Chuyên đề về Đại số tổ hợp

 cách đi. 
	Vậy đoàn du lịch đi từ TPHCM đến Nha Trang qua ngã Đà Lạt sẽ có 5 x 3 = 15 cách đi. 
Thí dụ 2 : Cho 4 chữ số 1, 3, 5, 7
Có bao nhiêu chữ số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau tạo thành từ 4 chữ số trên. 
Trong các số tự nhiện nói trên có bao nhiêu số bắt đầu bởi chữ số 3 ?
Trong các số tự nhiên nói trên có bao nhiêu số bắt đầu bởi 15 ?
Giải : 
Các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau đã cho, bằng số hoán vị của 4 phần tử : P4 = 4! = 24
Mỗi hoán vị của 3 chữ số : 1, 5, 7 ghép với chữ số 3 đứng đầu sẽ cho một số tự nhiên cần tìm. Số các số như thế là : P3= 3! = 6
Tươngtự số các số tự nhiên bắt đầu bởi 15 là : P2 = 2
Thí dụ 3 : Cho tập hợp A = (0, 1, 3, 6, 9) 
Có thể lập bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau lấy từ tập hợp A ?
Trong các số trên, có bao nhiêu chữ số chẵn ?
Trong các số trên, có bao nhiêu số chia hết cho 3 ?
Giải :
1. Đặt số phải tìm là : x = abcd.
Có 4 cách chọn a từ tập A\{0}. 
Vì : bcd là 1 chỉnh hợp chập 3 lấy từ A\{a}, có cách chọn. Vậy có tất cả : 4 x 24 = 96 số x thỏa đề bài. 
2. Với x là số chẵn 
- Nếu d = 0,abc là 1 chỉnh hợp chập 3 của tập A\{0} : có 24 cách chọn. Vậy số các số x tận cùng bằng 0 là : 24
- Nếu d = 6, 
- Có 3 cách chọn a từ tập A\{0, 6}. 
- bc là chỉnh hợp chập 2 của tập A\{a; 6} : có 6 cách chọn. 
Vậy số các số x tận cùng bằng 6 là 3 x 6 = 18
Vậy các số x chẵn tìm được là : 24 + 18 = 42. 
3. Vì các số 0, 3, 6, 9 là bội của 3. Nên các số x là bội số của 3 thì không chứa số 1. Lập luận tương tự câu 1, ta có 18 số. 
Thí dụ 4 : Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ, chúng chỉ khác nhau về màu. Lấy ra hai viên bi. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra được 2 viên bi xanh ? 2 viên bi đỏ ? 2 viên bi khác màu nhau. 
	Giải
	Lấy ra 2 viên bi xanh từ 4 viên bi xanh, có cách. 
	Lấy ra 2 viên bi đỏ từ 3 vi6n bi đỏ, có : cách 
	Lấy ra 2 viên bi khác màu nhau, có cách. 
BÀI TẬP 
A. QUY TẮC ĐẾM.
1. 	a Một số quan đểm 4 cổng ra vào. Hỏi 1 người khách có thể chọn bao nhiêu 	cách vào ra cơ quan đó. 
	b. Có thể chọn bao nhiêu cách vào ra cơ quan đó bằng 2 cổng khác nhau. 
2. Một cô gái có 8 áo sơ mi và 6 quần tây. 
	a. Hỏi cô gái có bao nhiêu cách chọn một bộ quần áo để mặc ?
	b. Cô gái có 3 đôi dép, hỏi cô gái có thể “diện” bằng bao nhiêu cách thông qua áo quần để mặc và dép để mang ?
3. Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu. 
	a. Số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau. 
	b. số chẵn sồm 4 chữ số bất kỳ ?
4. Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số khác nhau đôi một, trong đó chữ số đầu tiên là số lẻ. 
B. HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP. 
Bài 1 : Xếp 3 quyển sách toán, 4 quyển lý, 2 quyển hóa, 5 quyển sinh vào kệ theo từng môn (14 quyền này khác nhau) hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp ?
Bài 2 : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau và khác 0, biết rằng tổng 3 chữ số này bằng 8. 
Bài 3 : Trong một phòng họp có 2 bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Người ta muốn xếp chỗ cho 10 họ sinh, gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ, biết : 
	a. Tất cả học sinh ngồi tùy ý. 
	b. Tất cả học sinh nam ngồi một bàn và học sinh nữ ngồi một bàn. 
Bài 4 : Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 5 học sinh A, B, C, D, E vào một chiếc ghế dài sao cho : 
	a. Bạn C ngồi chính giữa ?
	b. Hai bạn A, E ngồi hai đầu ghế. 
Bài 5 : Cho tập X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ). Có bao nhiều số tự nhiên gồm 6 cữ số khác nhau lấy từ X, trong các trường hợp. 
	a. Số đó bắt đầu là số 5 	b. Số đó không bắt đầu là 1 
	c. Số đó bắt đầu bằng 56 	d. Số đó không bắt đầu bằng 456
Bài 6 : Thường vụ đoàn có 15 người. Có bao nhiêu cách chọn ra một ban chấp hành gồm 1 bí thư, 1 phó bí thư và 1 ủy viên ?
Bài 7 : Một cuộc đua ngựa có 10 đường chạy. Hỏi có thể nhiều nhất bao nhiêu cặp nhất – nhì xãy ra trong một cuộc đua đó. 
Bài 8 : Cho tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Có thể lập được bao nhiêu số 
	a. Gồm 3 chữ số đều khác nhau ?
	b. Gồm 3 chữ số không nhất thiết khác nhau ?
	c. Trong các số ở câu a, có bao nhiêu số chẵn ? bao nhiêu số lẻ ?
Bài 9 : Với các chữ số : 1, 2, 3, 4, 5 . Có thể lập được bao nhiều số lẻ 
	a. Là số chẵn và có ba chữ số khác nhau. 
	b. Gồm 3 chữ số khác nhau và không lớn hơn 345 ?
bài 10 : Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau. 
	a. Trong đó phải có chữ số 5 ?
	b. Số đó phải là số chẵn. 
Bài 11 : Từ các chữ số 1, 2, 5, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau sao cho : 
	a. Số tạo thành là số chẵn ?
	b. Số tạo thành không có chữ số 7 ?
	c. Số tạo thành nhỏ hơn 278 ?
Bài 12 : Trong một kỳ thi vấn đáp, một học sinh phải trả lời 6 trong 10 câu hỏi. Có bao nhiêu cách chọn, nếu học sinh đó : 
	a. Chọn câu nào cũng được ?
	b. Phải chọn 3 câu đầu ?
	c. Phải chọn hai trong bốn câu đầu ?
Bài 13 : Tìm số đường chéo của một đa giác lồi sau : 
	a. Ngũ giác 	b. Lục giác 
	c. Đa giác có 12 cạnh 	d. Đa giác có n cạnh (n .3) 
	e. Đa giác lồi nào có số cạnh bằng với số đường chéo ?
Bài 14 : Một lớp có 30 nam và 18 nữ. Có bao nhiêu cách chọn một bạn cán bộ lớp gồm 3 người, trong đó : 
	a. Số nam, nữ tùy ý 	b. Phải có 1 nam và 2 nữ .
	c. Phải có 2 nam và 1 nữ 	d. Có ít nhất 1 nam 
Bài 15 : Một bình đựng 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 bi, tìm số khả năng lấy được. 
	a. 3 bi đỏ 	b. 3 bi xanh	c. có ít nhất 2 bi xanh 
Bài 16 : Từ 15 bông hồng và 12 bông cúc. Có bao nhiêu cách chọn 5 bông để có ít nhất:
	a. hai bông hồng	b. hai bông hồng và hai bông cúc 
	c. Một hồng và một cúc
Bài 17: Tìm tất cả các số tự nhiên có đúng 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó, chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước?
Bài 18: Có 3 đường thẳng song song, cắt 4 đường thẳng song song. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành được tạo thành?
C) BÀI TẬP LÀM THÊM: 
Bài 1. Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt đúng 3 lần và mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần?
Bài 2. Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy ghế gồm 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi trong các trường hợp sau:
Bất cứ học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường nhau?
Bất cứ học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường?
Bài 3: Xét các số gồm 9 chữ so,á trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại 2,3,4,5. hỏi có bao nhiêu số nư thế, nếu:
Năm chữ số 1 được xếp cạnh nhau?
Các chữ số được xếp tùy ý?
Bài 4: Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó có đúng ba chữ số lẻ và ba chữ số chẵn? (chữ số đầu tiên phải khác 0).
Vấn đề 2: Các bài toán liên quan đến AKn ; Ckn ; Pn.
Thí dụ 1: Giải phương trình: 
	C1x + C2x + C3x =	(1)
	Giải 
Điều kiện: x ỴN và x≥3
Û ++=
 Û x++-=0
 Û (x-2)(x-1)+ 3(x-1) -15 =0
 Û x2 =16 Û x=4
Thí dụ 2: Chứng minh rằng: Akn = Akn-1 +k.Ak-1n-1 (1<k <n).
	Giải 
Akn-1 + k. .Ak-1n-1 =+k===Akn
	BÀI TẬP:
Bài 1. Giải phương trình:
a) A3n 20n	b) A2n –A1n =3	c) 3.A2n +42 = A22n
d) A3n + 3.A2n =Pn+1	e) Pn+3 =720. A5n.Pn-5
f) A2x.Cx-1x =48	g) 
h) 11.C=24.C
i) =132 	(n ỴN)	j) - =
Bài 2. Chứng minh rằng:
1.1! +2.2! +3.3! + +n.n! = (n+1)- 1
C + 2.C + C = C (2≤ k ≤n)
 C +3. C +3. C + C =C (3≤ k ≤n)
C =.C
 A + A =k2.A
 	f) Pn =(n-1).Pn-1 +(n-2).Pn-2 + +2.P2 + 1P1 +1
Bài 3. Rút gọn biểu thức:
a) A =+	b) B =
c) 	d) D =
e) E =C.C+ C.C+ C.C
Vấn đề 3: NHỊ THỨC NEWTON.
Thí dụ 1: Chứng minh rằng: 1+ 4.C+42.C+ +4n.C=5n
	Giải 
Xét khai triển Newton: (1+x)n = C+ C.x + C.x2 + +Cxn
Thế với x=4, ta được: 5n =1+ 4.C+ 42.C+ +4n (đpcm). 
Thí dụ 2: Tìm hệ số của x4 khai triển ( 2 + 3x)6
Giải : 
- Số hạng tổng quát 	(0 ≤ i ≤ 6) 
- x4 ứng với i = 4 
- Hệ số là 
Thí dụ 3 : Tìm h số của x5 trong khai triển (3x – 4)8
- Số hạng tổng quát (0 ≤ i ≤ 8)
- x5 ứng với 8 – i = 5 Û i = 3
- Hệ số là 
Thí dụ 4 : Tìm hệ số của x3 trong khai triển 
	(x + 1)2 + (2x – 1)3 + (x – 3)4 + (x + 2)2
Giải 
Số hạng tổng quát 
i = 
Hệ số là 
(x+1)2
Cx2-I1i
Không có
0
(2x-1)3
C(-1)i(2x)3-i1i
i=0
C(-1)023=8
(x-3)4
C(-1)i x4-i 3i
i=1
C(-1)131 =-12
(x+2)5
C.x5-i 2i
i=2
C22=40
	Vậy hệ số của x5 là: 8-12+40 =36
Thí dụ 7: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển (2x-)10
	Giải 
- Số hạng tổng quát C(-1)i(2x)10-i()i= C(-1)i210-i.3i.x10-2i
- Số hạng không chứa x ứng với 10 -2i =0 Ûi=5
- Hệ số cần tìm là: C(-1)525.35 =-1959552
	BÀI TẬP
Bài 1. tìm hệ số của x8 trong khai triển:
	(1+x)6 + (1+x)7 + (1+x)8 +(1+x)9 + (1+x)10
Bài 2. a) Trong khai triển nhị thức (1+x2)10, tìm hệ số của x12.
b)Trong khai triển nhị thức (3x-4)5, tìm hệ số của x2.
Bài 3. khai triển các nhị thức:
a) (x+3)5	b) (x-2)6	c) (2x+1)5	d)(x-2y)6
e) (2x2-y)5	f) (x-2y2)6	g) (x+)7	h) (x-)10
Bài 4. chứng minh các hệ thức sau:
C+ C+ C+ + C=2n
C-2 C+3 C-4C+  +(-1)n+1.n C=0
C+ 2 C+3 C+ + (n+1) C=(n+2).2n-1
 C - C+ + C =
C +C+ C +  +C =C+ C + + C
1.2 C+ 2.3. C+3.4C+  +(n-1)n C= n(n-1).2n-2
Bài tập làm thêm. Chứng minh các hệ thức sau: