Chuyên đề Số học bồi dưỡng học sinh giỏi

 với n N, n lẻ và a-b
c/ 	( a+ b+ c)2 = 
d/ 	
6/ Định lý BRu ( mở rộng chia hết trong đa thức ) 
Nếu f(x) có nghiệm là x0 thì f(x) = ( x-x0)g(x) họăc f(x) ( x-x0).
Nói cách khác f(x) (x- a) khi f(a) = 0
CHÚ Ý:a/ Nếu tổng các hệ số của đa thức f(x) bằng 0 thì f(x) có nghiệm bằng 1 . Hay f(x) (x-1)
b/ Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì f(x) có nghiệm x = -1 . Hay f(x) (x+1)
7/ CHIA HẾT – CHIA CÓ DƯ :
Ngòai các điều kiện chia hết học ở lớp 6 , ta cần nhớ thêm các điều kiện sau:
+ Mọi số chẵn đều chia hết cho 2
+ ĐK chia hết cho 4 ( họăc 25) : Số có 2 chữ số tận cùng lập thành một số có 2 chữ số chia hết cho 4 (hoặc 25) thì số ấy chia hết cho (4 họăc 25).
+ ĐK chia hết cho 8 ( họăc 125) : số có 3 chữ số tận cùng lập thành một số có 3 chữ số chia hết cho 8 (hoặc 125) thì số ấy chia hết cho 8 (hoặc 125)
+ Tích 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8
+ Với a,b Z ; b 0 luôn tồn tại một cặp số nguyên q, r sao cho < ). Ta gọi r là số dư , q là thương trong phép chia a cho b
+ Định lý BRu mở rộng ( Tham khảo) : Phần dư của phép chia f(x) cho nhị thức 
g(x) = x-a là một hằng số bằng giá trị của f(a) 
 + Lược đồ Hooc-Ne ( Tính hệ sốø của đa thương và dư trong phép chia 
Đa thức f(x) = cho nhị thức 
an
an-1
an-2
…
a1
a0
bn=an
…
( Dòng thứ 2 : giá trị ở ô cuối cùng là số dư, giá trị ở mỗi ô còn lại là hệ số của đa thức thương)
+ Tam giác PASSCAN:	 1
1	2	1
1	3	3	1
1	4	6	4	1
1	5	10	10	5	1
1	6	15	20	15	6	1
1	7	21	35	35	21	7	1
1	8	28	56	70	56	28	8	1
( Các số ở mỗi dòng của tam giác ứng với các hệ số trong khai triển các lũy thừa của một tổng 2 số hạng)
8/ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ NGUYÊN :
f(x) = 
Nếu cĩ nghiệm hữu tỷ thì : p là ước của an () và q là ước của a0 ()
Nếu cĩ nghiệm nguyên x = a thì a là ước của an 
Nếu f(x) cĩ nghiệm x = a thì (x- a ) là một nhân tử của f(x)
* VD1- Phân tích đa thức: f(x) = x3 – x2 +4 thành nhân tử ( CMR : x3 – x2 +4 chia 
hết cho x2+x+2)
+nghiệm nguyên nếu có của f(x) thì x = 
+ Thử lại ta có x = 2 là nghiệm .
 Vậy ( )
+ x2+x+2 có = -7 < 0 ( VN)
* VD2 phân tích f(x) = 3x3 + 7x2 + 17x -5 thành nhân tử
Nghiệm nguyên nếu có của đa thức thì x 
Nghiệm hữu tỷ nếu có của đa thức thì x 
Thử lại ta có là nghiệm . do x2-2x +5 VN
9/ Phương trình bậc hai : 
Cĩ biệt thức : 
* < 0 phương trình vơ nghiệm.
* = 0 tphương trình cĩ nghiệm kép 
* > 0 phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt: 
VD- 3x2 – 8x + 4 = 0
10/ phương pháp chứng minh bằng quy nạp: f(x) = a
* CM f(x) đúng với x = 1
* Giả sử f(x) đúng với x = n 
* Chứng minh f(x) luôn đúng với x = n+1
 VD
 I-PHÉP CHIA HẾT
BÀI 1: 1, Cho biểu thức: A = 
a, Tìm các số nguyên n để biểu thức A là phân số.
b, Tìm các số nguyên n để biểu thức A là số nguyên.
2, Tìm x biết:
a, x chia hết cho cả 12; 25; 30 và 0 ≤ x ≤ 500
b, (3x – 24). 73= 2. 74
c, 
3, Bạn Hương đánh số trang sách bằng các số tự nhiên từ 1 đến 145. Hỏi bạn Hương đã dùng bao nhiêu chữ số ? Trong những chữ số đã sử dụng thì cĩ bao nhiêu chữ số 0 ?
BÀI 2: 1, Cho S = 5 + 52 + 53 + . . . . + 596 
a, Chứng minh: S 126
b, Tìm chữ số tận cùng của S
2, Chứng minh A = n(5n + 3) n với mọi n Z
3,Tìm a, b N, biết: a + 2b = 48 
 ƯCLN (a, b) + 3. BCNN (a, b) = 14
BÀI 2 :a. Chứng minh: (n Z) tối giản
b.Bạn Hương đánh 1 cuốn sách dày 284 trang bằng dãy số chẵn.
c, Bạn Hương cần bao nhiêu chữ số để đánh hết cuốn sách đĩ ?
d, Trong dãy số trên thì chữ số thứ 300 là chữ số nào ?
e, Tính:
BÀI 3: 1) Rĩt gän 
2) Cho 
Chøng minh: S < 1
3) So s¸nh: vµ 
4) T×m sè nguyªn tè P sao cho c¸c sè P + 2 vµ P +10 lµ sè nguyªn tè
5) T×m gi¸ trÞ nguyªn d­¬ng nhá h¬n 10 cđa x vµ y sao cho 3x - 4y = - 21
6 )Cho ph©n sè: 
 	a) T×m n ®Ĩ A nguyªn. 
 	b) T×m n ®Ĩ A tèi gi¶n . 
BÀI 4
1) T×m c¸c gi¸ trÞ cđa a ®Ĩ sè 
a) Chia hÕt cho 15
b) Chia hÕt cho 45
2/ Chøng minh r»ng: chia hÕt cho 27 (n lµ sè tù nhiªn).
3/ Cho 
a) Chøng minh r»ng A chia hÕt cho 3 víi mäi sè nguyªn n.
b) T×m gi¸ trÞ nguyªn d­¬ng cđa n víi n < 10 ®Ĩ A chia hÕt cho 15.
4/ Trong ®ỵt thi häc sinh giái cÊp tØnh cã kh«ng qu¸ 130 em tham gia. Sau khi chÊm bµi thÊy sè em ®¹t ®iĨm giái chiÕm , ®¹t ®iĨm kh¸ chiÕm , ®¹t ®iĨm yÕu chiÕm tỉng sè thÝ sinh dù thi, cßn l¹i lµ ®¹t ®iĨm trung b×nh. 
TÝnh sè häc sinh mçi lo¹i.
BÀI 5:
1/ Cho 
a) TÝnh tỉng A.
b) Chøng minh r»ng .
c) A cã ph¶i lµ sè chÝnh ph­¬ng kh«ng ? V× sao ?
2) T×m n Ỵ Z ®Ĩ 
CHUYÊN ĐỀ TÍNH TỔNG
Bài 1: 
a. Cho n là một số nguyên dương. Hãy so sánh:
 và 
b. Tính:
Bài 2: 
Chứng minh rằng:
 với và
VÝ dơ1(SGK-T8.Tr25)
Chøng minh r»ng: nn chia hÕt cho 6 víi mäi sè nguyªn n.
Gi¶i: 
 Ta cã nn =n.(n-1).(n+1). Trong ba sè nguyªn liªn tiÕp n,n-1,n+1 lu«n cãmét sè chia hÕt cho 2 , mét sè chia hÕt cho 3 vµ (2,3)=1 .Do ®ã nn .
 Qua bµi to¸n trªn ta thÊy nvµ n ®ång d­ khi chia cho c¸c sè 2,3 vµ6 tõ ®ã ta ®Ị xuÊt mét sè bµi to¸n t­¬ng tù nh­ sau.
Bµi1:
 Chøng minh r»ng : 	.
Gi¶i: Tacã 
 Tõ ®ã suy ra ®iỊu ph¶i chøng minh.Tỉng qu¸t ho¸ ta ®­ỵc bµi to¸n sau.
Bµi2: Chøng minh r»ng:
Bµi3: Cho A= Hái A cã chia hÕt cho 6 kh«ng?
H­íng dÈn: §Ỉt S=1+2+3+4+............+98+99. Theo bµi 2 ta cã A-S chia hÕt cho 6,trong ®ã S=. Do ®ã A.
Bµi4:(Thi häc sinh giái T.P-HCM n¨m häc 2003-2004).
Chøng minh r»ng: víi mäi sè nguyªn x,y,z.
Gi¶i: .
Theo VD1 ta thÊy c¸c h¹ng tư cđa VP ®Ịu chia hÕt cho 6, tõ ®ã suy ra ®iỊu ph¶i chøng minh.
Bµi5:
ViÕt sè thµnh tỉng cđa k sè tù nhiªn tuú ý .T×m sè d­ cđa phÐp chia cho3.
Gi¶i: §Ỉt N= vµ .
Ta cã N- ,(VD)
MỈt kh¸c chia cho 3 d­ 1, do ®ã N chia cho 3 d­ 1.
KÕt hỵp víi h»ng ®¼ng thøc ®· häc ®­ỵc ph¸t triĨn thµnh c¸c bµi to¸n thĩ vÞ sau.
Bµi 6:
Cho . Chøng minh r»ng P chia hÕt cho 6 víi mäi sè nguyªn a,b.
Gi¶i:
§Ỉt. Khi ®ã ta cã
P=.
Bµi7: Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn x,y th×:
.
Gỵi ý: §Ỉt 
	Ta cã (v× 3 lµ sè nguyªn tè).
Bµi8: Cho c¸c sè nguyªn x, y , z tho¶ m·n : x+y+z=
Chøng minh r»ng: M= chia hÕt cho 6.
Gi¶i:
§Ỉt 
Ta cã: .
Do ®ã M(theo-BT	)
 KÕt hỵp vÝ dơ 1 víi bµi to¸n t×m nghiƯm nguyªn ta cã mét sè bµi to¸n sau.
Bµi 9: T×m nghiƯm nguyªn d­¬ng cđa c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
a) (1)
b) (2)
Gi¶i:
a) (3)
DƠ thÊy VT cđa (3) chia hÕt cho 6 (theo-VD1).Nh­ng kh«ng chia hÕt cho 6,do ®ã ph­¬ng tr×nh ®· cho kh«ng cã nghiƯm nguyªn.
b) §Ỉt . Khi ®ã ph­¬ng tr×nh (2) trë thµnh : . V× 189 nªn .Tõ ®ã suy ra p+q lµ sè chÝnh ph­¬ng chia hÕt cho 3.
MỈt kh¸c .Do ®ã p+q chØ cã thĨ b»ng 9, tõ ®ã suy ra ph­¬ng tr×nh cã hai nghiƯm (x,y)=(1,2)hoỈc (2,1). Thư l¹i thÊy tho· m·n.
II-TÍNH TỔNG HỮU HẠN
 Bµi 71 trang 14 (S¸ch bµi tËp tãan 9 tËp I ) chøng minh r»ng 
 víi n lµ sè tù nhiªn.
Chøng minh : () 
 Ph¸t biĨu c¸ch kh¸c :
1. Chøng tá víi mäi sè tù nhiªn n th× (vµ ) lµ hai sè nghÞch ®¶o.
2 . (víi n lµ sè tù nhiªn)
A. Khai th¸c øng dơng bµi 71 trong tÝnh to¸n .
Bµi 1 : TÝnh 
 a. 
 b. víi n 1
 Gi¶i :
 a. 
 = 
 b. víi n 1
 = 
Bµi 2 : TÝnh
 a. A = 
 b. B = 
§Þnh h­íng : hay 
Gi¶i : 
a. A = 
 = 
 = 
 = 
 b. B = 
 B = 
 = 
 = 
 ëBµi 71, thay 1 = x N ta cã bµi to¸n 3
 Bµi 3 Chøng minh: Víi x>0,n
 Ta cã: 
Bµi4: TÝnh
 a. C = 
 b. D = 
Víi k lµ sè tù nhiªn 1
Gi¶i
a. ¸p dơng bµi 3 vµo bµi bµi 4 a. ( )-= 3 , ë ®©y x = 3
Ta cã:
 C =… +
 = 
 =
b. ¸p dơng bµi3vµo bµi bµi 4b ()- () = 2, ë ®©y x = 2 
Do ®ã ta ®­a vỊ d¹ng bµi to¸n 4a nh­ thÕ nµo ? ( Nh©n 2 vµo 2 vÕ )
 2D = 
 2D = 
 2D = D = 
 Bµi 5 : TÝnh
 a. E = 
 §Þnh h­íng : = ? 
 = . = 
 = 
 E = 
 = 1- 
Ta cã
===
B. Khai th¸c ph¹m vi øng dơng bµi tËp 71 trong viƯc so s¸nh vµ chøng minh bÊt ®¼ng thøc
Bµi 6 : Kh«ng dïng m¸y tÝnh h·y so s¸nh 
 A = vµ B = 
Gi¶i : 
 ap dơng bµi 71
 A = 
 B = 
 A < B do 
Bµi 7 : Tỉng qu¸t tõ bµi 6 ta cã : 
 víi n 1
¸p dơng bµi 71 (bµi tËp to¸n 9 tËp I) ta cã ®iỊu ph¶i chøng minh.
Bµi 8 : Thay 1 = x ë bµi 7 ta cã : Víi >1
 A = 
 B = 
 ta cã : A < B 
 tõ bµi to¸n 6 ta cã bµi to¸n sau:
Bµi 9 : So s¸nh C vµ D 
 C = 
 D = 
Víi m > n > 0 ,p > 0
 Ta cã 
 C = 
 D = 
 V× m > n C < D
*ap dơng bµi 71 chøng minh bÊt ®¼ng thøc
 Bµi 10 : Chøng minh
 a. (Víi n 1)
 b. (víi n> x 0) 
 Chøng minh
 a. 
BÊt ®¼ng thøc nµy ®· chøng minh ë bµi 7
b. 
 §· chøng minh ë bµi 8
Bµi 11 : Chøng minh : víi m -1
 Chøng minh: Víi n = 2 m +1, thay vµo bµi 10a th× ta ®­ỵc :
Bµi 12:Kh«ng dïng m¸y tÝnh vµ b¶ng sè h·y chøng tá 
 Gi¶i 
V× 0 < ( Suy ra tõ bµi 10a )
Bµi13 : a. Chøng minh r»ng víi mäi nN*
 b. Chøng minh: 
 Gi¶i
a. 
 ( Ap dơng bµi 71 trang 14 )
2> + (hiĨn nhiªn ®ĩng ) 
 b. 
 * Chøng minh : 2 (- ) <
 0 < < 
 + > 2 
 > 
 BÊt ®¼ng thøc nµy hiĨn nhiªn ®ĩng
 * Chøng minh
 0 < < 
 2> +
 > 
 BÊt ®¼ng thøc nµy hiĨn nhiªn ®ĩng
 BÊt ®¼ng thøc ®· cho ®­ỵc chøng minh
 Bµi 14 : Cho S = 1+… + 
 Chøng minh
 18 < S < 19
 Chøng minh
Áp dơng bµi 13b ta cã : 
 Thay n = 2,3,4,......100 ta cã:
 2 ( ) < < 2 ()
 2 ( ) < < 2 ()
2 ( 
 ……………………….
 2( )
 Céng vÕ víi vÕ ta cã 
1 + 2 ( )< S < 1 + 2( ++ + )
1+2 () < S < 1+2 ( )
 1+2 ( 10 -1,5 ) < S < 1+2 (10-1)
 VËy ta cã : 18 < S < 19
 Chĩ ý : Cịng cã thĨ thay ®ỉi néi dung bµi nµy nh­ sau :
 C¸ch 1: Chøng minh S kh«ng ph¶i lµ sè tù nhiªn 
 C¸ch 2: T×m phÇn nguyªn cđa S
Bµi15: So s¸nh A vµ B 
A = 2 ( ; B = 2 ( 
Áp dơng bµi 11 . víi m -1
 Cho m = 0 , 1, 2 , …,1003 ta cã:
 ……………..
 ……………..
 ……………..
Céng vÕ víi vÕ ta cã: 
)
A < B
Bµi 16 : Chøng minh r»ng : 
 1+ 	
Chøng minh : Tõ bµi 13 b ta cịng cã : 
LÇn l­ỵt cho n = 0 , 1 , 2 , 3…, 2499 ta cã
1 < 2
………………..
Céng vÕ víi vÕ ta cã:
1+
 ( §iỊu ph¶i chøng minh )
C. Khai th¸c øng dơng cđa bµi 71 trong gi¶i ph­¬ng tr×nh
Bµi 17 : Gi¶i ph­¬ng tr×nh 
 víi x 
 Gi¶i:
Bµi 18: Gi¶i ph­¬ng tr×nh :
 = 9 ( 18 )
 ( Cã 2007 sè 2 )
Gi¶i :
 Víi