Chuyên đề Tiệm cận đồ thị hàm số

Trang web học tập toán chuyên nghiệp : toancapba.com 
Chuyên đề : Tiệm cận đồ thị hàm số 
Hãy truy cập website: toancapba.com miễn phí học tập môn toán 1 
Chuyên đề : Tiệm cận của hàm số 
1. Các định lý xác định tiệm cận của đồ thị hàm số : 
 Cho hàm số y = f(x) 
Nếu lim
x a
y
→
= ∞ thì đường thẳng x = a là tiệm cận đứng của độ thị hàm số 
Nếu lim
x
y a
→∞
= thì đường thẳng y = a là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 
Nếu ( )lim 0 (a 0)
x
y ax b
→∞
− + = ≠   thì đường thẳng y = ax + b là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số 
2. Cách xác định hệ số a , b của tiệm cận xiên : 
( )lim b= lim
x x
y
a y ax
x→∞ →∞
= − 
3. Tiệm cận của một số hàm thường gặp : 
a. Hàm số đa thức : 10 2 1...
n n
n ny a x a x a x a
−
−= + + + + . Đồ thị không có tiệm cận 
b. Hàm số phân thức hữu tỷ: 
( )
( )
p x
y
q x
= ( dạng tối giản : tức là tử số và mẫu số không có 
nhân tử chung ) 
Nếu q(x) có n nghiệm x1 , x2 ,  thì đồ thị hàm số có n tiệm cận đứng là các đường 
thẳng có phương trình x1,x2, 
Nếu bậc p(x) < bậc q(x) : thì đồ thị có tiệm cận ngang y = 0 
Nếu bậc p(x) = bậc q(x) thì đồ thị có tiệm cận ngang y = c 
Nếu bậc p(x) = bậc q(x) + 1 thì có tiệm cận xiên ( lấy p(x) chia cho q(x) được thương là 
ax + b thì tiệm cận xiên là đường thẳng y = ax + b 
Nếu bậc p(x) > bậc q(x) + 1 thì không có tiệm cận xiên 
c. Hàm căn thức : ( )ny p x= 
Ta xét hai dạng cơ bản : 
* 2y ax bx c= + + 
Nếu 0a ≤ thì đồ thị không có tiệm cận 
Nếu a > 0 thì hàm số có hai tiệm cận xiên ( bên trái và bên phải ) 
2
b
y a x
a
 = + 
 
± 
* 3 3 2y ax bx cx d= + + + 
Nếu a = 0 thì không có tiệm cận 
Nếu 0a ≠ thì có tiệm cận xiên 3
3
b
y a x
a
 = + 
 
d. Cách tìm tiệm cận các hàm số khác : y = f(x) 
Tìm tập xác định 
Tính các giới hạn của hàm số khi x 
 các đầu mút không xác định ta tìm được các tiệm cận 
đứng , tiệm cận ngang 
Tìm tiệm cận xiện theo công thức xác định a , b ( nếu tồn tại thì có tiệm cận xiên ) 
4. Các ví dụ : 
a. Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số sau : 
Trang web học tập toán chuyên nghiệp : toancapba.com 
Chuyên đề : Tiệm cận đồ thị hàm số 
Hãy truy cập website: toancapba.com miễn phí học tập môn toán 2 
* 
2
2
2 3
1
x x
y
x
+ −
=
−
Giải: ta rút gọn phân thức trên 
( 1)(2 3) 2 3 1
2
( 1)( 1) 1 1
x x x
y
x x x x
− + +
= = = +
− + + +
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1 và tiệm cận ngang y = 2 
( dễ nhầm là có 3 tiệm cận ) 
* 2y x x x= + + 
Giải: a = 1 >0 
Đồ thị hàm số có các tiệm cận 
1
2
y x x
 = ± + 
 
, hay có tiệm cận ngang 
1
2
y = − và tiệm cận 
xiên 
1
2
2
y x= + 
* 
sin x
y
x
= 
Tập xác định \{0}R 
0
sin sin 1
lim 1 , lim limsin . 0
x x x
x x
x
x x x→ →∞ →∞
= = = ( vì “ bị chặn “ nhân 0 =0 ) 
Vậy có 1 tiệm cận ngang y = 0 ( không có tiệm cận đứng ) 
* 1 2xy xe −= Tập xác định R 
1 2
2 2
lim . lim lim 0(Lopi tan)
2.
x
x xx x x
ex e
x e
e e
−
→+∞ →+∞ →+∞
= = = , nên có tiệm cận ngang bên phải y = 0 
1 2
1 2
lim .
0 , x + 
lim li
 , x - 
m
x
x
x
x x
x e
y
e
x
−
→−∞
−
→∞ →∞
∞
+∞ →
= +∞
→
= =
∞


Không có tiệm cận xiên 
b. Biện luận số tiệm cận của đồ thị hàm số sau : 
* 
1
1
x
y
mx
−
=
+
Nếu m = 0 hàm bậc 1 không có tiệm cận 
Nếu 0m ≠ : Ta có 
1
11
1
my
m mx
+
= −
+
 Nếu m = -1 hàm hằng 
 không có tiệm cận 
 Nếu 1m ≠ − có 1 tiệm cận ngang 
1
y
m
= 
* 
2 2
1
x x m
y
x
+ +
=
−
Ta có 
3
3
1
m
y x
x
+
= + +
−
Nếu m = -3 hàm bậc 1 không có tiệm cận 
Trang web học tập toán chuyên nghiệp : toancapba.com 
Chuyên đề : Tiệm cận đồ thị hàm số 
Hãy truy cập website: toancapba.com miễn phí học tập môn toán 3 
Nếu 3m ≠ − có tiệm cận xiên y = x + 3 
c. Tìm m để hàm số có tiệm cận ngang : 
* 22y x mx x= − + 
Với m > 0 đồ thị có các tiệm cận 
1
2
2
y x m x
m
 = − + 
 
Có tiệm cận ngang khi và chỉ khi 2 4 0mm⇔ = >= 
* 
2 2( 1) ( 1) 2
1
m x m x
y
x
− + + +
=
−
Ta có 
2
2 2 2( 1) ( )
1
m m
y m x m m
x
+ +
= − + + +
−
Đồ thị có tiệm cận ngang khi và chỉ khi 
2
2
1
0
1 0
2
m
m
m
m
⇔ =
≠
 − =

+ +
( nhiều bạn cho đáp số m = 1 và m = -1 )