Chuyên đề Sự tăng giảm tử số và mẫu số của phân số

ố giáo viên chưa khắc sâu được phương pháp giảng để nâng cao chất lượng học sinh giỏi.Với kiến thức và kinh nghiệm giảng dạy còn hạn chế tôi xin mạnh dạn đưa ra cách dạy một loại bài tập nhỏ để các thầy cô tham khảo và bổ sung góp ý làm cho tôi giảng dạy học sinh được tốt hơn dạng bài " Sự tăng giảm tử số và mẫu số của phân số” với hi vọng sẽ giúp học sinh của mình luôn ham thích học toán và học giải toán thật tốt.
Phần II: Giái quyết vấn đề.
I.Một số kiến thức cần lưu ý khi dạy dạng toán này.
 1. Để kí hiệu một phân số có tử số bằng a, mẫu số bằng b(với a là số tự nhiên và b là số tự nhiên khác o) ta viết : .
Mộu số b chỉ số phần bằng nhau được chia ra từ 1 đơn vị, tử số a chỉ số phần được lấy đi.
 - Phân số còn hiểu là thương của phép chia a : b .
2. Mỗi số tự nhiên a có thể coi là một phân số có mẫu số bằng 1: a = .
3. Nếu nhân cả tử số và mẫu số của một phân số với một số tự nhiên khác 0 thì được phân số bằng phân số đã cho: = (n khác 0)
4. Nếu ta chia cả tử số và mẫu số của một phân số cho cùng một số tự nhiên khác 0 (gọi là rút gọn phân số ) thì được phân số bằng phân số đã cho: = (m khác 0)
5. Phân số có mẫu số 10; 100;1000;…gọi là phân số thập phân.
6. Nếu ta cộng cả tử số và mẫu số của một phân số hoặc cả tử số và mẫu số trừ đi cùng một số thì hiệu giữa tử số và mẫu số không thay đổi.
7. ; 
I.Một số bài toán cụ thể.
1. Dạng 1:Tử số và mẫu số cùng tăng hoặc cùng giảm.
 Bài 1:
 Cho phân số . Hỏi phải trừ cả tử số và mẫu số của phân số đã cho cùng một số tự nhiên nào để được phân số mới mà sau khi rút gọn được phân số ?
 Gợi ý : Ta có thể hiểu bài toán này như sau:
 ; Tìm a
Giải
Hiệu của tử số và mẫu số là:
43 - 31 = 12
Khi trừ cả tử số và mẫu số của phân số đã cho cùng một số tự nhiên thì được phân số mới có hiệu của tử số và mẫu số vẫn bằng 12.
 Vì phân số mới sau khi rut gọn bằng nên có:
 Tử số: 	
 	12
 Mẫu số:	
Hiệu số phần bằng nhau là:
11 - 5 = 6 (phần)
 Tử số của phân số mới là:
12 : 6 11 = 22
 Mẫu số của phân số mới là:
 22- 12 = 10
 Phân số mới là: 
 Số tự nhiên phải tìm là:
 43- 22 = 21 ( hoặc 31 - 10 = 21)
 Đáp số: 21
Bài 2: Cho phân số . Hỏi phải cộng thêm vào tử số và mẫu số của phân số đã cho cùng một số tự nhiên nào để được một phân số mới mà sau khi rút gọn được phân số ?
 Gợi ý : Ta có thể hiểu bài toán này như sau:
 ; Tìm a
Giải:
Hiệu của mẫu số và tử số của phân số là :
 19 - 7 = 12
Khi cộng tử số và mẫu số của phân số đã cho cùng một số tự nhiên thì được phân số mới có hiệu của mẫu số và tử số vẫn bằng 12.
 Vì phân số mới sau khi rut gọn bằng nên có:
 Tử số: 	
 Mẫu số 12
 Hiệu số phần bằng nhau là:
 3 - 2 = 1 
 Tử số của phân số mới là:
 12 x 2 = 24
 Mẫu số của phân số mới là:
 24 + 12 = 36
 Phân số mới là: 
 Số tự nhiên cần tìm là:
 24 - 7 = 17 (hoặc 36 - 19 = 17)
 Đáp số: 17
Bài 3: Cho hai phân số và . Hãy tìm phân số sao cho khi thêm vào mỗi phân số đã cho ta được hai phân số mới có tỉ số là 3?
Gợi ý: Ta có thể hiểu bài toán này như sau:
 ;Tìm phân số 
Giải:
 Hiệu số giữa hai phân số đã cho là:
 - = 
Khi cùng thêm phân số vào phân số bị trừ và phân số trừ thì hiệu của hai phân số mới vẫn bằng hiệu số của hai phân số đã cho nên vẫn bằng 
 Vì tỉ số giữa hai phân số mới là 3 nên phân số lớn gấp 3 lần phân số nhỏ. Vì vậy bằng mấy lần phân số nhỏ 
 3 - 1 = 2 (lần)
 Phân số nhỏ:
 : 2 = 
 Phân số cần tìm là:
 - = 
 Thử lại: Phân số lớn là:
 x 3 = - = 
 Đáp số: = 
Bài 4: Cho hai phân số và . Hãy tìm phân số sao cho đem mỗi phân số đã cho trừ đi phân số thì ta được hai phân số có tỉ số là 5.
 Gợi ý: Ta có thể hiểu bài toán này như sau:
 ; Tìm phân số 
Giải:
Hiệu của hai phân số đã cho là:
 - = 
 Nếu đem mỗi phân số đã cho trừ đi phân số thì hiệu của hai phân số đã cho vẫn không thay đổi. Vậy hiệu của hai phân số mới là .
 Do tỉ số của hai phân số là 5 nên ta có sư đồ:
 Phân số lớn mới : 
 Phân số bé mới : 	 
Hiệu số phần bằng nhau của hai phân số mới là:
 5 - 1 = 4 (phần)
 Phân số lớn mới là:
 : 4 x 5 = 
 Phân số cần tìm là :
 - = 
 Đáp số: 
Cách giải dạng 1: Giải bằng phương pháp Hiệu - Tỉ
 Bước 1: Tìm hiệu giữa tử số và mẫu số hoặc ngược lại (vì khi ta cùng tăng 	hoặc cùng giảm đi một số thì hiệu luôn không thay đổi) 
 Bước 2: Xác định tỉ số.
 Bước 3: Trình bày lời giải và phép tính.
 2.Dạng 2: Tăng tử số và giảm mẫu số hoặc giảm tử số và tăng mẫu số.
 Bài 5 : Cho phân số .Hãy tìm một số tự nhiên sao cho khi lấy tử số của phân số đã cho trừ đi số đó và lấy mẫu số của phân số đã cho cộng với số đó thì được phân số mới mà sau khi rút gọn được phân số ?
 Gợi ý: Ta có thể hiểu bài này như sau:
 = = ; Tìm a
Giải:
Khi ta lấy tử số của phân số đã cho trừ đi một số tự nhiên và lấy mẫu số của phân số đã cho cộng với số tự nhiên đó thì tổng của tử số và mẫu số của phân số mới vẫn bằng tổng của tử số và mẫu số của phân số đã cho.
Tổng của tử số và mẫu số của phân số đã cho là.
 19 + 3 = 22
 Vì mphân số mới sau khi rút gọn được phân số nên có:
 Tử số : 22
 Mẫu số:
Tổng số phần bằng nhau là:
 2 + 9 = 11 (phần)
 Tử số của phân số mới là:
 22 : 11 2 = 4 
 Mẫu số của phân số mới là:
 22 - 4 = 8
 Phân số mới là: 
 Số tự nhiên phải tìm là:
 19 - 4 = 15 (hoặc 18 - 3 = 15)
 Đáp số : 15
Bài 6: cho phân số . Hãy tìm một số tự nhiên sao cho khi lấy tử số của phân số đã cho cộng với số đó và lấy mẫu số của phân số đã cho cộng với số đó thì được phân số mới sau khi rut gọn được phân số ?
Gợi ý:Ta có thể hiểu bài toán này như sau:
 = ; Tìm a
Giải
 Khi ta lấy tử số của phân số đã cho cộng với một số tự nhiên và lấy mẫu số của phân số đã cho trừ đi số tự nhiên đó thì tổng của tử số và mẫu số của phân số mới vẫn bằng tổng của tử số và mẫu số của phân số đã cho.
Tổng của tử số và mẫu số của phân số đã cho là:
 3 + 37 = 40
 Tổng số phần bằng nhau là:
 1 + 7 = 8 (phần)
 Tử số của phân số mới là:
 40 : 8 1 = 5
 Mẫu số của phân số mới là:
 40 - 5 = 35
 Phân số mới là: 
 Số tự nhiên phải tìm là:
 5 - 3 = 2 (hoặc 37 - 35 = 2)
 Đáp số : 2
Bài 7: (Tăng tử số và giảm mẫu số đi một số lần)
 Tìm một phân số biết rằng nếu gấp tử số của nó lên 2 lần và đồng thời giảm mẫu số của nó đi 3 lần thì được một phân số mới hơn phân số bàn đầu đơn vị.
Gợi ý:Ta có thể hiểu bài toán này như sau:
 ; Tìm 
Giải
 Nếu gấp tử số lên 2 lần và giảm mẫu số đi 3 lần suy ra phân số mới gấp 2 x 3 = 6 (lần) phân số ban đầu.
 Phân số ban đầu: 
 Phân số mới :
Phân số ban đầu là :
 : 5 = 
 Đáp số: 
Bài 8 : Cho hai phân số và . Hãy tìm phân số sao cho khi thêm vào và bớt ở thì được hai phân số mới có tỉ số là 3?
Ta có thể hiểu bài toán này như sau:
 ; Tìm 
Giải:
Tổng của hai phân số đã cho là:
 + = 
Khi thêm vào và bớt ở thì tổng của hai phân số không thay đổi nên vẫn bằng .
Hai phân số có tỉ số là 3 nghĩa là phân số lớn bằng 3 lần phân số nhỏ.
 Vậy phân số nhỏ là :
 : (3 + 1) = 
 Phân số cần tìm là :
 - = = 
 Đáp số: = 
Cách giải dạng 2: Giải bằng phương pháp Tổng - Tỉ
 Bước 1: Tìm tổng giữa tử số và mẫu số (vì khi ta tăng và giảm mẫu số hoặc giảm tử số và tăng mẫu số cùng một số thì tổng luôn không thay đổi) 
 Bước 2: Xác định tỉ số.
 - Tử giảm, mẫu tăng lên một số lần hoặc ngược lại.
 Bước 3: Trình bày lời giải và phép tính.
 3.Dạng 3: Tăng (giảm) tử số hoặc tăng (giảm) mẫu số. 
Bài 9: (Giảm mẫu số)
 Cho phân số = . Nếu bớt Y đi 21 đơn vị và giữ nguyên X thì được phân số mới có giá trị bằng . Tìm ?
Giải:
 Theo bài ra ta có : = (1)
 = (2)
Từ (1) và (2) Nếu coi x = 7 phần bằng nhau thì y = 13 phần còn y – 21 bằng 10 phần như thế.
 Giá trị một phần là: 21 : 3 = 7 	x = 49 ; y = 91 = 
 Đáp số : = 
Bài 10(Tăng tử số ): 
Cho phân số = . Nếu tử số cộng thêm 28 đơn vị và giữ nguyên mẫu số thì được phân số mới có giá trị bằng . Tìm ?
Giải
 Theo bài ra ta có:
 - = - 
 = 
 b = 115 
 = 
 Đáp số : = 
Bài 11(giảm mẫu số) 
Một phân số sẽ thay đổi như thế nào khi mẫu số giam đi của nó và tử số không thay đổi.
Giải:
 Gọi phân số phải tìm là 
Mẫu số giảm đi của nó tức là giảm đi .
 Phân số mới sẽ có mẫu số là 
 b - = 
 Phân số mới sẽ là = 
 Gấp phân số ban đầu nghĩa là lớn hơn phân số ban đầu của nó.
 Vậy khi cho mẫu số của một phân số giảm của nó và tử số không thay đổi thì phân số mới gấp phân số ban đầu. 
Bài 12(tăng tử số)
 Một phân số sẽ thay đổi như thế nào khi tử số tăng lên của nó và mẫu số không thay đổi.
Giải :
 Gọi phân số phải tìm là 
Tử số tăng lên của nó tức là tử số tăng lên 
 Phân số mới sẽ có tử số là:
 a + = 
 Phân số mới sẽ là : 
 = = x 
 Gấp phân số ban đầu.
 Vậy khi tử số của một phân số tăng của nó và mẫu số không thay đổi thì phân số đó gấp phân số ban đầu.
Bài 13(Tăng thêm tử số và gấp mẫu số lên một số lần)
 Tìm phân số có mẫu số bằng 7. Biết rằng khi cộng tử số với 16 và nhân mẫu số với 5 thì giá trị phân số đó không thay đổi?
Giải:
Gọi phân số phải tìm có dạng .
 Theo bài ra ta có : = = a + 16 = a 5 
 a 4 = 16
 a = 4
 Vậy phân số phải tìm là : 
Bài 14: Thương của hai số thay đổi như thế nào nếu ta nhân số bị chia với 75% và số chia với 25%?Tại sao?
Giải:
 - Khi nhân số bị chia với 75% hay nhân với thì thương số được gấp lên . (1)
 - Khi ta nhân số chia với 25% hay nhân với thì thương số sẽ giảm đi . (2)
 Từ (1) và (2) suy ra thương mới tăng lên : = 3 (lần)
Cách giải dạng 3: Giải bằng phương pháp Lập biểu thức.
	 Bước 1: Lập biểu thức.
 Bước 2: biến đổi biểu thức để suy ra kết quả.
 4.Gắn với yếu tố thực tế, gắn với bài toán về tính tuổi,gắn yếu tố hình học.
Bài 15: Số con gà bằng số con vịt. Nếu mua thêm 36 con gà nữa thì số con gà số con vịt.Tính số con gà và số con vịt lúc đầu?
Giải:
Giải theo bài 10.
Bài 16: Hiện nay tỷ số giữa tuổi em và tuổi anh là . Sau 14 năm nữa thì tỉ số giữa tuổi em và tuổi anh là . Tính tuổi của mỗi người hiện nay?
Giải:
Chú ý: Hiệu số tuổi anh và tuổi em luôn không thay đổi theo thời gian.
Bài 17: Tính diện tích hình chữ nhật có chiều dài gấp rưỡi chiều rộng. Nếu tăng chiều rộng thêm 3 m và giữ nguyên chiều dài thì được hình vuông.
Giải
Giải theo bài 10
Tóm lại: Mô hình dạng toán này:
Phân số ban