Chuyên đề Toán học 12 - Ứng dụng trong hình học

Ứng dụng trong hình học 
58. Xét các số phức sau : 
1
2
3 3
2 3 3 3
3 3
o
z i
z i
z i
 = −

= + +

= +
. 
M0 , M1 , M2 là các điểm trong mặt phẳng phức ứng với các tọa độ phức là z0 , z1 và 
z2. 
1. Tính mođun của z0 và z2. 
2. Vẽ M0 và M2 trong mặt phẳng phức. 
3. Chứng minh rằng M1 thuộc đường trung trực của đọan M0M2 và M0M1 = M0M2. 
4. Từ đó xác định tính chất cuả tam giác M0M1M2 là tam giác gì ? Vẽ M1 trên mặt 
phẳng phức ấy. 
5. Xác định tọa độ phức của trọng tâm G của tam giác ấy. 
59. Giả sử z∈ C . Người ta xét các điểm M , N , P trong mặt phẳng phức lần lượt có tọa 
độ phức là z , z2 , z3. 
1. Với giá trị nào của z thì hai ít nhất hai trong ba điểm 
M , N , P trùng nhau. 
2. Tính MN , MP theo z. 
3. Bằng cách đặt z = x + iy ( )Ryx ∈, . 
a) Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức sao cho MN = MP. 
b) Gọi A là điểm có zA = -1 . Chứng minh rằng MN = MP khi và chỉ khi AM = 1. 
Xem lại kết quả với trước đo 
4. Xác định tập hợp F , tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức sao cho tam giác 
MNP vuông tại M. 
5. Cho z = -1 + i. 
a) Viết z2 , z3 dưới dạng đại số , sau đó vẽ M , N , P 
b) Bạn có nhận xét gì ? Hãy cho biết điều ấy ? 
60. Cho hai điểm A và B có toạ độ phức là 2 2 2 2Az i= − và 2 2 3Bz i= − + 
1. Tính modun và acgumen của các số phức zA và zB. 
2. Vẽ hình biểu diễn các số phức trên. 
3. Gọi M thuộc mặt phẳng phức có toạ độ là A Bz z z= + 
a) Tứ giác OAMB là hình gì ? 
b) Từ đó suy ra acgumen của z. 
c) Tính z . 
d) Từ các câu hỏi trên hãy suy ra giá trị chính xác của 
5
cos
24
pi
 và 
5
sin
24
pi
. 
53. Cho tam giác ABC cân ở A , I là trung điểm của BC .Gọi H là hình chiếu của I trên 
AC và J là trung điểm của IH . Chứng minh rằng AJ BH⊥ . 
Hướng dẫn : để giúp các em làm việc tốt, hãy xem hướng dẫn sau với các trình tự 
được sắp xếp : 
Chọn hệ trục toạ độ 
Gọi H là gốc toạ độ, HA là trục hoành, trong đó HA = a; HC = c ; HJ = d , các điểm 
A , C và J sẽ có toạ độ phức lần lượt là a , -c và id. 
1. Biểu diễn toạ độ phức của I và B theo a , c , d. 
2. Biến đổi đẳng thức AB = AC trở thành đẳng thức mới có sự liên hệ giữa a , c và 
d. 
Viết số phức AJ
HB
z
z








 dưới dạng đại số . Từ đó suy ra kết luận gì ? 
54. ABCD là một hình vuông , I và J là trung điểm của BC và CD . Đặt IAJθ
∧
= . Tính 
cosθ và sinθ . 
55. So sánh các góc α và β trong hình sau : 
56. Cho tam giác ABC vuông tại A có O là trung điểm cuả BC. Goị H là hình chiếu của 
A lên BC. I và J là các hình chiếu của H trên AB và AC . Chứng minh rằng đường 
thẳng AO và IJ vuông góc nhau. 
Hướng dẫn : Gọi O , trung điểm của BC là gốc toạ độ ; trục toạ độ là đường trung 
trực của đoạn AB . Đặt b = zB và argbα = . 
Phân tích : 
1. Nhận xét gì về toạ độ phức của IJ và AH . 
2. Biểu diễn arg
IJ
z

 theo α . Từ đó kết luận . 
57. Bài toán trực tâm 
Cho tam giác ABC , goị H là trực tâm và O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam 
giác. 
1. Chứng minh rằng OH OA OB OC= + +




 


 


 



. 
Hướng dẫn : gọi M là 1 điểm của mặt phẳng thoả OM OA OB OC= + +




 


 


 



 ; bằng cách 
xét hiệu số OM OA−




 



 , từ đó xác định được M nằm trên đường cao xuất phát từ A 
....... 
2. Chứng minh rằng điểm đối xứng của H qua mỗi cạnh của tam giác thuộc đường 
tròn ngoại tiếp tam giác ABC . 
Hướng dẫn : 
a) Chọn toạ độ : gọi O là tâm , và trục hoành là đường thẳng qua O và song song 
với BC 
Đặt a , b , c , h là các toạ độ phức của A , B , C và H . 
b) Biểu diễn H theo a , b , c 
c) Gọi H’ đối xứng của H qua BC và h’ là toạ độ phức của H' . So sánh toạ độ phức 
của 'BH





 và BH




 , từ đó suy ra h’ = a c b+ + 
d) Xác định c b+ . Từ đó có kết luận gì ?