Chuyên đề tự ôn thi Đại học môn Toán năm 2010 - Hàm số và các bài toán liên quan

 1x x x x x       
5, 2 22 8 6 1 2 2x x x x      15, 32 3 2 3 6 5 8x x    
6, 2( 1) ( 2) 2x x x x x    16, 2 7 5 3 2x x x     
7, 3 34 3 1x x    17, 22 7 2 1 8 7 1x x x x x         
8, 2 24 2 3 4x x x x     18, 2
3
2 4
2
x
x x

  
9, 
2 23 3 3 6 3x x x x      19, 24 13 5 3 1x x x     
10, 
2 32 4 3 4x x x x    20, 2 2 2 2
5 5
1 1 1
4 4
x x x x x         
Bài 2. Giải các bất phương trình vô tỷ sau: 
1, 2 2( 3) 4 9x x x    5, 1 3 4x x    
2, 3 2 8 7x x x     6, 2 25 10 1 7 2x x x x     
3, 
21 1 4
3
x
x
 
 7, 28 6 1 4 1 0x x x     
4, 
3 1
3 2 7
22
x x
xx
    8, 2 1 3 2 4 3 5 4x x x x       
 19 
2.
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau: 
1, 
1 3
2
1 3
2
x
y x
y
x y

 


  

 9, 
3
1 1
2 1
x y
y x
y x

  

  
2, 
2
(3 2 )( 1) 12
2 4 8 0
x x y x
x y x
  

   
 10, 
2 2 4
( 1) ( 1) 2
x y x y
x x y y y
    

    
3, 
2 2
4 2 2 4
5
13
x y
x x y y
  

  
 11, 
2 1 1
3 2 4
x y x y
x y
     

 
4, 
2
2 2
3 2 16
3 2 8
x xy
x xy y
  

  
 12, 
   
  
2
2
1 4
1 2
x y y x y
x y x y
    

   
5, 
5 2 7
5 2 7
x y
y x
    

   
 13, 
2 2 2
1 7
1 13
xy x y
x y xy y
  

  
6, 
 
 
2
2
1 3 0
5
1 0
x x y
x y
x
   


   

 14, 
2
3 2
2
23
2
2 9
2
2 9
xy
x x y
x x
xy
y y x
y y

  
 

   
  
7, 
2 2
2 3 4 6
4 4 12 3
xy x y
x y x y
   

   
 15, 
 
 
 
2 2
2 2
2 2
36 25 60
36 25 60
36 25 60
y x x
z y y
x z z
  


 

 
8, 
2 2
2 2 2
3( ),
7( )
x xy y x y
x xy y x y
    

   
 16, 
 
3 3
2 2
8 2
3 3 1
x x y y
x y
   

  
Bài 4. Giải bằng phương pháp hàm số, đánh giá: 
1, 22 10 3x x  5,    2lg 6 lg 2 4x x x x      
2,      
3
5 2 6 5 2 6 3
x x x
    6,  9 2 2 3 2 5 0x xx x     
 20 
3, 2 23 13 4 3 3 6x x x     7,  2 3log 1 logx x  
4, 4 41 17 2x x    8, 4 7 9 2x x x   
Bài 5. Giải các phương trình mũ sau: 
1,    
2 2
3 32 3 2 3 14
x x
    6,     35 21 7 5 21 2
x x
x    
2, 24.3 9.2 5.6
x
x x  7, 
1 1 1
2.81 7.36 5.16 0x x x
  
   
3, 
428 4.3
x
xx   8, 
2 2 32 .3
2
x x x  
4, 
2 21 29 10.3 1 0x x x x      9, 
 99 3 log 1log 3 3
xx
x
  
5,  23 2 9 .3 9.2 0x x x x    10, 3 1 3.3 27 .3 9x xx x x x   
Bài 6. Giải các phương trình logarit sau: 
1, 23 3
3
log log 1xx
x
  5,  2 3 28 102 5 2log log 2 0xx x x x     
2, 5 5log 5 log 25 3
x
x  7, 2 316 4
2
log 14log 40log 0x x xx x x   
3,    3 22 22 4 3log 3 log 3x x xx x    8, 2 2log 2 2log 4 log 8x x x  
4,  3 9
3
4
2 log log 3 1
1 log
xx
x
  

 9,  22 2log 4 log 3 0x x x x     
9,    
3
1 82
2
log 1 log 3 log 1 0x x x      
10,    2 22 2log 2 3log 2 5x x x x      
11, 
1
3 3log (3 1)log (3 3) 6
x x   
 21
Bài 7. Giải các bất phương trình mũ: 
1, 
2
2
2
2 19 2 3
3
x x
x x

    
 
 4, 
3 1 22 7.2 7.2 2 0x x x     
2, 
2 1 2 13 2 5.6 0x x x    5, 
2 22 4 2 2 12 16.2 2
0
1
x x x x
x
    


3, 
2 35
2
122 1
x
x
x
 

 6, 
2 21 1 12 2 2 2x x x x      
Bài 8. Giải các bất phương trình logarit: 
1,  1log 2 2x x   4,  
22
1 2
2
1 1
log 2 3 1 log 1
2 2
x x x     
2, 
2
4 2(log 8 log )log 2 0x x x  5,  23 1
2
log log 3 1x   
3, 
2
2
2 3
log 0
3 8
x
x
x




 6, 
   
2
3 3
log 1 log 2 1 2
0
2 1
x x
x
   


Bài 9. Giải các hệ phương trình mũ, logarit: 
1, 
2 2
ln(1 ) ln(1 )
12 20 0
x y x y
x xy y
    

  
 5, 
2 1
2 1
2 2 3 1
2 2 3 1
y
x
x x x
y y y


     

    
2, 
2 2
1 1
3 3
10
 log log 1 0
x y
x y
  

   

 6, 
 
   
2 2lg 1 lg13
lg lg 3lg 2
x y
x y x y
   

   
3, 
 
3
3 .2 972
log 2
x y
x y
 

 
 7, 
 
 5
27 .3 5
3log
y xx y
x y x y
  

  
4, 
2 2
2
2 4 1
2 4 2 1
x y
x y x y
  

  
 8, 
1
2 2 1
2 1 1
1 2 2 1
x
x x
y y
y

 
    

   
 22 
Bài 10. Tìm tham số m để phương trình: 
1, 24 1x x m   có nghiệm 
2, 44 13 1 0x x m x     có đúng một nghiệm 
3,    32 1
2
log 4 log 2 2 1 0x mx x m     có nghiệm 
Bìa 11. Tìm tham số m để bất phương trình: 
1,  21
2
log 3 1m
m
x

  đúng với mọi x R 2, .2 2 3 1x xm m    có nghiệm 
3,  2 2 2 1 (2 ) 0m x x x x      có nghiệm 0;1 3x     
Bài 12. Tìm tham số m để hệ phương trình: 
1, 
2 0
1
x y m
x xy
  

 
 có nghiệm duy nhất 2, 
2 1 2 1
2
7 7 2010 2010
( 2) 2 3 0
x x x x
x m x m
      

    
 có nghiệm 
3, 
   2 2
2
1 1 2
1
m y
x n
m nxy x y
    

   
 có nghiệm với mọi n R 
Bài 13. Chứng minh rằng hệ 
2
2
2007
1
2007
1
x
y
y
e
y
x
e
x

 


  
 
có đúng 2 nghiệm thỏa mãn điều kiện 
x > 0, y > 0 
Bài 14. Xác định m để bpt:    
2 2 22 2 29 2 .6 1 .4 0x x x x x xm a m       nghiệm đúng với 
mọi thỏa mãn 1x  
Bài 15. Xác định m để pt    2 23 3 3 3log .log 2 3 log 2log 2 3 2 0x x x m x x x m        
có 3 nghiệm phân biệt 
 23 
 Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số
Bài 1. Giải các phương trình chứa căn thức sau: 
1, 3 5 3 4x x    
- Điều kiện: 3x  
- Với điều kiến trên ta biến đổi về dạng: 3 3 4 5x x    sau đó bình phương 2 
vế, đưa về dạng cơ bản ( ) ( )f x g x ta giải tiếp. 
- Đáp số: 4x  
2, 2 25 1 ( 4) 1x x x x x      
- Đặt 2 1 0t x x    , 
pt đã cho trở thành: 
Với 2 1 :t x x x x     vô nghiệm 
Với 2
1 61
4 15 0
2
t x x x
 
       
- Vậy phương trình có nghiệm: 
1 61
2
x
 
 
3, 4 418 5 1x x    
- Ta đặt 4 44 418 0; 1 0 17u x v x u v         , ta đưa về hệ đối xứng loại I đối 
với u, v giải hệ này tìm được u, v suy ra x 
- Đáp số: Hệ vô nghiệm 
4,    3 2 2 2 6 *x x x     
- Điều kiện: 2x  
 2 4 4 0
4
t x
t x t x
t

      
 24 
2.
- Ta có:    
  38 3
* 2 3
3 2 6 3 2 6 4
xx
x
x x x x

    
      
- Đáp số: 
108 4 254
3;
25
x
  
  
  
5, 2 22 8 6 1 2 2x x x x      
- Điều kiện: 
2
2
1
2 8 6 0
1
1 0
3
x
x x
x
x
x
 
          
- Dễ thấy x = -1 là nghiệm của phương trình 
- Xét với 1x  , thì pt đã cho tương đương với:  2 3 1 2 1x x x     
Bình phương 2 vế, chuyển về dạng cơ bản ( ) ( )f x g x ta dẫn tới nghiệm trong 
trường hợp này nghiệm 1x  
- Xét với 3x   , thì pt đã cho tương đương với:      2 3 1 2 1x x x        
Bình phương 2 vế, chuyển về dạng cơ bản ( ) ( )f x g x ta dẫn tới nghiệm trong 
trường hợp này là: 
25
7
x   
- Đáp số: 
25
; 1
7
x
 
   
 
6, 2( 1) ( 2) 2x x x x x    ĐS: 
9
0;
8
x
 
  
 
7, 3 34 3 1x x    
- Sử dụng phương pháp hệ quả để giải quyết bài toán, thử lại nghiệm tìm được. 
- Đáp số:  5;4x   
8, 2 2 2
4 2 14
4 2 3 4 4 ;2 0;2;
3 3
x x x x t x x t x
    
                
    
 25 
9, 2 23 3 3 6 3x x x x      
- Đặt 2 2 23 3 0 3 3t x x x x t        
- Phương trình thành: 
 
2 2
22
3
3 3 3 3 1
3 3
t
t t t t t
t t

         
  
Suy ra  2 3 2 0 1;2x x x     
- Vậy tập nghiệm của phương trình là  1;2x  
10, 2 32 4 3 4x x x x    
- Điều kiện: 0x  
- Đặt 
  
2 22 2
2
2 2
44
4 2; 0
2 02 3
u vu v
u x v x
u v u vu v uv
    
       
     
 Giải ra ta được 
4
3
x  (thỏa mãn) 
11, 23 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x        
- Điều kiện: 1x  
- Khi đó: 23 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x        
 
2
3 2 1 3 2 1
3 2 1 1
x x x x
x x
       
    
Giải tiếp bằng phương pháp tương đương, ta được nghiệm 1x  
12, 3 2 1 1x x    
- Điều kiện: 1x  
- Đặt 3 2 ; 1 0u x v x     dẫn tới hệ: 
3 2
1
1
u v
u v
 

 
 26 
Thế u vào phương trình dưới được:   1 3 0v v v   
- Đáp số:  1;2;10x  
13, 3 31 2 2 1x x   
3
3
3
1 2 1 5
2 1 1;
21 2
y x
y x x y x
x y
       
         
     
14, 2 25 14 9 2 5 1x x x x x       ĐS: 
9
1; ;11
4
x
 
  
 
15, 32 3 2 3 6 5 8x x    
- Giải hoàn toàn tương tự như ý bài 1.12 
- Đáp số:  2x   
16, 2 7 5 3 2x x x     
- Điều kiện: 
2
5
3
x  
- Chuyển vế sao cho 2 vế dương, rồi bình phương 2 vế ta dẫn tới phương trình cơ bản. 
Sau đó giải tiếp theo như đã học. 
- Đáp số: 
14
1;
3
x
 
  
 
17, 22 7 2 1 8 7 1x x x x x         
- Điều kiện: 1 7x  
- Ta có: 22 7 2 1 8 7 1x x x x x         
    1 1 7 2 1 7x x x x x         
1 2 5
41 7
x x
xx x
   
      
- Đáp số:  4;5x  
27
18,  
22 3 32 4 2 1 2
2 2
x x
x x x
 
      
- Đặt 
3
1
2
x
y

  
 
 
2
2
2 1 3
2 1 3
x y
y x
   
 
  
- Đáp số: 
3 17 5 13
;
4 4
x
     
  
  
19,  
224 13 5 3 1 2 3 4 3 1x x x x x x            
- Đặt 
 
 
2
2
2 3 3 1
2 3 3 1
2 3 4 2 3
y x
y x
x x y
   
    
     
- Đáp số: 
15 97 11 73
;
8 8
x
   
  
  
20, 2 2 2 2
5 5
1 1 1
4 4
x x x x x         
- Điều kiện: 1x  
- PT đã cho 2 2
1 1
1 1 1
2 2
x x x        
- Đáp số: