Chuyên đề Ứng dụng hệ phương trình vào giải toán

thẳng (d1); (d2); d3) đồng quy
Thí dụ 3 : xác định hàm số f(x), biết hàm số này xác định với mọi số thực x và thỏa mãn:
Giải: Theo đầu bài ta có: 
Thay x bởi x ta được:
 u ; = v từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Với ta được : 
Hàm số tìm được thỏa mãn điều kiện của đầu bài.
Vậy .
II. Ứng dụng hệ phương trình để tính giá trị của biểu thức. 
Giải:
Đặt 
 Suy ra a > 0; b > 0 ; a4 + b4 = 62
4a3 b + 6a2b2 +4ab3 = 4ab( a2 +b2) +6a2b2
= 4ab[(a+b)2 - 2ab] +6a2b2
= 4(a + b)2 – 2
Ta có hệ phương trình :
Cộng từng vế của phương trình (1) cho phương trình (2) ta được.
 a4 +b4 +4a3 b + 6a2b2 +4ab3 =4(a+b)2 +60
 (a + b)4 - 4(a + b)2 – 60 = 0 
A4 – 4A2 – 60 = 0 
( A2 - 10 ) (A2 + 6 ) =0
A2 – 10 = 0 (vì A2 +6 > 0 với mọi A).
A2 =10 ( vì A = a+b > 0)
Vậy .
 Giải: 
Trước tiên ta giải hệ phương trình :
Từ phương trình (1) ta có:
Từ phương trình (2) ta được: 
Từ (3) và (4) suy ra : 
Thay vào (1) ta được : y = 1.
Vậy: 
III.Ứng dụng hệ phương trình để giải phương trình.
 Giải:
Đặt: y = -1 + 2x3 .Ta có hệ phương trình.
Trừ từng vế của phương trình (1) cho Phương (2) ta được:
 Với x = y , từ phương trình (1) ta được :
 x – 2x3 = - 12x3 – x – 1= 0
( x – 1)(2x2 + 2x +1) = 0	 
Giải:
Đặt 
Ta có hệ phương trình:
Vậy x,y là nghiệm của phương trình 
X2 – 11X +30 = 0
Hệ phương t
rình có hai nghiệm (x; y) là (5; 6); (6; 5). Nên phương trình đã cho có hai nghiệm là x =5 ; x = 6.
Giải:
Điều kiện:	 
 (Vì ( x2 – x +10 = ))
Đặt 
Với điều kiện: 
Ta có hệ phương trình: 
 (tho¶n m·n ®iÒu kiÖn ).
 ( thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình có hai nghiệm x = –2; 
x = 3
IV. Ứng dụng của hệ phương trình để xét hai phương trình bậc hai có nghiệm chung.
Thí dụ 9: Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có nghiệm chung.
 2x2 + mx – 1 và mx2 – x + 2
Giải:
Các phương trình đã cho có nghiệm chung khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm :
Đặt x2 = y, ta có hệ phương trình :
Từ phương trình (4) của hệ ta được : 
 x = my +2 (5)
Thay (5) vào (3) ta được : m(my + 2) + 2y=1 Thay vào (5), ta được:
 nên 
 vì 
Thử lại:
Với , ta có:
● Phương trình (1) có dạng: 2x2 – x – 1 =0
● Phương trình (2) có dạng : x2 + x – 2 = 0
 Vậy cả hai phương trình có nghiệm chung x = 1.
Kết luận : Với thì hai phương trình có nghiệm chung.
V. Ứng dụng hệ phương trình để tìm GTLN,GTNN.
Giải:
Ta có: 
Suy ra .
 Xét hệ phương trình: 
Từ (1) suy ra x= 2y – 1 
Thay vào (2) ta được: 2.( 2y – 1) + ay +5 =0 
 ( 4 + a)y = (3)
*TH1: Nếu 4 +a ≠ 0 a≠ - 4 .Hệ có nghiệm duy nhât.
Nên giá trị nhỏ nhất của P là min P = 0.
TH2: Nếu 4+ a = 0a = - 4 ,th ì
 Đặt : t = x - 2y +`1 thì :
P = t2 + (2t +3)2 = 5t2 +12t +9 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy trong trường hợp này,giá trị nhỏ nhất của P là minP = 
Kết luận: a≠ - 4 : min P = 0.
 a = - 4: min P = 
 Giải:
 Gọi m là một giá trị của biểu thức Q , khi đó để hệ phải có nghiệm x,y.
Hệ trở thành : 
 x, y là nghiệm của phương trình : 
Hệ có nghiệmphương trình (*) có nghiệm 
m = 2 t=1 tức là x = y = 1 
 Vậy MinQ = 2 khi x = y = 1
Thí dụ 12: Cho các số thực x, y thỏa mãn hệ thức :
 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x – y + 2004 .
Giải: 
Gọi m là một giá trị của biểu thức P, khi đóhệ phương trình sau phải có nghiệm đối với x, y 
Từ (2) suy ra y = x + 2004 – m , thế vào (1) ta được:
16x2 + 9(x + 2004 – m )2 = 144.36
Hệ có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm hay 
Ta có:
m = 1974 khi 	
m = 2034 khi 
 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1974 , giá trị lớn nhất là 2034
VI. Ứng dụng hệ phương trình để giải bài toán có lời văn ( Đây chính dạng toán giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình).
Thí dụ 12: 
 Hai đội xây dựng làm chung một công việc và dự định hoàn thành trong 12 ngày .Nhưng khi làm chung được 8 ngày thì đội I được điều động đi làm việc khác.Tuy chỉ còn một mình đội II làm việc , nhưng do cải tiến cách làm, năng xuất của đội II tăng gấp đôi nên họ đã làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày . Hỏi với năng xuất ban đầu, nếu mỗi đội làm một mình thì bao lâu xong công việc?
Giải:
Gọi thời gian đội I làm một mình xong công việc là x ngày , thời gian đội II làm một mình làm xong công việc là y ngày.
Điều kiện x > 0, y > 0.
Một ngày đội I làm được (công việc), đội II làm được (công việc); cả hai đội làm 
được 	 (công việc).
Nếu làm chung thì 12 ngày xong việc nên mỗi ngày cả hai đội làm được (công việc) ,nên ta có phương trình .
Mặt khác do họ làm chung trong 8 ngày nên họ đã làm được hay công việc. Do đó đội II làm nốt công việc . Vì năng xuất đội II tăng gấp đôi nên mỗi ngày họ làm được công việc .Do đó ta có phương trình (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình. 
Giải hệ phương trình:
 Vậy đội I làm một mình trong 28 ngày thì xong công việc. Đội II làm một mình làm một mình trong 21 ngày thì xong công việc
VII. Ứng dụng hệ phương để giải bài toán hình học:
Thí dụ 13:
 Cho tam giác ABC có diện tích 30 cm2. Điểm D là trung điểm của AC, điểm E thuộc cạnh AB sao cho AE = AB, K là giao điểm của BD và CE. Tính diện tích tứ giác ADKE.
Giải:
Đặt SAKE = x; SAKD = y.
Vì AE = AB (gt) hay 
Do đó BE = 2AE 
Vì ∆AKE và ∆ BKE có chung chiều cao kẻ từ K đến AB và BE = 2AE suy ra SBKE = 2SAKE = 2x.
 Vì ∆AKED và ∆ CKD có chung chiều cao kẻ từ K đến AC và đáy bằng nhau là AD = CD nên SCKD = SAKD = y.
Ta có: SABD = ( vì có chung chiều cao kẻ từ B đến AC và A D =)
Suy ra SAEK + S BKE +SAKD = 30: 2 =15 (cm2) nên 3x + y = 15 (1)
Tương tự ta cũng được : SACE = SABC 
suy ra: SAKE + SAKD +SCKD = 30: 3= 10 (cm2) nên x + 2y =10 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :
Ta có: 
Vậy SAKDE = SAKE + SAKD = x + y 
 = 4 +3 =7 (cm2)
VIII. Ứng dụng hệ phương trình để giải một số bài toán liên quan đến đa thức:
Thí dụ14.Tìm các giá trị m và n để đa thức sau (với biến số x) bằng đa thức 0 :
 P(x) = (2m + 3n +2)x + (3m – 2n +3)
Giải:
 Vì một đa thức bằng đa thức 0 khi và chỉ khi tất cả các hệ số của nó bằng 0, do vậy ta cần giải hệ phương trình sau:
 Vậy m = –1, n = 0 thì đa thức P(x) bằng đa thức 0.
Thí dụ14: Với giá trị nào của a và b thì đa thức 
 f(x) = x4 + ax2 +b chia hết cho đa thức
 g(x) = x2 – 6x +5
Giải:
Ta có f(x) ⋮ g(x) Tồn tại q(x) sao cho
 f(x) = g(x).q(x) Tồn tại q(x) sao cho
 f(x) =(x2 – 6x +5) .q(x) =(x – 1)(x – 5).q(x) (1) 
Trong (1) : cho x = 1, ta được f(1) = 0.q(1) = 01 +a +b =0 
 cho x = 5, ta được f(5)= 0.q(5) = 0
 625 + 25a + b = 0 
Vậy a, b là nghiệm của hệ phương trình :
Vậy a = – 26, b = 25 thì f(x) chia hết cho g(x) 
Cách khác: Thực hiện phép chia đa thức.
Dư trong phép chia r(x) = 6(a + 26)x + b – 5a – 155 
Ta có f(x) ⋮ g(x) 
Giải hệ phương trình trên ta được a = – 26,b = 25
Vậy a = – 26, b = 25 thì f(x) chia hết cho g(x) 
Thí dụ14: Tìm đa thức bậc bốn dạng
 f(x) = 2x4 + ax2 + bx+c sao cho đa thức f(x) chia hết cho đa thức x – 2 , còn khi chia cho đa thức x2 – 1 thì dư 2x.
Giải:
 Vì đa thức f(x) chia hết đa thức x – 2 , suy ra
 x = 2 là một nghiệm của f(x), tức là f(2) = 0 2.24 + a.22 + b.2 +c= 04a +2b + c = – 32 (1)
 Gọi thương của phép chia đa thức f (x) cho đa thức x2 – 1 còn dư 2x là g(x), ta có:
f(x) = (x2 – 1 ).g(x) + 2x
 2x4 + ax2 + bx+c = (x – 1)(x + 1).g(x) +2x
Vì đẳng thức đúng với mọi x nên cho x lần lượt x = – 1, x= 1, ta có:
 a – b + c = – 4 (2)
 a +b +c = 0 (3)
Từ (1) ,(2) và (3) , ta có hệ phương trình :
Vậy đa thức cần tìm là: 
Thí dụ14: cho biết rằng nếu lấy đa thức f(x) chia cho x – 2 thì dư 9 ; chia cho x – 3 thì dư 11. Hỏi nếu lấy đa thức f(x) chia cho x2 – 5x +6 thì sẽ dư là bao nhiêu.
Giải:
 Gọi thương của phép chia đa thức f(x) cho đa thức x – 2, cho x – 3và lần lượt là p(x) và q(x), ta có: 
Gọi thương của phép chia đa thức f(x) đa thức bậc hai x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3) là g(x) và dư lả r(x) . vì r(x) nhỏ hơn bậc hai nên r(x) có dạng ax + b.Ta có:
 f(x) = (x – 2)(x – 3).g(x) + ax +b với mọi x (3)
Từ (1) suy ra f(2) = 9, từ (3) suy ra f(2) = 2a + b.
 Do đó 2a + b = 9 (4)
Từ (2) suy ra f(3) = 11,từ (3) suy ra f(3) = 3a +b 
Do đó 3a + b =11 (5)
Từ (4) và (5) ta có hệ phương trình:
Vậy lấy đa thức f(x) chia cho đa thức x2 – 5x + 6 thì có số dư là 2x + 5 
 Bài Tập:
Bài 1: Giải các phương trình sau: 
Bài 2: Cho tam giác ABC có diện tích bằng 40cm2. Trên cạnh AB ta lấy một điểm M và trên AC lấy một điểm N sao cho AM = 3BM và AN =4CN. BN và CM cắt nhau ở điểm P.Hãy tính diện tích tam giác ABP.
Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ biết rằng hình hộp chữ nhật có thể tích 60 dm3,diện tích toàn phần 94dm2 và AB + BC = 7dm. Tính độ dài các cạnh AB, AC, AA’.
( ĐTS 10 Quốc Học Huế 1998 – 1999 ) 
Bài 4:Với mỗi giá trị là hằng số m , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
 P = (2x + y +1)2 + (4 + my + 5)2 .
Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của :
Bài 6: Cho x, y là các số thực thỏa mãn :
x2 + y2 = x + 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = x + 2y
Bài 7:
Tìm đa thức bậc ba dạng f(x) = x3+ ax2 + bx+c
sao cho f(x) chia hết cho x – 2 và f(x) chia cho (x2 – 1 ) thì dư 2x.
Bài 8: Tìm đa thức f(x) biết rằng nếu lấy đa thức f(x) chia cho x – 3 thì dư 2 ; chia cho x +5 thì dư 9. Còn nếu lấy đa thức f(x) chia cho x2 +5x – 12 thì thương là x2 + 3 và còn dư.
Bài 9: Xác định các hệ số a, b, c biết.
 a(x+2)2 + b(x+3)2 = cx +5 ∀x ∈ R .
 Bài 10: Xác định a, b, c sao cho đa thức
 f(x) = x5 – 2x4 – 6x3 + ax2 + bx + c chia hết cho đa thức g(x) = (x – 3)(x2 – 1).
Bài 11: Cho đa thức : f(x) = x3ax2 + bxa. Xác định các hệ số a, b của đa thức f(x) , biết nó chia hết cho x1 và x3.
 Bài 12: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B trong các trường hợp sau :
a) A(1; 3) và B(3; 2) b) A(1; 1 ) và B(3; 3)
Bài 13: Cho đường thẳng (d) có phương trình :
2(m + 2)x – ( 3m – 1 )y + 5m – 11 = 0
Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định .Tìm tòa độ của điểm đó.
Bài 14: Xác định hàm số f(x) biết rằng :
Bài 15: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 A = (6x – 5y – 16)2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 2y+2
Bài 16:.Tính giá trị của các biểu thức sau:
Bài 17: Cho x, y là hai số nguyên d