Chuyên đề về Đường vuông góc với mặt phẳng

ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
Bài 1:
Cho hai tam giác cân ABC và ABD bằng nhau có chung cạnh đáy AB và không đồng phẳng. M, N, P lần lượt là trung điểm BC, AC, AD. I, J là trung điểm của AB, CD.
 CMR: IJ (MNP).
Bài 2:
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau. Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:
a) 
b) H là trực tâm của tam giác ABC
c) Các cạnh đối vuông góc.
d) 
e) Các góc của tam giác ABC đều nhọn.
Bài 3:
Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA (ABCD). H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SB, SC, SD.
a) CMR: AH, AI, AK đồng phẳng.
b) CMR: HK (SAC). Suy ra cách tính diện tích tứ giác AHIK.
Bài 4:
Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên (SAB) là tam giác đều, . H, K lần lượt là trung điểm của AB, AD..
a) CMR: SH (ABCD). 
b) CMR: SK AC và CK SD .
c) Gọi I là trung điểm CD, với . CMR: HE (SCD). 
Bài 5:
Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại A, đường thẳng SB vuông góc mặt phẳng (ABC). Kẻ BH, BK lần lượt là đường cao của các tam giác SBA và SBC. 
a) CMR: AC (SAB); BH (SAC); SC (BHK).
b) Gọi M là giao điểm của các đườnh thẳng HK và AC. CMR: tam giác MBC vuông.
 Bài 6:
Cho hình vuông ABCD và S là điểm ở ngoài mặt phẳng (ABCD) sao cho 
SA (ABCD). Kẻ các đường cao AH, AI, AK lần lượt của tam giác SAB, SAC, SA.
a) CMR: BC (SAB); CD (SAD); BD (SAC).
b) CMR: AH SC và AK SC .
c) CMR: HK//BD, HK AI. Bốn điểm A, I, H, K đồng phẳng. 
 Bài 7:
Cho tứ diện đều S.ABC cạnh a. Gọi H là hình chiếu của S xuống mặt phẳng (ABC).
a) Chứng tỏ H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính SH theo a.
b) Gọi I là trung điểm SH. Chứng minh tam diện IABC là tam diện ba góc vuông.
Baøi 8 :
Cho hình vuông ABCD cạnh a tâm O. Trên đường thẳng vuông góc với mp(ABCD) tại O, lấy điểm S sao cho . Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC lần lượt cắt SB, SC, SD tại B’, C’, D’.
a) Tính AC’. Chứng minh rằng C’ là trung điểm của SC.
b) Chứng minh rằng tứ giác AB’C’D’ có hai đường chéo vuông góc. Tính diện tích của tứ giác này.
Bài 9:
Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc nhau và SA = SB = SC.
a) CMR: tam giác ABC đều.
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. CMR: SG (ABC).
Bài 10:
Cho tam giác ABC vuông tại A, một đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại B; trên d lấy điểm S, nối S với A, B, C.
a) CMR: các mặt phẳng (SBA), (SBC) vuông góc với (ABC).
b) CMR: CA (SAB). Từ đó suy ra CA SA.
c) Tính tổng diện tích bốn mặt tứ diện biết: SA=10cm, BC=8cm, AC=6cm.
HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
Bài 1:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh:
a) (ABB’A’) (A’B’C’D’)
b) (BDD’B’) (ABCD)
c) (ACC’A’) (BDD’B’)
Bài 2:
Cho hình vuông ABCD với giao điểm hai đường chéo là O. Một đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ABCD tại O. Lấy 1 điểm S trên d. Nối SA, SB, SC, SD.
a) CM: AC (SBD)
b) CM: (SAC) (ABCD); (SAC) (SBD)
c) Tính SO biết AB = a và .
Bài 3:
Cho hình vuông ABCD và tam giác SAB nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau.
a) CM: (SAD) (SAB)
b) Gọi I là trung điểm AB, K là trung điểm AD CMR: (SCK) (SID).
Bài 4:
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, BC = 2a. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại tâm O của hình chữ nhật lấy điểm S sao cho . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) CMR: (SMN) (SAB); (SMN) (SCD)
b) CMR: (SAB) (SCD).
Bài 5:
Cho tứ diện ABCD có CD = 2a, các cạnh còn lại đều bằng . 
a) CMR: ; .
b) CMR: (ACD) (BCD).
Bài 6:
Cho tứ diện ABCD có các mặt phẳng (ABD) và (ACD) cùng vuông góc với mặt (BCD). Gọi DE, BK là các đường cao của tam giác BCD và BF là đường cao của tam giác ABC.
a) CMR: (ADE) (ABC); (BKF) (ABC)
b) Gọi H và N lần lượt trực tâm của các tam giác ABC và DBC. Chứng tỏ: H là hình chiếu vuông góc của N lên mặt (ABC).
Bài 7:
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB = a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường vuông góc với (ABC) tại D lấy điểm S sao cho . CMR: (SAB) (SAC). 
Bài 8:
Cho hình vuông ABCD có tam giác SAB cân tại S, nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau.
a) CMR: (SAD) (SAB).
b) Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AB và AD. CMR: (SKC) (SID).
Bài 9:
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật, có hai mặt (SAB) và (SAD) đều vuông góc với (ABCD). Gọi B’ và D’ lần lượt là chiếu vuông góc của A lên SB và SD
a) CMR: (AB’D’) (SBC); (AB’D’) (SCD)
b) CMR: (AB’D’) (SC).
Bài 10:
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a. Gọi M, N, E lần lượt là điểm giữa các cạnh BC, CC’, C’A’. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M, N, E. 
CMR: (P) (AA’B’B). 
KHOẢNG CÁCH
Bài 1:
Cho tứ diện SABC trong đó ABC là tam giác vuông cân đỉnh B và AC = 2a. Cạnh SA vuông góc với (ABC) và SA = a.
a) CMR: (SAB) (SBC)
b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC)