Chuyên đề về Nguyên hàm và tích phân - Trần Sĩ Tùng

= - + = - +ç ÷
è ø
 2 2 2 2 21 1 1(1 sin t) 1 C (1 x ) 1 1 x C (x 2) 1 x C
3 3 3
é ù é ù= - - + = - - - + = - + - +ê ú ê úë û ë û
Chuù yù: Trong caùch giaûi treân sôû dó ta coù: 
2
2 2
cos t cos t
t cos t 0
2 2 cos t 1 sin t 1 x
ì =p p ï- Þ í
ï = - = -î
· Caùch 2: Ñaët 2 2 2t 1 x x 1 t= - Þ = - 
 Suy ra: 
3 2 2 2
2
2 2 2
x dx x .xdx x .xdx (1 t )( tdt)2xdx 2tdt & (t 1)dt
t1 x 1 x 1 x
- -
= = = = = -
- - -
 Khi ñoù: 2 3 2 2 21 1 1I (t 1)dt t t C (t 3)t C (x 2) 1 x C
3 3 3
= - = - + = - + = - + - +ò 
Daïng 4: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm soá höõu tæ ñoái vôùi x vaø 2 2a x+ coù daïng: 
2 2I R(x, a x )dx,vôùi ad bc 0.= + - ¹ò 
PHÖÔNG PHAÙP CHUNG 
Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: 
· Böôùc 1: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: 
 2 2
x | a | tgt vôùi t
(hoaëc coù theå t x a x )2 2
x | a | cot gt vôùi 0 t
p pé = - < <ê = + +
ê
= < < pë
· Böôùc 2: Baøi toaùn ñöôïc chuyeån veà: I S(sin t, cos t)dt.= ò 
Ví duï 6: Tính tích phaân baát ñònh: 2I 1 x dx.= +ò 
Giaûi: 
Traàn Só Tuøng Tích phaân 
 Trang 71 
· Caùch 1: Ñaët: x tgt, t .
2 2
p p
= - < < Suy ra: 22 3
dt dtdx & 1 x dx .
cos t cos t
= + = 
 Khi ñoù: 3 4 2 2
dt cos tdt cos tdtI
cos t cos t (1 sin t)
= = =
-ò ò ò 
 Ñaët: u = sint. Suy ra: 2 2 2 2
cos tdt dudu cos tdt &
(1 sin t) (u 1) (u 1)
= =
- + -
 Khi ñoù: 2 2
du 1 u 1 2uI ln C
4 u 1 (u 1)(u 1)(u 1) (u 1)
é ù+
= = - +ê ú- + -+ - ë û
ò 
2 2
2 2 2
2
2
2
2 2 2 2
1 sin t 1 2sin tln C
4 sin t 1 (sin t 1)(sin t 1)
x x1 2
1 1 x 1 xln Cx x x4 1 1 1
1 x 1 x 1 x
1 x 1 xln 2x 1 x C
4 x 1 x
1 1(2 ln | x 1 x | 2x 1 x ) C (ln | x 1 x | x 1 x ) C.
4 2
é ù+
= - +ê ú- + -ë û
é ù
+ê ú
+ +ê ú= - +
æ öæ öê ú- + -ç ÷ç ÷ê ú+ + +è øè øë û
æ ö+ +ç ÷= + + +ç ÷- +è ø
= + + + + + = + + + + +
· Caùch 2: Ñaët: 
2
2 2 2 2 t 1t x 1 x t x 1 x (t x) 1 x x
2t
-
= + + Þ - = + Þ - = + Þ = 
2 2
2 t 1 t 11 x t
2t 2t
- +
Þ + = - = 
 Suy ra: 
2 2 2
2 2 22
x x 1 x 2t t 1dt 1 dx dx dx dx dt
1 x t 1 2t1 x
+ + +æ ö= + = = Û =ç ÷ + ++è ø
2 2 2 2
2
2 3 3
t 1 t 1 1 (t 1) 1 2 11 x dx . dt dt t dt
2t 4 4 t2t t t
+ + + æ ö+ = = = + +ç ÷
è ø
 Khi ñoù: 23 2
1 2 1 1 1 1I t dt t 2 ln | t | C
4 t 4 2t 2t
æ ö æ ö= + + = + - +ç ÷ ç ÷
è ø è øò 
2 2 2
2
2 2
1 1 1t 4 ln | t | C 4x 1 x 4 ln x 1 x C
8 8t
1 (ln x 1 x x 1 x ) C.
2
é ùæ ö é ù= - + + = + + + + +ë ûç ÷ê úè øë û
= + + + + +
· Caùch 3: Söû duïng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn 
 Ñaët : 
2
2
xdxduu x 1
x 1
dv dx v x
ìì =ï ï= + Þ +í í
=ï ïî =î
Tích phaân Traàn Só Tuøng 
 Trang 72 
 Khi ñoù: 
2
2
2
x dxI x x 1
x 1
= + -
+
ò 
 Vôùi 
2 2
2
2 2 2
x dx [(x 1) 1]dx dxJ x 1dx
x 1 x 1 x 1
+ -
= = = + -
+ + +
ò ò ò ò 
 2I ln x x 1 C (2)= - + + + 
 Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc: 
 2 2 2 2I x x 1 (I aln) x x 1 C 2I x x 1 ln x x 1 C= + - - + + + Û = + + + + + 
 2 2x 1I x 1 ln x x 1 C.
2 2
Û = + + + + + 
Chuù yù: 
1. Trong caùch giaûi thöù nhaát sôû dó ta coù: 
 2
2
1 x1 x cos t vaø sin t
cos t 1 x
+ = =
+
 laø bôûi: 
2
2
cos t cos t
t cos t 0 x2 2 sin t tgt.cos t
1 x
ì =
p p ï
- Þ í
= =ï
+î
2. Caû ba phöông phaùp treân (toát nhaát laø phöông phaùp 2) ñöôïc aùp duïng ñeå giaûi baøi toaùn 
toång quaùt: 
 2 2 2 2
2
a x dxx adx ln x x a x a C; ln x x a C.
2 2 x a
+ = + + + + + = + + +
+
ò ò 
3. Vôùi tích phaân baát ñònh sau toát nhaát laø söû duïng phöông phaùp 1: 
2 2 2k 1
dx , vôùi k Z.
(a x ) +
Î
+
ò 
4. Vôùi tích phaân baát ñònh: (x a)(x b)dx+ +ò ta coù theå thöïc hieän nhö sau: 
 Ñaët: 
2a b (b a)t x & A
2 4
+ -
= + = - 
 suy ra: 2dt dx & (x a)(x b)dx t Adt= + + = + 
 Khi ñoù: 2 2 2A tI t Adt ln t t A t A C
2 2
= + = + + + + +ò 
2(b a) a b 2x a bln x (x a)(x b) (x a)(x b) C.
8 2 4
- + + +
= + + + - + + + + 
Daïng 5: Tính tích phaân baát ñònh caùc haøm höõu tæ ñoái vôùi x vaø 2 2x a- coù daïng: 
2 2I R(x, x a )dx,vôùi ad bc 0.= - - ¹ò 
Traàn Só Tuøng Tích phaân 
 Trang 73 
PHÖÔNG PHAÙP CHUNG 
Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: 
· Böôùc 1: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: 
 2 2
| a |x vôùi t ; \ {0}
sin t 2 2 (hoaëc coù theå t x a )
| a |x vôùi t [0; ] \ { }.
cos t 2
é p pé ù= Î -ê ê úë û = -ê
pê = Î pêë
· Böôùc 2: Baøi toaùn ñöôïc chuyeån veà: I S(sin t, cos t)dt.= ò 
Ví duï 7: Tính tích phaân baát ñònh: 
2 2
xdxI
2x 1 3 x 1
=
- + -
ò 
Giaûi: 
· Caùch 1: Ñaët: 2 2 2t x 1 t x 1= - Þ = - 
 Suy ra: 22 2 2 2
xdx xdx tdt2tdt 2xdx &
2t 3t 12x 1 3 x 1 2(x 1) 3( x 1 1
= = =
+ +- + - - + - +
 Khi ñoù: 2
tdtI
2t 3t 1
=
+ +ò 
 Ta coù: 2
t t a b (a 2b)t a b
(2t 1)(t 1) 2t 1 t 1 (2t 1)(t 1)2t 3t 1
+ + +
= = + =
+ + + + + ++ +
 Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: 
a 2b 1 a 1
a b 0 b 1
+ = = -ì ì
Ûí í+ = =î î
 Khi ñoù: 2
t 1 1 .
2t 1 t 12t 3t 1
= - +
+ ++ +
 Do doù: 
21 1 1 1 (t 1)I dt ln | 2t 1 | ln | t 1 | C ln C
2t 1) t 1 2 2 | 2t 1 |
+æ ö= - + = - + + + + = +ç ÷+ + +è ø
ò 
2 2
2
1 ( x 1 1)ln
2 2 x 1 1
- +
=
- +
· Caùch 2: Vì ñieàu kieän |x| > 1, ta xeùt hai tröôøng hôïp: 
– Vôùi x > 1: 
 Ñaët: 1x , t [0; )
cos t 2
p
= Î . Suy ra: 2
sin tdtdx ,
cos t
= 
2 22
2 22 2
2
1 sin t. dtxdx (1 tg t)tgt.dt (1 tg t)tgt.dtcos t cos t
2 2(1 tg t) 1 3tgt 2tg t 3tgt 12x 1 3 x 1 1 3tgt
cos t
+ +
= = =
+ - + + +- + - - +
Tích phaân Traàn Só Tuøng 
 Trang 74 
 Khi ñoù: 
2
2
(1 tg t)tgt.dtI .
2tg t 3tgt 1
+
=
+ +ò 
 Ñaët: u = tgt. Suy ra: 
2
2
2 2 2
dt (1 tg t)tgt.dt u.dudu (1 tg t)dt &
cos t 2tg t 3tgt 1 2u 3u 1
+
= = + =
+ + + +
 Khi ñoù: 
21 1 1 1 (u 1)I dt ln 2u 1 ln u 1 C ln C
2u 1 u 1 2 2 | 2u 1 |
+æ ö= - + = - + + + + = +ç ÷+ + +è øò 
2 2 2
2
1 (tgt 1) 1 ( x 1 1)ln C ln C.
2 2tgt 1 2 2 x 1 1
+ - +
= + = +
+ - +
– Vôùi x < –1 (töï laøm) 
Daïng 6: Tính tích phaân baát ñònh caùc haøm höõu tæ ñoái vôùi x vaø 2ax bx c+ + coù daïng: 
2I R(x, ax bx c)dx, vôùi ad bc 0= + + - ¹ò 
PHÖÔNG PHAÙP CHUNG 
Ta coù theå löïa choïn moät trong hai caùch sau: 
· Caùch 1: Ñöa I veà caùc daïng nguyeân haøm cô baûn ñaõ bieát. 
 Ta xeùt caùc tröôøng hôïp sau: 
 Ÿ Tröôøng hôïp 1: Neáu a > 0 vaø D < 0. 
 – Böôùc 1: Ta coù: 
2
2 2ax bax bx c 1
4a
é ùD +æ ö+ + = - +ê úç ÷-Dè øë û
 – Böôùc 2: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: 2ax bt +=
-D
 – Böôùc 3: Baøi toaùn ñöôïc chuyeån veà: 2I S(t, 1 t )dt= +ò 
 Ÿ Tröôøng hôïp 2: Neáu a 0. 
 – Böôùc 1: Ta coù: 
2
2 2ax bax bx c 1
4a
é ùD +æ ö+ + = - -ê úç ÷Dè øë û
 – Böôùc 2: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: 2ax bt +=
D
 – Böôùc 3: Baøi toaùn ñöôïc chuyeån veà: 2I S(t, 1 t )dt= -ò 
 Ÿ Tröôøng hôïp 3: Neáu a > 0 vaø D > 0. 
 – Böôùc 1: Ta coù: 
2
2 2ax bax bx c 1
4a
é ùD +æ ö+ + = -ê úç ÷Dè øë û
 – Böôùc 2: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: 2ax bt +=
D
Traàn Só Tuøng Tích phaân 
 Trang 75 
 – Böôùc 3: Baøi toaùn ñöôïc chuyeån veà: 2I S(t, t 1)dt= -ò 
· Caùch 2: Söû duïng pheùp theá Euler: 
 Ta xeùt caùc tröôøng hôïp sau: 
 1. Neáu a > 0, ñaët 2ax bx c t x a hoaëc t x a.+ + = - + 
 2. Neáu c > 0, ñaët 2ax bx c tx c hoaëc tx c.+ + = + - 
 3. Neáu tam thöùc 2ax bx c+ + coù bieät soá D > 0 thì 
 2 1 2ax bx c a(x x )(x x ).+ + = - - Khi ñoù ñaët: 
2
1ax bx c t(x x ).+ + = - 
Ví duï 8: Tính tích phaân baát ñònh: 2I x 2x 2dx.= + +ò 
Giaûi: 
· Caùch 1: Söû duïng pheùp ñoåi bieán: t x 1 dt dx.= + Þ = 
 Khi ñoù: 2I t 1dt.= +ò 
 Tích phaân treân chuùng ta ñaõ bieát caùch xaùc ñònh trong ví duï 6. 
· Caùch 2: Söû duïng pheùp ñoåi bieán: 
2 2
2 2 2
2
t 2 (t 2t 2)dtx 2x 2 t x x 2x 2 (t x) x dx
2(t 1) 2(t 1)
- + +
+ + = - Þ + + = - Û = Þ =
+ +
 Khi ñoù: 
2 2 4
2
2 3
t 2 (t 2t 2)dt 1 (t 4)dtI x 2x 2dx t . .
2(t 1) 42(t 1) (t 1)
é ù- + + +
= + + = - =ê ú+ + +ë û
ò ò ò 
 Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: 
 4 4 4 3 2t 4 [(t 1) 1] 4 (t 1) 4(t 1) 6(t 1) 4(t 1) 5.+ = + - + = + - + + + - + + 
 Do ñoù: 
2
2
1 6 4 1 t 4I [t 1 4 ]dt [ 3t 6 ln | t 1 | ] C
4 t 1 4 2 t 1(t 1)
= + - + - = - + + + +
+ ++ò 
2 2
2
2
2
1 ( x 2x 2 x)[ 3( x 2x 2 x)
4 2
46 ln x 2x 2 x 1 ] C.
x 2x 2 x 1
+ + +
= - + + + +
+ + + + + + +
+ + + +
Daïng 7: Tính tích phaân baát ñònh 
2
dxI
( x ) ax bx c
=
l + m + +
ò 
PHÖÔNG PHAÙP CHUNG 
Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: 
– Böôùc 1: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: 1t
x
=
l + m
– Böôùc 2: Baøi toaùn ñöôïc chuyeån veà: 
2
dtI
t t
=
a + b + g
ò 
Chuù yù: Phöông phaùp treân coù theå ñöôïc aùp duïng cho daïng toång quaùt hôn laø: 
Tích phaân Traàn Só Tuøng 
 Trang 76 
n 2
(Ax B)dxI
( x ) ax bx c
+
=
l + m + +
ò 
Ví duï 9: Tính tích phaân baát ñònh: 
2
dxI
(x 1) x 2x 2
=
+ + +
ò 
Giaûi: 
Ñaët: 1 1t x 1
x 1 t
= Þ = -
+
suy ra: 2
1dx dt,
t
= -
22
2
2 2 2
dt1 khi t 0t( )dtdx dt 1 tt
dt1 1(x 1) x 2x 2 khi t 01 t. 1
t t 1 t
ì- >ï- +ï= = - = í
+ + + ï <+ +
ï +î
Khi ñoù: 
Ÿ Vôùi t > 0, ta ñöôïc: 
 2 22
dt 1 1I ln t 1 t C ln 1 C
x 1 (x 1)1 t
= - = - + + + = - + + +
+ ++
ò 
2 2
2
1 x 2x 2 x 1 1 x 2x 2ln C ln C ln C.
x 1 x 11 x 2x 2
+ + + + - + +
= - + = + = +
+ ++ + +
Ÿ Vôùi t < 0, ta ñöôïc: 
 2 22
dt 1 1I ln t 1 t C ln 1 C
x 1 (x 1)1 t
= = + + + = + + +
+ ++
ò
21 x 2x 2ln C.
x 1
- + +
= +
+
Toùm laïi vôùi t 0 x 1¹ Û ¹ - ta luoân coù: 
21 x 2x 2I ln C.
x 1
- + +
= +
+
3. SÖÛ DUÏNG TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN 
Baøi toaùn 3: Tính tích phaân caùc haøm voâ tæ baèng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn 
PHÖÔNG PHAÙP CHUNG 
Vôùi caùc haøm voâ tæ, trong phaïm vi phoå thoâng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn ít ñöôïc söû 
duïng, tuy nhieân chuùng ta cuõng caàn xem xeùt. 
Ví duï 10: Tính tích phaân baát ñònh: 2I x adx= +ò 
Giaûi: 
Ñaët: 
2
2
xdxduu x a
x a
dv dx v x
ì =ìï ï= + Þ +í í
=ï ïî =î
Traàn Só Tuøng Tích phaân 
 Trang 77 
Khi ñoù: 
2
2
2
x dxI x x a
x a
= + -
+
ò (1) 
Vôùi 
2 2
2
2 2 2
x dx [(x a) a]dx dxJ x adx a
x a x a x a
+ -
= = = + -
+ + +
ò ò ò ò 
 2I a ln x x a C.= - + + + (2) 
Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc: 
2 2 2 2x aI x x a (I aln x x a C) I x a ln x x a C.
2 2
= + - - + + + Û = + + + + + 
4.