Chuyên đề Phương trình và bất phương trình có chứa mũ và logarit - Đinh Quang Hòa

Chuyên đề 5: 
 PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG CÓ CHỨA MŨ VÀ LOGARÍT
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ 
1. Các định nghĩa:
 ( )
2. Các tính chất :
3. Hàm số mũ: Dạng : ( a > 0 , a1 )
Tập xác định : 
Tập giá trị : ( )
Tính đơn điệu:
 	* a > 1 : đồng biến trên 
	* 0 < a < 1 : nghịch biến trên 
Đồ thị hàm số mũ :
 0<a<1
 y=ax
 a>1
 y=ax
Minh họa:
y=2x
y=
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT
1. Định nghĩa: Với a > 0 , a 1 và N > 0
 Điều kiện có nghĩa: có nghĩa khi 
2. Các tính chất :
 Đặc biệt : 
3. Công thức đổi cơ số :
 * Hệ quả:
 và 
 * Công thức đặc biệt: 
4. Hàm số logarít: Dạng ( a > 0 , a 1 )
Tập xác định : 
Tập giá trị 
Tính đơn điệu:
* a > 1 : đồng biến trên 
* 0 < a < 1 : nghịch biến trên 
0<a<1
 y=logax
Đồ thị của hàm số lôgarít:
 a>1
 y=logax
Minh họa:
 y=log2x
5. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN:
 1. Định lý 1: Với 0 < a 1 thì : aM = aN M = N
 2. Định lý 2: Với 0 N (nghịch biến)
 3. Định lý 3: Với a > 1 thì : aM < aN M < N (đồng biến )
 4. Định lý 4: Với 0 0;N > 0 thì : loga M = loga N M = N
 5. Định lý 5: Với 0 N (nghịch biến)
 6. Định lý 6: Với a > 1 thì : loga M < loga N M < N (đồng biến)
III. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:
 1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : aM = aN 
 Ví dụ : Giải các phương trình sau :
 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số
 Ví dụ : Giải các phương trình sau :
 1) 
 2) 
 3) 
	 4) 
 5) 
 6) 
 3. Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0 ...
	 Ví dụ : Giải phương trình sau :
 1) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x 
 2) 
	 3) (
 4. Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng 
 minh nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ
 đạo hàm)
 * Ta thường sử dụng các tính chất sau:
Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b). ( do đó nếu tồn tại x0 (a;b) sao cho 
 f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C) 
Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) . ( do đó nếu tồn tại x0 (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x)) 
 Ví dụ : Giải các phương trình sau :
 1) 3x + 4x = 5x 2) 2x = 1+ 3) 	
IV. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : 
 Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1) 2) 3) ) 
2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số.
 Ví dụ : Giải các phương trình sau :
	1) 2) 	 
3. Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0 ...
 Ví dụ : Giải phương trình sau :
 4. Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh
 nghiệm duy nhất.
 (thường là sử dụng công cụ đạo hàm)
 * Ta thường sử dụng các tính chất sau:
Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b). ( do đó nếu tồn tại x0 (a;b) sao cho 
 f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C) 
Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) . ( do đó nếu tồn tại x0 (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x)) 
 Ví dụ : Giải các phương trình sau :
V. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:
 1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : aM < aN ()
 Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
 1) 
 2) 
 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.
 Ví dụ : Giải các phương trình sau :
 	 1) 4) 
 2) 5) 
 3) 6) 
VI. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ 
 DỤNG:
 1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : 
 ()
 Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
	1)	 2) 
	3)	 4) 
	5) 
 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.
 Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1) 
2)