Chuyên đề Số nguyên

SỐ NGUYÊN
Tập hợp số nguyên Z gồm các số tự nhiên và các số -1, -2, -3, ...
Ta xác định thứ tự trên Z như sau: 
 a < b khi và chỉ khi điểm a nằm bên trái điểm b trên trục số (a, b ∈ Z).
Ta xác định trên Z hai phép toán: Phép cộng và phép nhân. Phép cộng có bốn tính chất: giao hoán, kết hợp, cộng với 0, cộng với số đối. Phép nhân có ba tính chất: giao hoán, kết hợp, nhân với 1.
Giữa phép nhân và phép cộng có quan hệ: Phép nhân phân phối đối với phép cộng. Giữa thứ tự và phép toán có quan hệ:
	a < b a + c < b + c
a 0 và a > ba.c > b.c với c < 0
Trừ đi một số là cộng với số đối của số trừ. Phép trừ hai số nguyên bao giờ cũng thực hiện được.
Phép chia chỉ thực hiện được trong phạm vi số nguyên khi số bị chia chia hết cho số chia.
Trong trường hợp a chia hết cho b, ta nói a là bội của b và b là ước của a. Ước chung (Hoặc bội chung) của hay nhiều số là ước của (Hoặc bội) của tất cả các số đó.
A. THỨ TRÊN TẬP HỢP SỐ NGUYÊN TỰ :
Bài 1. Điền vào chỗ trống (...) các từ “nhỏ hơn” hoặc “lớn hơn” cho đúng:
a. Mọi số nguyên dương đều ...số 0.
b. Mọi số nguyên âm đều ... số 0.
c. Mỗi số nguyên dương đều ... mọi số nguyên âm.
d. Trong hai số nguyên dương, số nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn thì số ấy ...
e. Trong hai số nguyên âm số nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn thì số ấy ...
Bài 2. Hãy tìm:
a.Số nguyên dương có hai chữ số.
b. Số nguyên âm lớn nhất có hai chữ số.
Bài 3. Tính biết rằng:
a. a = 3, b = 7
b. a = 5, b = -6
c. a = 5, b = -5
Bài số 4. Cho số nguyên a. Hãy điền vào chỗ trống các dấu ≫, ≪, >, <, = để các khẳng định sau đúng:
a. ...a với mọi a; b. ...0 với mọi a.
c. Nếu a > 0 thì a ... d. Nếu a = 0 thì a ... 
d. Nếu a < 0 thì a ... .
Bài 5. Các khẳng định sau có đúng với mọi số nguyên a, b hay không ? cho ví dụ.
a. 
b. a > b 
B. CỘNG VÀ TRỪ CÁC SỐ NGUYÊN:
Ví dụ: Tìm số nguyên x, biết rằng 10 = 10 + 9 + 8 + ...+ x, trong đó vế phải là tổng của các số nguyên liên tiếp viết theo thứ tự giảm dần.
Trả lời:
 0 = 9 + 8 + ...+ x (1)
 , với n là số số hạng bên vế phải của (1)
 Ta có n ≠ 0, nên 9 + x = 0, do đó x = - 9
Bài tập.
Bài 1. Tìm tổng của số nguyên âm nhỏ nhất có một chữ số và số nguyên dương lớn nhất có một chữ số.
Bài 2. Điền vào chỗ trống cho đúng:
a.Số đối của một số nguyên âm là một số ...
b. Hai số nguyên đối nhau thì có giá trị tuyệt đối ...
c. Hai số nguyên có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì ...
d. Số ... thì nhỏ hơn số đối của nó.
e. Nếu a ... thì – a > 0.
g. Nếu a < 0 thì = ...
h. Nếu a < 0 thì a + = ...
Bài 3.Tìm số nguyên x, biết rằng:
a.x + 13 = 5 b. x – 1 = - 9
c. 25 - = 10 d. 
e. x + 4 là số nguyên dương nhỏ nhất.
g. 10 – x là số nguyên âm lớn nhất.
Bài 4. 
a.Cho bảng vuông 3x3 ô như hình dưới đây. Điền các số vào ô trống sao cho tổng các số ở ba dòng một, hai, ba lần lượt bằng - 5, 11, 1. Tính tổng các số ở mỗi cột.
-8
7
5
9
5
-6
b. Cho bảng vuông 3x3 ô. Có thể điền được hay không chín số nguyên vào chín ô của bảng sao cho tổng các số ở ba dòng lần lượt bằng 5, -3, 2 và tổng các số ở ba cột lần lượt bằng -1, 2, 2 ?
Bài 5. Tìm số nguyên x, biết rằng:
x + (x + 1) + (x + 2) + ... + 19 + 20 = 20, trong đó vế trái là tổng các số nguyên liên tiếp viết theo thứ tự tăng dần.
Bài 6. Tìm các số nguyên a, b, c biết rằng: a + b = 11, b + c = 3, c + a = 2.
Bài 7. Tìm các số nguyên a, b, c, d biết rằng:
 a + b+ c + d = 1
 a + c + d = 2
 a + b + d = 3
 a + b + c = 4
Bài 8. Cho và 
 . Tính 
C. NHÂN CÁC SỐ NGUYÊN:
VD1: 
a.Cho bảng sau: Tìm tích các số ở mỗi dòng, mỗi cột.
5
2
-4
-2
-4
-3
-6
5
7
b. Viết chín số nguyên khác 0 vào một bảng vuông 3x3 ô. Biết rằng tích các số ở mỗi dòng đều là số âm. Chứng minh rằng luôn tồn tại một cột mà tích các số trong cột ấy là số âm.
Trả lời:
a. Tích các số ở mỗi dòng trong bảng:
 5.2.(-4) = -40; (-2).(-4).(-3) = -24; (-6).5.7 = -210
 Tích các số ở mỗi cột bằng:
 5.(-2).(-6) = 60; 2.(-4).5) = -40; (-4).(-3).7 = 84
b. Chứng minh bằng phản chứng:
 Giả sử trong cả ba cột, tích các số ở mỗi cột đều là số dương thì tích chín số của bảng là số dương (1).
Theo đề bài tích các số ở mỗi dòng đều là số âm nêm tích chín số của bảng là số âm, mâu thuẫn với (1).
* Vậy phải tồn tại một cột mà tích các số trong cột ấy là số âm.
VD2: Thay các dấu * trong biểu thức 1*2*3 bằng dấu các phép tính cộng, trừ, nhân và thêm các dấu ngoặc để được kết quả là số lớn nhất, số nhỏ nhất.
Trả lời:
Có hai cách đặt dấu ngoặc:
a.(1*2)*3. Xét mọi khả năng thì giá trị lớn nhất là (1 + 2 ).3 = 9, giá trị nhỏ nhất là (1 – 2) - 3 = -4
b.1*(2*3). Trường hợp này giá trị lớn nhất là 1 + 2.3 = 7, giá trị nhỏ nhất là 1 – 2.3 = - 5
Như vậy giá trị lớn nhất là 9 và giá trị nhỏ nhất là -5.
Bài tập.
Bài 1. Thực hiện các phép tính sau một cách nhanh chóng:
a. (-14).(-125).(+3).(-8).
b. (-127).57 + (-127).43.
c. (-13).34 - 87.34.
d. (-25).68 + (-34).(-250).
e. A = 1 – 2 + 3 – 4 + ...+ 99 - 100.
g. B = 1 + 3 – 5 – 7 + 9 + 11 - ...- 397 – 399.
h. C = 1 – 2 – 3 + 4 + 5 – 6 - 7 + ... + 97 – 98 – 99 + 100.
i. D = 2 100 – 299 – 298 - ... -22 – 2 – 1.
Bài 2. Thay các dấu * trong biểu thức 1*2*3*4 bằng dấu các phép tính cộng, trừ, nhân và thêm các dấu ngoặc để được kết quả là: Số lớn nhất, số nhỏ nhất.
Bài 3. Tìm số nguyên x sao cho:
a. (x – 1)2 = 0.
b. x(x – 1) = 0.
c. (x + 1)(x – 2) = 0.
Bài 4. Cho dãy số trong đó (k ∈ N, k ≫ 3). Tính 
D. TÍNH CHIA HẾT TRÊN TẬP HỢP SỐ NGUYÊN:
VD: Số 36 chia cho số cho số nguyên a rồi trừ đi số nguyên a. Lấy kết quả này chia cho a rồi trừ đi a. Lại lấy kết quả này chia cho a rồ trừ đi a, cuối cùng ta được số - a. Tìm số a.
Trả lời:
Ta lần lượt được:
Do a ∈ Z nên a2 là ước của 36. Ta có:
a2
1
4
9
36
a + 1
36
9
4
1
a
35
8
3
0
So sánh a và a2 trong bảng, ta chọn được a = 3.
Bài tập.
Bài 1. Tìm các số nguyên x và y, biết rằng:
a.(x + 2)(y – 3) = 5.
b.(x + 1)(xy – 1) = 3.
Bài 2. Tính tổng A và B biết rằng A là tổng các số nguyên âm lẻ có hai chữ số, B là tổng các số nguyên dương chẵn có hai chữ số.
Bài 3. Cho A = 2 – 5 + 8 – 11 + 14 - 17 + ...+ 98 – 101.
a. Viết dạng tổng quát số hạng thứ n của A.
b. Tính giá trị của biểu thức A.
Bài 4. Cho A = 1 + 2 – 3 – 4 + 5 + 6 - ... – 99 – 100.
a. A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ?
b. A có bao nhiêu ước nguyên, có bao nhiêu ước tự nhiên ?
Bài 5. Cho dãy số 1; - 3; 5; -7; 9; -11; 13; -15; 17; -19.
Có thể tìm được hay không năm số trong các số trên, sao cho đặt dấu “+” hoặc dấu “-“ nối các số đó với nhau, ta được kết quả bằng:
15 ? b. 20 ?	 
Bài 6. Thay các dấu * trong biểu thức 1*2*3*4*5*6*7*8*9 bởi các dấu “+” hoặc dấu “-“ để giá trị của biểu thức bằng:
– 13 b. – 4
Bài 7. Tìm các số nguyên n, sao cho:
a. n + 5 chia hết cho n – 2.
b. 2n + 1 chia hết cho n – 5.
c. n2 + 3n – 13 chia hết cho n + 3.
d. n2 + 3 chia hết cho n – 1.