Chuyên đề Tính đơn điệu của hàm số - Trương Trọng Nhân

′ = ⋅
−
Từ đó suy ra 
)i Nếu ( ) 0,f x x I′ > ∀ ∈ thì ( ) 0f c′ > , mặt khác 
2 1
0x x− >
 nên 
2 1
( ) ( )f x f x> . Do đó f đồng biến trên khoảng I 
Vấn đề 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 5 
)ii Nếu ( ) 0,f x x I′ < ∀ ∈ thì ( ) 0f c′ < mặt khác 
2 1
0x x− >
 nên 
2 1
( ) ( )f x f x< . Do đó f nghịch biến trên khoảng I 
Nhận xét: (Mở rộng của định lý 3) 
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I 
 )i Nếu ( ) 0,f x x I′ ≥ ∀ ∈ , ( ) 0f x′ = chỉ tại một số hữu hạn điểm củaI , 
thì hàm số f đồng biến trên khoảng I 
 )ii Nếu ( ) 0,f x x I′ ≤ ∀ ∈ , ( ) 0f x′ = chỉ tại một số hữu hạn điểm củaI , 
thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I 
5. Các dạng bài toán 
Bài toán 1: Tính đơn điệu của hàm số dạng 
≠3 2y = f(x)= ax +bx +cx+d (a 0) 
Tìm điều kiện để ≠3 2y = f(x)= ax +bx +cx+d (a 0) luôn đồng biến 
(nghịch biến) trên  . 
° Tập xác định của hàm số: D =  
° Đạo hàm: 2( ) 3 2f x ax bx c′ = + + 
Để ý ta thấy ( )f x′ có dạng tam thức bậc hai có 2 3b ac′∆ = − 
° Xét dấu f ′ 
Ta đã biết: Một đa thức bậc n có không quá n nghiệm. 
Do đó, ta có ( )f x′ có bậc không quá hai nên có không quá hai nghiệm. 
Hay ( ) 0f x′ = chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm. 
Áp dụng điều kiện cần và điều kiện đủ của tính đơn điệu cho hàm số f ta được: 
 Hàm số f đồng biến trên ⇔ ( ) 0,f x x′ ≥ ∀ ∈  
0
0
a >⇔ 
′∆ ≤
 Hàm số f nghịch biến trên ⇔ ( ) 0,f x x′ ≤ ∀ ∈  
0
0
a <⇔  ′∆ ≤
Phương pháp giải: 
1
.b
 Tìm tập xác định của hàm số 
 TXĐ: D =  
2
.b Tìm đạo hàm f ′ 
2( ) 3 2f x ax bx c′ = + + 
3
.b Xét dấu f ′ ta được: 
0
( ) 0,
0
a
f x x
 >′ ≥ ∀ ∈ ⇔ 
′∆ ≤
 
Vấn đề 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 6 
Hoặc 
0
( ) 0,
0
a
f x x
 <′ ≤ ∀ ∈ ⇔ 
′∆ ≤
 
4
.b Kết luận 
Bài toán 2: Tính đơn điệu của hàm số dạng 
(c ≠
ax+b
y = f(x)= 0)
cx+d
∗ Tìm điều kiện để (c ≠ax+by = f(x)= 0)
cx+d
 luôn đồng biến (tăng) hoặc 
nghịch biến (giảm) trên từng khoảng xác định. 
Tập xác định: { }0. .\
d
D x
c
−
= = 
Để ý rằng: 
° Hàm số f không xác định tại 
0
x 
° 
2
( )
( )
a b
c d
y f x
cx d
′ ′= =
+
 với
a b
A
c d
= là một hằng số không có biếnx 
Như vậy, ta chỉ có ba khả năng cho A 
° 0 ( ) 0,A f x x D f′= ⇔ = ∀ ∈ ⇔ là hàm hằng trên D 
° 0 0,A y Dx′> ⇔ > ∀ ∈ 
f⇔ tăng trên cả hai khoảng của tập xác định: 
0 0
),( ,( , )x x +−∞ ∞ 
x 
−∞ 
0
x
+∞ 
y ′ + + 
y 
 +∞ 
−∞ 
 +∞ 
−∞ 
° 0 0A y Dx′< ⇔ < ∀ ∈ 
f⇔ giảm trên cả hai khoảng của tập xác định: 
0 0
),( ,( , )x x +−∞ ∞ 
x −∞ 0x +∞ 
y ′ 
 − − 
y 
+∞ 
 −∞ 
+∞ 
 −∞ 
Vấn đề 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 7 
Phương pháp giải: 
1
.b Tìm tập xác định của hàm số 
 Tập xác định: { )0. .\
d
D x
c
−
= = 
2
.b Tìm đạo hàm f ′ 
2
( )
( )
a b
c d
y f x
cx d
′ ′= =
+
3
.b Xét dấu f ′ 
 0,y x D′ > ∀ ∈ ⇔ 0
a b
A
c d
= > 
 0,y x D′ < ∀ ∈ ⇔ 0
a b
A
c d
= < 
4
.b Kết luận 
Bài toán 3: Tính đơn điệu của hàm số dạng 
2
1 1 1
1 1
1 1
+
≠
a x +b x c
y = f(x)= (a ,d 0)
d x+e
Tìm điều kiện để 
2
1 1 1
1 1
1 1
+
≠
a x +b x c
y = f(x)= (a ,d 0)
d x+e
 luôn đồng biến 
(tăng) hoặc nghịch biến (giảm) trên từng khoảng xác định. 
Tập xác định: { }10
1
.\ .
e
D R x
d
= = − 
Để ý rằng: 
° Hàm số f không xác định tại 
0
x 
° 
2
2
1 1
( ) ( 0)
( )
ax bx c
y f x a
d x e
+ +
′ ′= = ≠
+
Như vậy, dấu của y ′ là dấu của 2ax bx c+ + trên D . 
Ta có 2ax bx c+ + có bậc không quá hai nên có không quá hai nghiệm. 
2 0ax bx c⇒ + + = chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm. 
Hay ( ) 0f x′ = chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm. 
Áp dụng điều kiện cần và điều kiện đủ của tính đơn điệu cho hàm số f ta được: 
 Hàm số f đồng biến trên ⇔ ( ) 0,f x x′ ≥ ∀ ∈  
0
0
a >⇔ 
∆ ≤
Vấn đề 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 8 
 Hàm số f nghịch biến trên ⇔ ( ) 0,f x x′ ≤ ∀ ∈  
0
0
a <⇔ 
∆ ≤
Phương pháp giải: 
1
.b Tìm tập xác định 
TXĐ: { }10
1
.\ .
e
D x
d
= = − 
2
.b Tìm đạo hàm f ′ 
2
2
1 1
( )
( )
ax bx c
y f x
d x e
+ +
′ ′= =
+
3
.b Xét dấu f ′ ta được 
0
( ) 0,
0
a
f x x D
 >′ ≥ ∀ ∈ ⇔ 
∆ ≤
0
( ) 0,
0
a
f x x D
 <′ ≤ ∀ ∈ ⇔ 
∆ ≤
4
.b Kết luận 
6. Một số bài tập 
Bài 1. Tìm a để hàm số 
2 22 3
2
x ax a
y
x a
− +
=
−
 đồng biến trên (1, )+∞ 
Giải 
TXĐ: \ {2 }D a=  
Trước hết là hàm số cần xác định với mọi 
1
(1; ) 2 1 (1)
2
x a a∈ +∞ ⇔ ≤ ⇔ ≤ 
Đạo hàm: 
2 2
2
4
( 2 )
x ax a
y
x a
− +
′ =
−
Hàm số đồng biến (1, )x∀ ∈ +∞ 
2 20, (1, ) ( ) 4 0, (1, ) (2)y x f x x ax a x′⇔ ≥ ∀ ∈ +∞ ⇔ = − + ≥ ∀ ∈ +∞ 
Để giải (2) ta có thể chọn 1 trong 2 phương pháp sau: 
° Cách 1: Phương pháp tam thức bậc 2 
Ta có: 23 0a∆ = ≥ do (1) 
Vậy điều kiện (2) là ( ) 0f x = có nghiệm thỏa 
1 2
1x x≤ ≤
Vấn đề 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 9 
2
2 3
(1) 0 1 4 0 2 3 2 3
2 11 12
2
a
f
a a
a aS
a
a
 ≥ +  ≥   − − ≥   < −⇔ ⇔ ⇔ ≤ −    <<    <
 (3) 
Kết hợp (1) (3) ta được 2 3a ≤ − 
Vậy hàm số đồng biến trong (1, )+∞ khi 2 3a ≤ − 
° Cách 2: Phương pháp hàm số 
1
(2) min ( ) 0
x
f x
≥
⇔ ≥ (4) 
Vì đồ thị của f(x) là một parabol quay bề lõm lên trên có hoành độ đỉnh 
0
2 1x a= ≤ do (1), do đó 
1
min ( ) (1)
x
f x f
≥
= 
Khi đó 
2
2 3
(4) (1) 0 1 4 0
2 3
a
f a a
a
 ≥ +
⇔ ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ 
 ≤ −

 (5) 
Kết hợp (1) và (5) ta được 2 3a ≤ − 
Vậy hàm số đồng biến trong (1, )+∞ khi 2 3a ≤ − . 
Như vậy để giải các biểu thức của y ′ phương pháp được sử dụng phổ biến nhất 
là phương pháp tam thức bậc hai, tuy nhiên trong những trường hợp riêng biệt 
có thể sử dụng phương pháp hàm số để giải, cụ thể 
( ) 0 min ( ) 0
( ) 0 max ( ) 0
x D
x D
f x x D f x
f x x D f x
∈
∈
′ ′≥ ∀ ∈ ⇔ ≥
′ ′≤ ∀ ∈ ⇔ ≤


Ta xét Bài 1′. Cho hàm số 3 2 3y x mx x= + + . Tìm m để y đồng biến trên 
(1, )+∞ . 
Giải 
Tập xác định: D =  
23 2 3y x mx′ = + + 
y đồng biến trên (1, )+∞ 0 1y x′⇔ ≥ ∀ > 
2
2
2
3 2 3 0 1
3 3 2 1
3 3
(do 0, 1)
2
x mx x
x mx x
x
m x x
x
⇔ + + ≥ ∀ >
⇔ + ≥ − ∀ >
+
⇔ ≤ − 
−
Đặt 
23 3
( ) ; ( )
2
x
f x g x m
x
+
= =
−
Vấn đề 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 10 
° Xét 
23 3
( )
2
x
f x
x
+
=
−
Tập xác định: \D = {0} 
2
2
6 6
4
x
y
x
− +
′ = 
20 6 6 0 1y x x′ = ⇔ − + = ⇔ = ± 
x −∞ 1− 0 1 +∞ 
y ′ − 0 + + 0 − 
y +∞ +∞ 
 3 
 − 3 
−∞ −∞ 
Bài 2. Cho hàm số 3 2(2 1) ( 2) 2y mx m x m x= − − + − − có đồ thị ( )
m
C . Với 
giá trị nào của m thì hàm số luôn đồng biến. 
 (Đại học Tài chính Kế toán Hà Nội-2001) 
Giải 
Hàm số luôn đồng biến 23 2(2 1) 2 0y mx m x m x′⇔ = − − + − ≥ ∀ ∈  
 ( 1)(3 2) 0 (1)x mx m x⇔ − − + ≥ ∀ ∈  
° Nếu 0m = thì (1) ( 1)2 0x⇔ − ≥ chỉ đúng với 2x ≥ 
° Nếu 0m < thì 
1 2
(1) x x x⇔ ≤ ≤ 
1,2
1
2
3
x ym
m
       ′=  −       
laø 2 nghieäm cuûa tam thöùc 
° Nếu 0m > thì 1
2
(1)
x x
x x
 ≤⇔  ≥
(1) đúng 
1 2
2
1 1
3
m
x x x m
m
−
∀ ∈ ⇔ = ⇔ = ⇔ = −
 (loại) vì trái giả thuyết 
0m > . 
Vậy không có giá trị nào của m làm hàm số luôn đồng biến. 
Bài 3. Cho hàm số 
2 3 2( 1) 2 ( 2)m x mx m m
y
x m
+ − − − +
=
−
 có đồ thị ( )
m
C . 
Xác định tất cả các giá trị của m sao cho hàm số có đồ thị ( )
m
C luôn luôn nghịc 
biến trên các khoảng xác định của nó. 

 


1
x 
2
x x 
Vấn đề 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 11 
Giải 
2 3 2
2
( 1) 2 ( 1) 2)
( )
m x m m x m m
y
x m
+ − + + + +
′ =
−
Để hàm số luôn luôn nghịc biến trên các khoảng xác định của nó ta phải có: 
2 3 2( ) ( 1) 2 ( 1) 2) 0F x m x m m x m m x m= + − + + + + ≤ ∀ ≠ 
° Với 1 : ( ) 2 0 : 1(m F x m= − = ≥ ⇒ = −khoâng thoûa maõn loaïi) . 
° Với 1m ≠ − : Để ( ) 0F x x m≤ ∀ ≠ 
1 0 1 0
2( 1) 0 1 0
m m
m m
  + < + < ⇔ ⇔ 
′ ∆ = − + ≤ + ≥  
 vô nghiệm. 
Vậy không có giá trị nòa của m chấp nhận được. 
Bài 4. Cho hàm số 
2 2( 1) 4 1
( 1)
x m x m
y
x m
− + + −
= ⋅
− −
 Tìm các giá trị của m để 
hàm số xác định và đồng biến trên (0, )+∞ . 
 (Đại học sư phạm Hà Nội-2000) 
Hàm số xác định 0 1 0 1x m m∀ > ⇔ − ≤ ⇔ ≤ . 
Hàm số đồng biến trên (0, )+∞ 
2 2
2
0
2( 1) 3 4 1
0, 0
( 1 )
x
x m x m m
y x
x m
 ∀ >⇔  − − − + +
′ = ≥ ∀ > + −
Haøm soá xaùc ñònh 
 2 2
1
( ) 2( 1) 3 4 1 0, 0
m
f x x m m m x
 ≤⇔ 
 = − − − + + ≥ ∀ >
.i Nếu 2 34 6 0 0
2
m m m′∆ = − ≤ ⇔ ≤ ≤ thì ( ) 0,f x x≥ ∀ ∈  
Kết hợp điều kiện: 1 0 1m m≤ ⇒ ≤ ≤ 
.ii Nếu 
0
0 3
2
m
m
 <
′ ∆ > ⇔
 >
 thì ( )f x có 2 nghiệm phân biệt. 
2
1,2
1 4 6x m m m= − ± − và để ( ) 0, 0f x x≥ ∀ > , điều kiện cần và đủ là 
2
1 0x x< ≤ 
2
1 2
1 2
0 3 4 1 0
2 7
0 1 0 0
3
0 0
x x m m
x x m m
  ≥ − + + ≥   − ⇔ + < ⇔ − < ⇔ ≤ ≤ 
  ′ ′∆ > ∆ >   
Đáp số: 2 7 0
3
m
−
≤ ≤ . 
Vấn đề 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 12 
Bài 5. Cho hàm số 3 2y x bx mx m= + + + . Tìm tất cả các giá trị của tham số 
m để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 1. 
 (Đại học Quốc Gia Hà Nội-Khối D-2000) 
Giải 
3 2( ) 3f x x x mx m= + + + 
2( ) 3 6f x x x m′ = + + 
( )f x′ có 9 3m′∆ = − 
° Nếu 0′∆ ≤ thì ( ) 0,f x x′ ≥ ∀ ∈ ⇒ Hàm số luôn đồng biến. 
° Nếu 0′∆ > thì ( )f x′ có hai nghiệm phân biệt là 
1 2
; ( ) 0x x f x′< < 
1 2
x x x⇔ < < . Hàm số nghịch biến trong khoảng 
1 2
( , )x x . Yêu cầu bài 
toán 
2 1
1x x⇔ − = 
3 3
1 2 3
3 3
′ ′− + ∆ − − ∆
′⇔ − = ⇔ ∆ = 
9
4(9 3 ) 9
4
m m⇔ − = ⇔ = 
Bài 6. Tìm a để hàm số 3 21
3
ax ax x− + − luôn nghịch biến . 
Giải 
TXĐ: D =  
Đạo hàm: 2 2 1y ax ax′ = − + − 
Hàm số luôn nghịch biến 0y x′⇔ ≤ ∀ ⇔ 2 2 1 0ax ax x− + − ≤ ∀ 
Xét 2 trường hợp 
° TH1: 0a = 
Khi đó 1