đ2 là phép biến hình T biến M thành M2.Xét xem T là phép biến hình nào?
1. d1 song song với d2
2. d1 vuông góc d2
3. d1 cắt d2
Bài 3:
CMR: Tích của hai phép tịnh tiến là phép tịnh tiến.	
PHÉP ĐỒNG DẠNG
Bài 1:
Trong mp(Oxy). Viết phương trình ảnh của đường thẳng (d): x+2y-3=0 và ảnh của đường tròn (C): qua phép vị tự tâm I(2,-1) tỉ số k=-3.
Bài 2:
Trong mp(Oxy), cho đường tròn (C): và hai điểm A(1,3); B(-3,1). Điểm C thay đổi trên (C). CMR: trọng tâm G của tam giác ABC thuộc một đường tròn (C’) cố định. Viết phương trình (C’).
Bài 3:
Cho hai đường thẳng d1 và d2 và điểm A nằm ngoài hai đường thẳng đó. Dựng đường thẳng d đi qua A cắt d1, d2 lần lượt tại B và C sao cho B là trung điểm của AC.
Bài 4:
Cho hai đường tròn đồng tâm (O, r) và (O, R) (r<R<4r). Dựng đường thẳng d đi qua điểm A cho trước thuộc (O, r); cắt (O, r) tại điểm thứ hai B và cắt (O, R) tại C, D sao cho CD=5AB.
Bài 5:
Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau và điểm C. Tìm trên a và b các điểm A và B tương ứng sao cho tam giác ABC vuông cân ở A.
Bài 6:
Trong mp(Oxy). Xét phép biến hình F cho tương ứng mỗi điểm M(x,y) ta được một điểm M’(2x,-2y).
1. CMR: F là phép đồng dạng.
2. Tìm ảnh của tam giác ABC qua phéo đồng dạng F, cho biết A(1,2); B(-2,0); C(2,-1).
Bài 7:
Dựng tam giác BAC vuông cân tại A, có C là một điểm cho trước, còn hai đỉnh A, B lần lượt thuộc hai đường thẳng a, b song song với nhau cho trước.
Bài 8:
Cho hai điểm A, B cố định trên đường tròn (O, R) cho trước. Một điểm M di động trên đường tròn đó. Gọi N là trung điểm củ AM. Dựng hình bình hành ABCN. Xác định phép biến hình biến M thành C và chứng tò rằng tập hợp điểm C là một đường tròn có bán kính xác định.