Chuyên đề Số phức và các bài toán liên quan - Đặng Thành Nam

 đề: Số phức và các bài toán liên quan 
16 
Dang Thanh Nam 
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam 
1.25. Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn 22z z z  
1.26. Tính modul của số phức z, biết      2 1 1 1 1 2 2z i z i i       
1.27. Tìm số phức z thỏa mãn  2 10z i   và . 25z z  
1.28. Tìm số phức z biết 5 3 1 0iz
z

   
1.29. Tìm số phức z thỏa mãn 2z  và 2z là số thuần ảo 
1.30. Tìm số phức z thỏa mãn 
2
2 8zz z
z

  
1.31. Tìm số phức z thỏa mãn 4 3 7 2z i z i
z i
 
 

. 
1.32. Tìm số phức z thỏa mãn      
2
21 2 3 1
. 2
i z i
i
i z i
 
  

. 
1.33. Cho số phức z thỏa mãn 4
1
z i
z
 

. Tính modul của số phức  1 1 i z  
1.34. Tìm số phức z thỏa mãn 1 2 2z i z i     và 1
1
z
z


 là số thuần ảo 
1.35. Cho z thỏa mãn 1 1z
z
  . Tính 2012 2012
1z
z
 
1.36. Tìm số phức z thỏa mãn    22 1 2 1z z i i    
1.37. Tìm số phức . 5 3z z z i   
1.38. Tìm số phức z thỏa mãn 3 1z i i z   và 9z
z
 là số thuần ảo 
1.39. Tìm z thỏa mãn    211 1
1
zz i z
i

   

1.40. Tìm số z thỏa mãn 1 3z z   và 22 2z z  
1.41. Giải phương trình sau trên tập số phức 
1.1.    2 2 21 1 9 0z z z    
1.2.    2 229 11 16 3 2 0z z    
1.3.  2 2 2 7 4 0z i z i     
1.42. Tìm tất cả các số thực x thỏa mãn bất phương trình: 
 11 4 2 5xi    . 
Chuyên đề: Số phức và các bài toán liên quan 
17 
Dang Thanh Nam 
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam 
 2
1 7 log 1
4
i x   
 2
1 2 2
1 log 0
2 1
x i    
  
 
1.43. Giải phương trình    3 22 3 3 1 2 9 0z i z i z i      biết rằng phương trình có một 
nghiệm thuần ảo. 
1.44. Giải phương trình    3 23 2 16 2 0z i z i z i       biết rằng phương trình có một 
nghiệm thực. 
1.45. Giải phương trình    3 22 1 4 1 8 0z i z i z i      . 
1.46. Giải phương trình    2 2 3 10z z z z    . 
1.47. Giải phương trình 5 4 3 2 1 0z z z z z      . 
1.48. Giải phương trình  10 52 2 0z i z i     . 
1.49. Giải phương trình   4 25 1 1z z z z    . 
1.50. Giải phương trình 
212
7
zz
z
    
, biết 3 4z i  là một nghiệm của phương trình. 
1.51. Gọi 1 2 3 4, , ,z z z z là bốn nghiệm của phương trình 
4 3 22 6 8 8 0z z z z     . Tính tổng 
4 4 4 4
1 2 3 4
1 1 1 1S
z z z z
    . 
1.52. Giải phương trình 
24 45 6 0z i z i
z i z i
             
. 
1.53. Giải phương trình 
3
8z i i
i z
    
. 
1.54. Giải phương trình  32 8z z i  . 
1.55. Giải phương trình 
3 2
1 0z i z i z i
z i z i z i
                
. 
1.56. Giải phương trình 
3 2 2 1 1 0
1 2
z i z iz i
i i
         
. 
Chuyên đề: Số phức và các bài toán liên quan 
18 
Dang Thanh Nam 
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam 
1.57. Tìm số phức z thỏa mãn 
 23 3
3 0
1 2 1
z zz z z z
i i i
  
    
  
. 
Dạng 3: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ẨN PHỨC 
Sử dụng các phương pháp giải hệ phương trình thông thường( Xem chuyên đề hệ phương trình) 
vào giải hệ nghiệm phức, bài toán dạng này dễ hơn giải hệ hữu tỷ hay vô tỷ chỉ có khác là nó có 
nghiệm phức. 
BÀI TẬP MẪU 
Bài 1. Giải hệ phương trình 1 2
2 2
1 2
4
5 2
z z i
z z i
  

  
Lời giải: 
 
1 21 2 1 2
22 2
1 21 2 1 2 1 2
44 4
5 55 2 2 5 2
z z iz z i z z i
z z iz z i z z z z i
        
   
         
Suy ra 1 2,z z là hai nghiệm của phương trình:  2
2 3
4 5 5 0
2 3
z i
z i z i
z i
 
        
Từ đó suy ra hệ phương trình có hai nghiệm là      1 2; 2 3 ;2 3 ; 2 3 ;2 3z z i i i i     . 
Bài 2. Giải hệ phương trình 
2 2
w w 8
w 1
z z
z
  

  
Lời giải: 
Hệ phương trình tương đương với: 
   2 22 2
w w 8 w =8 ww w 8
w 1 w 2 1 8 w 2 1
z z z zz z
z z zw z zw
         
   
             
Chuyên đề: Số phức và các bài toán liên quan 
19 
Dang Thanh Nam 
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam 
w 5 5 3 3 5 3 3; ww 3 2 2
w 3 3 14 3 14;w
w 5 2 2
z i izz
z
z
z
                   


Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là   5 3 3 5 3 3 3 14 3 14; w ; ; ;
2 2 2 2
i iz
      
       
   
  . 
Bài 3. Giải hệ phương trình 
 
 3 3
w 3 1
w 9 1
z i
z i
  

   
Lời giải: 
Hệ phương trình tương đương với: 
 
     
 
3
w 3 1 w 3 1
w 5w 3 w 9 1
z i z i
z iz zw z i
      
  
      
Suy ra , wz là nghiệm của phương trình:  2
2
3 1 5 0
1 2
x i
x i x i
x i
 
       
Từ đó suy ra hệ phương trình có hai nghiệm là      ; w 2 ;1 2 ; 1 2 ;2z i i i i     . 
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 
Giải các hệ phương trình sau trên tập số phức: 
1.1. 
3 2
1 1 17 1
26 26
x y i
i
x y
  

   

1.2. 
3 3
1
2 3
x y
x y i
 

   
1.3. 1 2
2 2
1 2
4
5 2
z z i
z z i
  

  
1.4. 1 2
2 2
1 2 1 2
2
4 0
z z i
z z z z
 

  
Chuyên đề: Số phức và các bài toán liên quan 
20 
Dang Thanh Nam 
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam 
1.5. 
 
3 5
1 2
42
1 2
0
. 1
z z
z z
  


CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MODUL CỦA SỐ PHỨC 
Phương pháp: Đặt z a bi  , ta tìm được hệ điều kiện giữa ,a b giải ra tìm được a và b từ đó 
suy ra số phức cần tìm. 
BÀI TẬP MẪU 
Bài 1. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau 
1 2 2z i z i     và 5.z i  
Lời giải: 
Giả sử số phức z a bi  , từ giả thiết ta có 
   
 
       
 
2 2 2 2
22
1 2 2 1 1 2 2 1
1 5 1 5
x y i x y i x y x y
x y i x y
                
       
 22
2
3 1 5
3 63 1 5
5
xy x x
yx x y
     
    
      

Vậy có 2 số phức thỏa mãn 
Bài 2. Cho số phức: 
 
,
1 2
i mz m
m m i

 
 
 . 
Tìm m để 1.
2
z z  
Tìm m để 1
4
z i  
Tìm m để số phức z có modun lớn nhất. 
Chuyên đề: Số phức và các bài toán liên quan 
21 
Dang Thanh Nam 
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam 
Lời giải: 
1. Ta có 
  
 
2
22 2 2
1 2
1 2 1 4
i m m mii mz
m mi m m
  
 
   
 
 
2 2
2 2 22
(1 ) 1 1
1 11
m m m i m i
m mm
  
  
 
2 2
1
1 1
mz i
m m
  
 
Vậy 
 
2
2
22
1 1 1 1. 1.
2 2 21
mz z z m
m

       

2. 
2
2 2 2 2
1 1 1 11
4 1 1 4 1 1 4
m m mz i i
m m m m
              
     
2 4 2
2 2 22 2
1 1 1 1 .
16 161 15 151 1
m m m m
mm m
        
 
3. Ta có 
 
2
2 22
1 1 1.
11
mz
mm

  

 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 0.m  
Bài 3. Cho số phức z thỏa mãn 2 4 5.z i   Tìm số phức có modun lớn nhất, modun nhỏ 
nhất. 
Lời giải: 
Giả sử số phức z x yi  , khi đó theo giả thiết ta có 
     2 22 4 5 2 4 5 2 4 5z i x y i x y             
Đặt 2 5 sin , 4 5 osx y c     
Vậy      2 22 5 sin 4 5 os 25 4 5 sin 2cosz c          
Theo bất đẳng thức Cauchy – Schawars ta có 
Chuyên đề: Số phức và các bài toán liên quan 
22 
Dang Thanh Nam 
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam 
     2 2 2sin 2cos 1 4 sin os 5 5 sin 2cos 5
5 3 5.
c
z
              
  
min
1 25 sin 2cos 5 sin , os 1; 2 1 2 .
5 5
z c x y z i                    
max
1 23 5 sin 2cos 5 sin , os 3; 6 3 6 .
5 5
z c x y z i                
Bài 4. Trong các số phức thỏa mãn 2 4 2z i z i    . Tìm số phức có mođun nhỏ nhất. 
Lời giải: 
Giả sử số phức z x yi  , khi đó theo giả thiết ta có 
   2 4 2 2 4 2z i z i x y i x y i           
     2 2 222 4 2 4 0 4 .x y x y x y y x              
Ta có:    2 22 2 2 24 2 8 16 2 8 2 2.z x y x x x x x            
min
2 2 2, 2 2 2 .z x y z i       
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 
1.1. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời 1 1z
z i



 và 3 1
2
z i
i



1.2. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời   2z z i  là số thực và 2 1A z i z    đạt 
giá trị nhỏ nhất. 
1.3. Tìm số phức z có modul bằng 1 và modul của  2 3z i  nhỏ nhất. 
1.4. Tìm số phức z thỏa mãn 3 4 1z i   và modul của  2 7 24z i  đạt giá trị nhỏ nhất. 
1.5. Tìm số phức z thỏa mãn 1 1z i   và 2 21 2 5 4A z i z i      đạt giá trị nhỏ nhất. 
Chuyên đề: Số phức và các bài toán liên quan 
23 
Dang Thanh Nam 
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam 
1.6. Cho số phức z thỏa mãn 2 4100 15
3 4
z iz
z i
 
 
 
. Tìm số phức z có phần thực lớn nhất. 
1.7. Cho hai số phức 1 2,z z thỏa mãn  
1 2 2
1 2
1 2 1
, 0
3
z z z
z z
z z z
  

 
. Tính 
 
4
4 4
1 2
1 2
1 1A z z
z z
 
   
 
. 
1.8. Tìm hai số phức 1 2, 0z z  thỏa mãn 
1
2
2
1
1 1 2
1 1 3
2 2
z i
z
iz
z
   

   

TÌM TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC 
Phương pháp: 
Giả sử z x yi  , thay vào giả thiết ta tìm được một mối liên hệ giữa x và y . Từ đó suy ra hệ 
tập hợp điểm biểu diễn số phức z. 
BÀI TẬP MẪU 
Bài 1. Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn 
3z
z i


. 
3 4z z i   . 
4.z i z i    
Lời giải: 
Giả sử số phức z x yi  
1. Ta có:   22 2 23 9 1z z z i x y x yz i          
2
2 9 9 .
8 64
x y     
 
Chuyên đề: Số phức và các bài toán liên quan 
24 
Dang Thanh Nam 
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam 
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn âm 90;
8
I   
 
, bán kính 3.
8
R  
2.    2 22 23 4 3 4 6 8 25 0.z z i x y x y