Chuyên đề Toán học 12 - Acgumen của một số phức khác 0

III.ACGUMEN CỦA MỘT SỐ PHỨC KHÁC 0 
3.1 Acgumen là gì ? 
Điều đó hoàn toàn xa lạ với các bạn về mặt ngôn ngữ, tuy nhiên chúng ta có thể tìm hiểu 
thông qua định nghĩa sau . 
1. Định nghĩa 
Cho số phức 0z ≠ và M là ảnh của z trong mặt phẳng phức. 
Acgumen của z là số đo của góc ( )1,e OMJG JJJJG (đó là góc giữa 2 vectơ 1eJG và OMJJJJG ). Kí hiệu là 
Arg(z) 
Như vậy nếu θ là một acgumen của z thì 
arg(z) = 2 , θ π+ ∈k k Z . 
arg(z) = 2kθ π+ 
Người ta thường coi acgumen là giá trị không âm nhỏ nhất của θ . 
Còn ký hiệu khác : arg(z) = θ modulo 2π 
Hay arg(z) = θ ( )2π 
Ta thường ký hiệu tắt là Arg(z) = θ (hiểu ngầm là 2kθ π+ ) 
Ví dụ 
VD1. 
Bằng hình vẽ, ta có thể dễ dàng xác định được các kết quả sau : 
arg(1) = 0 
arg(-1) = π 
arg(2i) = 
2
π 
arg(-3i) = 
2
π− 
arg(-1 + i) = 3
4
π 
VD2. 
Số phức z = 2 + i có acgumen bằng bao nhiêu ? 
Giải : 
Đặt ( )arg zα = 
Bởi vì 2 22 1 5z = + = , đặt 2 15
5 5
z i⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠ , 
ảnh M1 của số phức 
2 1
5 5
i+ là một điểm 
của đường tròn lượng giác (bán kính bằng 1) và arg(z) = ( ) ( )1 1 1, ,e OM e OM=JG JJJJG JG JJJJJG 
Từ đó suy ra 2cos
5
α = và 1sin
5
α = . 
Dùng máy tính sẽ tìm được 0,46radα ≈ 
2. Sự bằng nhau của hai số phức 
( ) ( )
''
 va arg arg 'ø z' khaÙc 0
⎧ ==⎧ ⎪⇔⎨ ⎨ =⎩ ⎪⎩
z zz z
z z z
Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi mođun và acgumen tương ứng của chúng bằng 
nhau. 
3. Số phức liên hợp và số phức đối 
Dựa vào đồ thị trên ta sẽ được các hằng đẳng thức sau : 
 ( ) ( )arg arg= −z z 
 ( ) ( )arg arg π− = +z z 
 ( ) ( )arg argπ− = −z z 
3.2 Dạng lượng giác của một số phức 
1. Định lí 5 : 
Cho số phức z = a + ib khác 0 với r z= và ( )argα = z . 
Nếu z được viết dưới dạng ( )cos sinz r iα α= + (*) thì (*) được gọi là dạng lượng 
giác của số phức z. 
Minh họa 
Dễ thấy , nếu r và α tương ứng là môđun và acgumen của số phức z = a + ib thì : 
2 2
cos
sin
r a b z
a
r
b
r
α
α
⎧ = + =⎪⎪⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩
Từ công thức trên ta suy ra cosa r α= và 
sinb r α= 
Do đó số phức z = a + bi có thể viết dưới dạng mới 
( )cos sinz r iα α= + 
Trong đó r z= và ( )arg zα = . Đó là dạng lượng giác của số phức z. 
Ngoài ra ta còn có thể xác định được sự liên hệ giữa M và M1 (với M1 thuộc đường 
tròn lượng giác) như hình sau 
Ví dụ 
Biểu diễn dưới dạng lượng giác các số phức sau: 
a) z = -1 – i 
b) z = 4 + 3i 
Giải 
a) r = 2 2+a b = 1 1 2+ = 
vì toạ độ của –1 - i nằm ở góc vuông thứ 3 của mặt phẳng phức nên : 
1sin
2
α = − 1cos
2
α = − 
và 3
4
πα = − π α π− < ≤ 
Vậy -1 – i = 3 32 sin
4 4
cos iπ π⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 
b) Ta có : 
r = 2 2 16 9 5+ = + =a b 
và 3tan
4
α = ⇒ 36 52 'α ≈ o 
( )4 3 5 cos36 52 ' sin 36 52 '+ = +o oi i 
trong đó 5z = và argz 36 52 '≈ o 
Ngoài ra ta còn biểu diễn cách khác như sau : 
4 + 3i = 5 ( )cos siniα α+ với 3
4
tgα = 
2. Sự liên hệ giữa dạng lượng giác và dạng đại số 
Như ta đã biết dạng lượng giác của một số phức z là ( )cos sinz r iα α= + và dạng đại số 
là z = a + ib 
Với 0z ≠ ta luôn có : 2 2= = +r z a b ; cosα = a
r
 ; sinα = b
r
3. Chú ý : 
- Số phức 0 không có dạng lượng giác. 
- r và α được gọi là toạ độ cực của điểm M(z). 
- Số phức z có mođun bằng 1 là cos sinz iα α= + . 
Ví du 
VD1 : Xác định dạng lượng giác của các số phức sau : 
a. ( )2 2 cos 0 sin 0i= + ; ( )5 5 cos siniπ π− = + 
b. 2 2 cos sin
2 2
i iπ π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠ ; 
3 31 cos sin
2 2
i iπ π⎛ ⎞− = +⎜ ⎟⎝ ⎠ 
c. 1 2 cos sin
4 4
i iπ π⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠ 
VD2 : Hãy tính mođun và acgumen cuả số phức z, sau đó viết dưới dạng lượng giác cuả 
nó 
a. cos siniα α− 
b. ( )2 cos siniα α− − 
Giải : 
Bạn nên chú ý kĩ về dạng tổng quát của một số phức dưới dạng lượng giác, đó là 
( ) ( )cos sin r>0z r iα α= + 
a. ( ) ( )cos sin cos sini iα α α α− = − + − 
với mođun cuả z bằng 1 và acgumen cuả z bằng α− 
b. ( ) ( ) ( )2 cos sin 2 cos sini iα α α π α π− − = + + +⎡ ⎤⎣ ⎦ 
với mođun cuả z bằng 2 và acgumen cuả z bằng α π+ 
VD3. 
Biểu diễn : z = 2 22 cos sin
3 3
iπ π⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ dưới dạng đại số 
Giả sử z = x + iy 
 Ta có : r = 2, 2
3
πα = 
 x = rcosα = 22cos 1
3
π = − 
 và y = 2sin 2sin 3
3
r a π= = . 
Vậy : z = -1+ 3i 
3.3 Các phép toán trên acgumen 
Định lí 6 
Với mọi số phức z và z’ khác 0 ta luôn có: 
( ) ( ) ( )arg ' arg arg '= +zz z z 
Chứng minh : 
Ta có ( )cos sinz r iα α= + và ( )' ' cos ' sin 'z r iα α= + (r > 0 và r’ > 0) 
( ) ( )' ' cos cos ' sin sin ' sin cos ' cos sin 'zz rr iα α α α α α α α= − + +⎡ ⎤⎣ ⎦ Bằng công thức cộng 
trong lượng giác ta được : 
( ) ( )' ' cos ' sin 'zz rr iα α α α= + + +⎡ ⎤⎣ ⎦ 
Vì r,r’ > 0 nên theo dạng lượng giác của một số phức ta được ( )' arg ' + k2α α π+ = zz 
Vậy ( ) ( ) ( )arg ' arg arg ' + k2π= +zz z z 
Hệ quả : 
Với mọi số phức z và z’ khác 0 và n là số tự nhiên ta luôn có ( )1arg arg⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠ zz ; 
( ) ( )arg arg arg '
'
⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠
z z z
z
; 
( ) ( )arg arg=nz n z . 
Ví dụ 
VD1 : 
Cho : 1 4 sin3 3
π π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠z cos i và 2
5 52 sin
6 6
π π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠z cos i 
Ta có : 1 2
7 78 cos sin
6 6
π π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠z z i . 
VD2 : Tính ( )51 3i+ 
Giải : 1 3i+ có mođun bằng 2 và acgumen bằng 
3
π . Từ đó ta có : ( )51 3i+ có mođun 
là 25 và acgumen bằng 5
3
π . Từ đó suy ra 
( ) ( )5 5 5 1 31 3 32 cos sin 32 16 1 33 3 2 2π π ⎛ ⎞⎛ ⎞+ = + = − = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠i i i i 
- Nhận xét : dựa vào tính chất của mođun và acgumen ta đã tính toán luỹ thừa trên một 
cách nhanh chóng , còn không các bạn khai triển luỹ thừa bậc 5 của nhị thức trên , bài 
toán sẽ khá dài . 
VD3 : Giải phương trình có dạng : z3 = 1 
Đặt r = z và ( )arg zα = , vấn đề đặt ra là cần xác định r và α 
Mođun của 3 3z r= và ( )3arg 3z α= 
Vì 1 1= và ( )arg 1 2k π= . Áp dụng điều kiện bằng nhau của hai số phức , ta có : 
( ) ( )
3 1 ( ; 0)1
23 2
3
παα π
= ∈ >⎧⎧ =⎪ ⎪⇔⎨ ⎨ = ∈= ∈⎪ ⎪⎩ ⎩
r r R rr
k k Zk k Z
Vậy phương trình trên có 3 nghiệm có mođun là 1 và acgumen lần lượt là 0 , 2
3
π ; 4
3
π 
Tập nghiệm của phương trình trên được biểu diễn dưới dạng đại số : 
1 3 1 31 ; ; 
2 2 2 2
⎧ ⎫⎪ ⎪= − + − −⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
S i i . 
- Chú ý : Nếu đặt j = 1 3
2 2
− + i thì 1 3
2 2
= − −j i .