Chuyên đề Tích phân của các hàm lượng giác

=
2
5
1∫
0
dt
2t+ 1
− 1
5
1∫
0
dt
t− 2
=
1
5
[ln |2t+ 1| − ln |t− 2|]
∣∣∣∣1
0
=
1
5
ln 6.
b. Bài giải:
+ Đặt t = tan
x
2
đổi cận x = 0 =⇒ t = 0;x = pi
2
=⇒ t = 1.
+ Vi phân dx =
2dt
1 + t2
.
+ Biến đổi
dx
4 sin x+ 3 cosx
=
2dt
1 + t2
−3t2 + 8t+ 3
1 + t2
=
−dt
3t2 − 8t− 3
Do vậy
J =
pi
2∫
0
dx
4 sin x+ 3 cosx
= −
1∫
0
2dt
3t2 − 8t− 3
Bằng kỹ thuật đã biết ở tích phân các hàm hữu tỷ ta có
1
3t2 − 8t− 3 =
1
10
t− 3 −
3
10
3t+ 1
Do vậy ta có
J =
pi
2∫
0
dx
4 sin x+ 3 cosx
=
3
10
1∫
0
dt
3t+ 1
− 1
10
1∫
0
dt
t− 3
=
1
10
[ln |3t+ 1| − ln |t− 3|]
∣∣∣∣1
0
=
1
5
ln 6.
2
Nhận xét: Chúng ta có ngạc nhiên khi
pi
2∫
0
dx
3 sin x+ 4 cosx
=
pi
2∫
0
dx
4 sin x+ 3 cosx
điều này sẽ đ−ợc giải thích ở mục một số đặc tr−ng của tích phân.
6.1.2. Bài tập tự giải:
(a). I =
pi
2∫
0
dx√
3 sin x+ cosx
(b). J =
0∫
−
pi
2
dx
4 sin x− 3 cos x
(c). I =
pi
6∫
0
dx
sinx+
√
3 cos x
(d). J =
pi
3∫
0
dx
sin x+ 3 cosx
(e). I =
pi
6∫
0
dx
sin x− cosx (f). J =
pi
4∫
0
dx
sin x+ cosx
3
6.2. Tích phân dạng L2 =
∫
a sin x+ b cosx
m sinx+ n cosx
dx, (a2 + b2,m, n 6= 0).
• Biến đổi a sin x+ b cosx = A(m sin x+n cosx)+B(m cosx−n sin x) trong đó A,B
đ−ợc xác định từ hệ ph−ơng trình mA− nB = anA+mB = b
• Ta đ−ợc
L1 = Ax+B ln |m sin x+ n cosx|+ C
với C là hằng số nào đó, trong tr−ờng hợp tích phân xác định thì chúng ta chỉ việc thay
cận vào là xong.
6.2.1. Bài tập mẫu:
(a). I =
pi
2∫
0
2 sin x+ 11 cos x
3 sin x+ 4 cosx
dx (b). J =
pi
2∫
0
sin x
4 sin x+ 3 cosx
dx
a. Bài giải:
Gọi A,B là hai số thực sao cho đẳng thức d−ới đây thỏa mãn với mọi x ∈ R
2 sinx+ 11 cos x = A(3 sin x+ 4 cosx) +B(3 cosx− 4 sin x)
⇐⇒ 2 sin x+ 11 cos x = (3A− 4B) sinx+ (4A+ 3B) cos x
Từ đây ta có hệ ph−ơng trình
 3A− 4B = 24A+ 3B = 11 ⇐⇒
A = 2B = 1
Do vậy ta có
I =
pi
2∫
0
2 sin x+ 11 cos x
3 sin x+ 4 cosx
dx =
pi
2∫
0
2dx+
pi
2∫
0
3 cos x− 4 sinx
3 sinx+ 4 cosx
dx
= [2x+ ln |3 sinx+ 4 cosx|]|
pi
2
0 = pi + ln
3
4
b. Bài giải:
Gọi A,B là hai số thực sao cho đẳng thức d−ới đây thỏa mãn với mọi x ∈ R
sin x = A(4 sin x+ 3 cosx) +B(4 cosx− 3 sin x)
⇐⇒ sin x = (4A− 3B) sinx+ (3A+ 4B) cos x
4
Từ đây ta có hệ ph−ơng trình  4A− 3B = 13A+ 4B = 0 ⇐⇒

A =
4
25
B = − 3
25
Do vậy ta có
J =
pi
2∫
0
sin x
4 sin x+ 3 cosx
dx =
4
25
pi
2∫
0
dx− 3
25
pi
2∫
0
4 cos x− 3 sin x
4 sin x+ 3 cosx
dx
=
[
4
25
x− 3
25
ln |4 sin x+ 3 cosx|
]∣∣∣∣
pi
2
0
=
2pi
25
− 3
25
ln
4
3
6.2.2. Bài tập tự giải:
(a). I =
pi
2∫
0
sinx− cosx
sin x+ cosx
dx (b). J =
0∫
−
pi
2
3 sin x− 4 cos x
4 sin x− 3 cos xdx
(c). I =
pi
6∫
0
sin xdx
sinx+
√
3 cos x
(d). J =
pi
3∫
0
cosxdx√
3 sin x+ cosx
(e). I =
pi
6∫
0
cos 2x− cosx
sin x− cosx dx (f). J =
pi
4∫
0
cos 2x+ sinx
sin x+ cosx
dx
5
6.3. Tích phân dạng L3 =
∫
a sin x+ b cosx
(m sin x+ n cosx)2
dx, (a2 + b2,m, n 6= 0).
• Biến đổi a sin x+ b cosx = A(m sin x+n cosx)+B(m cosx−n sin x) trong đó A,B
đ−ợc xác định từ hệ ph−ơng trình mA− nB = anA+mB = b
• Ta đ−ợc
L3 = A
∫
dx
m sin x+ n cosx
+B ln |m sin x+ n cosx|
với tích phân bên trái chính là tích phân dạng L1.
6.3.1. Bài tập mẫu:
(a). I =
pi
2∫
0
6 sin x− 17 cosx
(3 sin x+ 4 cosx)2
dx (b). J =
pi
2∫
0
21 sinx+ 22 cos x
(4 sin x+ 3 cosx)2
dx
a. Bài giải:
Gọi A,B là hai số thực sao cho đẳng thức d−ới đây thỏa mãn với mọi x ∈ R
6 sinx− 17 cosx = A(3 sin x+ 4 cosx) +B(3 cosx− 4 sin x)
⇐⇒ 6 sin x− 17 cosx = (3A− 4B) sinx+ (4A+ 3B) cos x
Từ đây ta có hệ ph−ơng trình  3A− 4B = 64A+ 3B = −17 ⇐⇒
A = −2B = −3
Do vậy ta có
I =
pi
2∫
0
6 sin x− 17 cosx
(3 sin x+ 4 cosx)2
dx = −2
pi
2∫
0
dx
3 sin x+ 4 cosx
− 3
pi
2∫
0
3 cos x− 4 sinx
3 sinx+ 4 cosx
dx
= −2
5
ln 6− 3 [ln |3 sin x+ 4 cosx|]|
pi
2
0
= −2
5
ln 6− 3 ln 3
4
.
b. Bài giải:
Gọi A,B là hai số thực sao cho đẳng thức d−ới đây thỏa mãn với mọi x ∈ R
21 sinx+ 22 cos x = A(4 sin x+ 3 cosx) +B(4 cosx− 3 sin x)
⇐⇒ 21 sinx+√22 cosx = (4A− 3B) sinx+ (3A+ 4B) cos x
6
Từ đây ta có hệ ph−ơng trình  4A− 3B = 213A+ 4B = 22 ⇐⇒
A = 6B = 1
Do vậy ta có
J =
pi
2∫
0
21 sinx+ 22 cos x
(4 sin x+ 3 cosx)2
dx = 6
pi
2∫
0
dx
4 sin x+ 3 cosx
+
pi
2∫
0
4 cos x− 3 sinx
4 sinx+ 3 cosx
dx
=
6
5
ln 6 + [ln |4 sin x+ 3 cosx|]|
pi
2
0
=
6
5
ln 6 + ln
4
3
.
6.3.2. Bài tập tự giải:
(a). I =
0∫
−
pi
2
4 sin x− 3 cos x
(3 sin x− 4 cos x)2dx (b). J =
pi
2∫
0
sin x+ cosx
(4 sin x+ 3 cosx)2
dx
(c). I =
pi
2∫
0
sin x
(
√
3 sin x+ cosx)2
dx (d). J =
pi
2∫
0
cosx
(sinx+
√
3 cos x)2
dx
(e). I =
pi
2∫
0
4 sin x− 3 cos x+ 5
3 sinx+ 4 cosx
dx (f). J =
pi
2∫
0
sin x+ cosx+ 1
4 sin x+ 3 cosx
dx
(g). I =
pi
2∫
0
sin x+ cosx− 1
(3 sin x+ 4 cosx)2
dx (h). J =
pi
2∫
0
cosx− cosx+ 1
(sinx+ cosx)2
dx
(i). I =
pi
2∫
0
dx
(
√
3 sin x+ cosx)2
(j). J =
pi
2∫
0
dx
(sinx+
√
3 cos x)2
dx
Chú ý rằng từ các tích phân L1, L2, L3 chúng ta sẽ tính đ−ợc tích phân L4 có dạng
L4 =
∫
a sin x+ b cosx+ c
(m sin x+ n cosx)2
dx
Khi đó các bạn sẽ tính đ−ợc các tích phân ở phần bài tập trên.
7
6.5. Tích phân dạng L5 =
∫
a sin x+ b cosx+ c
m sinx+ n cosx+ p
dx.
• Biến đổi a sinx+ b cosx+ c = A(m sin x+ n cosx+ p) +B(m cosx− n sin x) +C
trong đó A,B,C đ−ợc xác định từ hệ ph−ơng trình
mA− nB = a
nA+mB = b
pA+ C = c
• Ta đ−ợc
L5 = Ax+B ln |m sin x+ n cosx+ p|+ C
∫
dx
m sin x+ n cosx+ p
6.5.1. Bài tập mẫu:
(a). I =
pi
2∫
0
5 sin x− 4 cos x+ 3
3 sin x+ 4 cosx+ 5
dx (b). J =
pi
2∫
0
3 sinx
(3 sin x− 4 cos x+ 5)2dx
a. Bài giải:
Gọi A,B,C là hai số thực sao cho đẳng thức d−ới đây thỏa mãn với mọi x ∈ R
5 sinx− 4 cos x+ 3 = A(3 sin x+ 4 cosx+ 5) +B(3 cosx− 4 sin x) + C
⇐⇒ 5 sin x− 4 cos x+ 3 = (3A− 4B) sinx+ (4A+ 3B) cos x+ (5A+ C)
Từ đây ta có hệ ph−ơng trình

3A− 4B = 5
4A+ 3B = −4
5A+ C = 3
⇐⇒

A = − 1
25
B = −32
25
C =
16
5
Do vậy ta có
I =
pi
2∫
0
5 sin x− 4 cos x+ 3
3 sin x+ 4 cosx+ 5
dx = − 1
25
pi
2∫
0
dx−32
25
pi
2∫
0
3 cos x− 4 sin x
3 sinx+ 4 cosx+ 5
dx+
16
5
pi
2∫
0
dx
3 sinx+ 4 cosx+ 5
.
=
[
− 1
25
x− 32
25
ln |3 sin x+ 4 cosx+ 5|
]∣∣∣∣
pi
2
0
+
16
5
pi
2∫
0
dx
3 sin x+ 4 cosx+ 5
.
= − pi
50
− 32
25
ln
8
9
+
16
5
I0.
8
Tính I0
+ Đặt t = tan
x
2
đổi cận x = 0 =⇒ t = 0;x = pi
2
=⇒ t = 1.
+ Vi phân dx =
2dt
1 + t2
.
+ Biến đổi
dx
3 sin x+ 4 cosx+ 5
=
2dt
1 + t2
t2 + 6t+ 9
1 + t2
=
2dt
t2 + 6t+ 9
=
2dt
(t+ 3)2
Do vậy
I0 =
pi
2∫
0
dx
3 sinx+ 4 cosx+ 5
=
1∫
0
2dt
(t+ 3)2
= − 2
t+ 3
∣∣∣∣1
0
=
1
6
Do vậy
I =
8
15
− pi
50
− 32
25
ln
8
9
b. Bài giải:
Gọi A,B,C là hai số thực sao cho đẳng thức d−ới đây thỏa mãn với mọi x ∈ R
3 sin x = A(3 sin x− 4 cos x+ 5) +B(3 cosx+ 4 sin x) + C
⇐⇒ 3 sin x = (3A+ 4B) sinx+ (3B − 4A) cos x+ (5A+ C)
Từ đây ta có hệ ph−ơng trình 
3A+ 4B = 3
4A− 3B = 0
5A+ C = 0
⇐⇒

A =
9
25
B =
12
25
C = −9
5
Do vậy ta có
J =
9
25
pi
2∫
0
dx
3 sin x− 4 cos x+ 5 +
12
25
pi
2∫
0
3 cos x+ 4 sin x
(3 sin x− 4 cos x+ 5)2dx−
9
5
pi
2∫
0
dx
(3 sin x− 4 cos x+ 5)2 .
=
9
25
J0 − 9
5
J1 − 12
5
1
3 sin x− 4 cos x+ 5
∣∣∣∣
pi
2
0
=
9
25
J0 − 9
5
J1 +
21
50
.
Tính J0
+ Đặt t = tan
x
2
đổi cận x = 0 =⇒ t = 0;x = pi
2
=⇒ t = 1.
+ Vi phân dx =
2dt
1 + t2
.
+ Biến đổi
dx
3 sin x− 4 cos x+ 5 =
2dt
1 + t2
9t2 + 6t+ 1
1 + t2
=
2dt
9t2 + 6t+ 1
=
2dt
(3t+ 1)2
9
Do vậy
J0 =
pi
2∫
0
dx
3 sin x− 4 cos x+ 5 =
1∫
0
2dt
(3t+ 1)2
= − 2
3(3t+ 1)
∣∣∣∣1
0
=
1
2
Tính J1
+ Đặt t = tan
x
2
đổi cận x = 0 =⇒ t = 0;x = pi
2
=⇒ t = 1.
+ Vi phân dx =
2dt
1 + t2
.
+ Biến đổi
dx
(3 sin x− 4 cos x+ 5)2 =
2dt
1 + t2
(9t2 + 6t+ 1)2
(1 + t2)2
=
2(1 + t2)dt
(9t2 + 6t+ 1)2
=
2(1 + t2)dt
(3t+ 1)4
Dùng kỹ thuật của tích phân hàm hữu tỷ ta gọi A,B,C là các số thực sao cho đẳng thức sau đây
thoả mãn với mọi t 6= −1
3
.
1 + t2
(3t+ 1)4
=
A
(3t+ 1)4
+
B
(3t+ 1)3
+
C
(3t+ 1)2
Thực hiện quy đồng mẫu số, đồng nhất hệ số hai vế ta đ−ợc hệ ph−ơng trình

A+B + C = 1
3B + 6C = 0
9A = 1
⇐⇒

A =
10
9
B = −2
9
C =
1
9
Do vậy
J1 =
20
9
1∫
0
dt
(3t+ 1)4
− 4
9
1∫
0
dt
(3t+ 1)3
+
2
9
1∫
0
dt
(3t+ 1)2
=
[
−20
81
.
1
(3t+ 1)3
+
2
27
.
1
(3t+ 1)2
− 2
27
.
1
3t+ 1
]∣∣∣∣1
0
=
11
48
.
Từ đây ta có
J =
9
25
.
1
2
− 9
5
.
11
48
+
21
50
=
15
80
6.5.2. Bài tập tự giải:
(a). I =
pi
2∫
0
5 sin x+ 4 cosx+ 3
3 sin x− 4 cos x+ 5dx (b). J =
pi
2∫
0
4 cos x
(3 sin x+ 4 cosx+ 5)2
dx
10
6.6. Tích phân dạng L6 =
∫
sinm x cosn dx, với m,n ∈ Z.
Trong phần tích phân từng phần chúng ta đã xây dựng công thức truy hồi để tính các tích
phân In =
pi
2∫
0
sinn xdx và Jn =
pi
2∫
0
cosn xdx hơn nữa chúng ta thấy hai tích phân này bằng nhau,
đây là các tr−ờng hợp đặc biệt của tích phân L6 khi m = 0 hay n = 0. Thật khó để cho một cách
giải tổng quát mà ng−ời đọc có thể hình dung một cách t−ờng minh, tuy nhiên trong các tr−ờng
hợp d−ới đây chúng ta có thể thực hiện theo phép đổi biến đ−ợc chỉ ra.
• Nếu m lẻ và n chẵn đồng thời là các số d−ơng thì đổi biến t = cos x.
• Nếu m chẵn và n lẻ đồng thời là các số d−ơng thì đổi biến t = sinx.
• Nếu m và n chẵn và có một số âm thì đổi biến t = tanx.
• Nếu m và n chẵn và đều d−ơng thì biến đổi theo công thức hạ bậc.
6.6.1. Bài tập mẫu:
(a). I =
pi
2∫
0
sin5 x cos4 xdx (b). J =
pi
2∫
0
sin4 x cos5 xdx
(c). I =
pi
4∫
0
sin4 x
cos6 x
dx (d). J =
pi
2∫
0
sin4 x cos2 xdx
(e). I =
pi
4∫
0
sin5 x
cos3 x
dx (f). J =
pi
2∫
0
sin3 x cos5 xdx
a. Bài giải:
+ đổi biến t = cos x suy ra sin xdx = −dt.
+ đổi cận x = 0 =⇒ t = 1;x = pi
2
=⇒ t = 0.
+ Do vậy
I = −
0∫
1
(1− t2)2t4dt =
1∫
0
(t8 − 2t6