Chuyên đề Phương trình lượng giác - THPT Yên Mô B

ỡnh đó cho: cos3x ≠ 0, cos4x ≠ 0 và cos5x ≠ 0. 
Ta cú: tan3x -2tan4x + tan5x = 0 ⇒ 
⇒ 2sin 4 cos 4 2sin 4 0
cos3 cos5 cos 4
x x x
x x x
− = 
⇒ 2sin4x.
2cos 4 cos3 cos5 0
cos3 cos 4 cos5
x x x
x x x
 −
= 
 
⇒ 2sin4x.sin2x = 0 ⇒ sin 4 0
sin 0
x
x
=
 =
⇒ 4 4
4
x k x k
x k
x k x k
ππ π
π π
= = ⇒ ⇒ = = =
 (k ∈ Z) . 
- Từ giả thiết : x ∈ (0; 2π) 802
4
020 <<⇔<<⇔<<⇔ kkx πππ 
{ }7;6;5;4;3;2;1∈⇒∈ kZk 
- Kết hợp với điều kiện cos3x ≠ 0, cos4x ≠ 0 và cos5x ≠ 0. 
Nghiệm của phương trỡnh là: 1 2 3 4 5
3 5 7; ; ; ;
4 4 4 4
x x x x xπ π π ππ= = = = = . 
Bài 4: );0( π∈xTìm thoả mãn phương trình: cotx – 1 = xx
x
x 2sin
2
1sin
tan1
2cos 2 −+
+
. 
đK: 



−≠
≠
1tan
02sin
x
x
 PT xxx
xx
xx
x
xx cossinsin
sincos
cos.2cos
sin
sincos 2 −+
+
=
−
⇔ 
 xxxxxxx
xx cossinsincossincos
sin
sincos 22 −+−=−⇔ 
 ⇔ 0)1sincos)(sinsin(cos 2 =−−− xxxxx 
 (cos )( 2 sin(2 ) 3) 04
x sinx x π⇔ − + − = 
cos 0
2 sin(2 ) 3( )
4
x sinx
x volyπ
− =
⇔
 + =

 Ta có: ( )
4
3
4
1
444
00;0 <<−⇔−<<−⇔<+<⇔<<⇔∈ kkkxx πππππππππ 
⇔ )2sin1(sinsincos xxxx −=− 
⇔ 0)32cos2)(sinsin(cos =−+− xxxx 
⇔ 0sincos =− xx ⇔ tanx = 1 )(,
4
Zkkx ∈+=⇔ ππ (tmđk) 
Đinh Xuõn Thạch – THPT Yờn Mụ B  Phương trỡnh lượng giỏc - Trang 18 
 Vì 
4
0 π=⇒=⇒∈ xkZk . Vậy trên );0( π phương trình có nghiệm: 
4
π
=x . 
Cách 2: Đặt t = tanx. 
Bài 5: Giải phương trỡnh: 
ĐK: Zmmxx
xx
x
∈+≠⇔≠⇔



≠−
≠
,
24
02cos
0cossin
02cos ππ . 
( )



=
=
⇔=−⇔
=+++−⇔
12sin
02sin
02sin2sin
02cos2sin2cossin
2
22
x
x
xx
xxxxPT
Do sin2x =1 thì cos2x = 0 nên trường hợp này loại. 
Chỉ có Zkkxx ∈=⇔= ,
2
02sin π . 
Bài 6: Giải phương trỡnh: 
Bài 7: 2 os6x+2cos4x- 3 os2x =sin2x+ 3c cGiải phương trỡnh: 
2 os6x+2cos4x- 3 os2x =sin2x+ 3c c 
⇔ 4cos5xcosx = 2sinxcosx + 2 3 cos2x 
os x=0
2cos5x =sinx+ 3 cos
c
x

⇔ 

cos 0
os5x=cos(x- )
6
x
c π
=
⇔


2
24 2
2
42 7
x k
kx
kx
π π
π π
π π
 = +

⇔ = − +


 = +

Bài 8: ( )6 68 sin 3 3 sin 4 3 3 2 9sin 2 11x cos x x cos x x+ + = − +Giải phương trỡnh: . 
Ta có: ( )6 6 23sin 1 sin 2 (1)4x cos x x+ = − . 
Thay (1) vào phương trình ta có : 
Đinh Xuõn Thạch – THPT Yờn Mụ B  Phương trỡnh lượng giỏc - Trang 19 
 ( )6 68 sin 3 3 sin 4 3 3 2 9sin 2 11x cos x x cos x x+ + = − + 
2
2
2
38 1 sin 2 3 3 sin 4 3 3 2 9sin 2 11
4
3 3 sin 4 3 3 2 6sin 2 9sin 2 3
3 sin 4 3 2 2sin 2 3sin 2 1
x x cos x x
x cos x x x
x cos x x x
 ⇔ − + = − + 
 
⇔ − = − +
⇔ − = − +
( )
( )( )
3 2 . 2sin 2 1 (2sin 2 1)(sin 2 1)
2sin 2 1 3 2 sin 2 1 0
cos x x x x
x cos x x
⇔ − = − −
⇔ − − + =
2sin 2 1 0 2sin 2 1 (2)
3 2 sin 2 1 0 sin 2 3 2 1 (3)
x x
cos x x x cos x
− = = 
⇔ ⇔ 
− + = − = 
Giải (2) : 12 ( )
5
12
x k
k Z
x k
Π = + Π
∈
Π = + Π

 ; Giải (3) 4 ( )
7
12
x k
k Z
x k
Π = + Π
∈
Π = + Π

Kết luận : 
Bài 9: 
2
4
(2 sin 2 )sin 3
os
x x
c x
−Giải phương trỡnh: tan4x +1 = . 
- ĐK: cosx ≠ 0 ⇔ sinx ≠ ± 1. 
- Ta cú phương trỡnh ⇔ sin4x + cos4x = ( 2 – sin22x)sin3x 
⇔ ( 2 – sin22x)(1 – 2 sin3x) = 0 ⇔ sin3x = 1
2
 ( do ( 2 – sin22x≥1) 
⇔ 3sinx – 4sin3x = 1
2
. Thay sinx = ± 1 vào đều khụng thỏa món. 
Vậy cỏc nghiệm của PT là 2 5 2; ( )
18 3 18 3
k kx x k Zπ π π π= + = + ∈ 
Bài 10: cos2 5 2(2 - cos )(sin - cos )x x x x+ =Giải phương trỡnh: 
Phương trỡnh ⇔ (cosx–sinx)2 - 4(cosx–sinx) – 5 = 0 
cos - sin -1
cos - sin 5( cos - sin 2)
x x
x x loai vi x x
=
⇔  = ≤
2
22 sin( ) 1 sin( ) sin ( )
4 4 4 2
x k
x x k Z
x k
π ππ π π
π π
 = +
⇔ − = ⇔ − = ⇔ ∈
 = +
Bài 11: 2
3 2 sin 2 1 1 3
2cos sin 2 tanx
+
+ = + +
x
x x
Giải phương trỡnh: . 
- Đk: 
2
x k π≠ 
- Phương trình đã cho tương đương với: 
( )23 21 32 sin 2+ + − =tan cot x xx 
Đinh Xuõn Thạch – THPT Yờn Mụ B  Phương trỡnh lượng giỏc - Trang 20 
2 2
2
2
2(sin cos )3 3 2
sin cos
3 2 3 0
+
⇔ + − =
⇔ + − =
tan cot 
tan tan 
x xx x
x x
x x
⇔ 
3
3
1
3 6
π = − = − + π ⇔  π=  = + π 
tan
tan
x x k
x x k
 ,k∈Z 
So sánh với điều kiện phương trình có nghiệm: 
6 2
π π
= +x k ; k∈Z 
Bài 12: 32 2 cos2 sin 2 cos( ) 4sin( ) 0
4 4
x x x x
π π
+ + − + =Giải phương trỡnh: . 
 32 2 cos2 sin 2 cos( ) 4sin( ) 0
4 4
x x x x
π π
+ + − + = 
⇔ 3 32 2 cos2 sin 2 (cos .cos sin sin ) 4(sin cos cos sin ) 0
4 4 4 4
x x x x x x
π π π π
+ − − + = 
⇔ 4cos2x-sin2x(sinx+cosx)-4(sinx+cosx)=0 
⇔ (sinx+cosx)[4(cosx-sinx)-sin2x-4]=0 
s inx+cosx=0 (2)
4(cosx-sinx)-sin2x-4=0 (3)

⇔ 

 . 
-PT (2) cú nghiệm 
4
x k
π π= − + . 
-Giải (2) : Đặt s inx-cosx= 2 sin( ), Điều kiện t 2 (*) 
4
t x
π
= − ≤ 2sin 2 1x t⇒ = − , 
thay vào (2) được PT: t2-4t-5=0 ⇔ t = -1( t/m (*)) hoặc t = 5(loại ) 
Với t = -1 ta tỡm được nghiệm x là : 32 hoặc x= 2
2
x k k
ππ π= + . 
Bài 13:



=−+
=−
)(07sin2cos6
0sin1
VNxx
x
 Giải phương trỡnh: 9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x = 8 
Phương trình đã cho tương đương với: 
9sinx + 6cosx – 6sinx.cosx + 1 – 2sin2x = 8 
 6cosx(1 – sinx) – (2sin2x – 9sinx + 7) = 0 
 6cosx(1 – sinx) – (sinx – 1)(2sinx – 7) = 0 
 (1-sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 0 
  ππ 2
2
kx += 
Bài 14: ( ) ( )3sin 2 cos 3 2 3 os 3 3 os2 8 3 cos s inx 3 3 0x x c x c x x+ − − + − − = Giải phương trỡnh: . 
033)sincos.3(833cos36cos.32cos.sin6cos.sin2
033)sincos.3(82cos.33cos.32)3(cos2sin
232
3
=−−++−−+⇔
=−−+−−+
xxxxxxxx
xxxxxx
0)sincos3(8)sincos3(cos.6)sincos3(cos2 2 =−+−−−−⇔ xxxxxxxx 
Đinh Xuõn Thạch – THPT Yờn Mụ B  Phương trỡnh lượng giỏc - Trang 21 
0)8cos6cos2)(sincos3( 2 =+−−−⇔ xxxx 





=
=
=
⇔




=−+
=−
⇔
)(4cos
1cos
3tan
04cos3cos
0sincos3
2
loaix
x
x
xx
xx
Ζ∈




=
+=
⇔ k
kx
kx
,
2
3
π
ππ 
Bài 15: Giải phương trỡnh: 
Bài 16: Giải phương trỡnh: 
Đinh Xuõn Thạch – THPT Yờn Mụ B  Phương trỡnh lượng giỏc - Trang 22 
Bài 17: Giải phương trỡnh: 
Bài 18: Giải phương trỡnh: 
Bài 19:
6
x π + 
 
 Giải phương trỡnh: cosx = 8sin3 
cosx = 8sin3
6
x π + 
 
⇔ cosx = ( )33 s inx+cosx 
 ⇔ 3 2 2 33 3 sin 9sin osx +3 3 s inxcos os osx = 0x xc x c x c+ + − (3) 
 Ta thấy cosx = 0 khụng là nghiờm 
 (3) ⇔ 3 23 3 tan 8 t an x + 3 3 t anx = 0x + 
 t anx = 0 x = kπ⇔ ⇔ 
Đinh Xuõn Thạch – THPT Yờn Mụ B  Phương trỡnh lượng giỏc - Trang 23 
Bài 20: 1cos44cos32
4
cos2 22 −=+




 − xxxπ Giải phương trình: . 
Phương trỡnh tương đương với 21 cos 4 3 cos 4 4cos 1
2
x x xπ ⇔ + − + = − 
 
( )2sin 4 3 cos 4 2 2cos 1
1 3sin 4 cos 4 cos 2
2 2
cos 4 cos 2
6
x x x
x x x
x xπ
⇔ + = −
⇔ + =
 ⇔ − = 
 
 ( )12
36 3
x k
k
kx
π π
π π
 = +
⇔ ∈
 = +
 
Bài 21: xxxx 2sin
2
1
cos2)
2
cos
2
(sin3 33 +=− Giải phương trình: 
x2sin
2
1
xcos2)
2
x
cos
2
x
(sin3 33 +=− ( ) xcosxsin2
2
x
cos
2
x
sin1
2
x
cos
2
x
sin3 +=




 +




 −⇔ 
( ) 




 +




 −+=




 +




 −⇔
2
x
sin
2
x
cos
2
x
sin
2
x
cosxsin2xsin
2
1
1
2
x
cos
2
x
sin3 
0
2
3
2
x
cos
2
x
sin)xsin2(
2
x
sin
2
x
cos =




 +++




 −⇔ 
* x x x xsin cos 0 sin 0 k x k2 (k )
2 2 2 4 2 4 2
π π π − = ⇔ − = ⇔ − = π⇔ = + π ∈ 
 
Z 
* 2xsin0xsin2 −=⇔=+ (vô nghiệm) 
* 
22
3
4
xsin
2
3
42
x
sin2
2
3
2
x
cos
2
x
sin −=




 π+⇔−=




 π+⇔−=+ (vô nghiệm) 
Vậy nghiệm của phương trình là: ( )x k2 k
2
π
= + π ∈Z 
Bài 22: ( )
4 4sin cos 1 tan cot
sin 2 2
x x x x
x
+
= + Giải phương trình: (1) 
Điều kiện: sin 2 0x ≠ 
211 sin 2 1 sin cos2(1)
sin 2 2 cos sin
x x x
x x x
−  ⇔ = + 
 
2
2
11 sin 2 1 12 1 sin 2 1 sin 2 0
sin 2 sin 2 2
x
x x
x x
−
⇔ = ⇔ − = ⇔ = 
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 
Bài 23:
⇔
 Giải phương trình: 1 + sin x – cos x – sin 2x + cos 2x = 0 
Phương trình ( 1 – sin2x) + ( sinx – cosx) + ( cos2x – sin2x) = 0 
 ⇔ ( sinx – cosx).[(sinx – cosx) + 1 – (sinx + cosx)] = 0 
Đinh Xuõn Thạch – THPT Yờn Mụ B  Phương trỡnh lượng giỏc - Trang 24 
 ⇔ ( sinx – cosx).( 1 – 2cosx) = 0 
 ⇔




=
=
2
1cos
1tan
x
x
⇔






+±=
+=
ππ
ππ
.
3
.
4
lx
kx
( k,l ∈Z). 
Bài 24: gxtgx
x
x
x
x cot
sin
2cos
cos
2sin
−=+ Giải phương trình: (1) 
 (1)
x
x
x
x
xx
xxxx
sin
cos
cos
sin
cossin
sin2sincos2cos
−=
+
⇔ 
 ( )
xcosxsin
xcosxsin
xcosxsin
xx2cos 22 −
=
−
⇔ 
 cosx cos2x s in2x 0⇔ = − ∧ ≠ 
 22 cos x cosx 1 0 s in2x 0⇔ + − = ∧ ≠ 
 1cosx (cosx 1 :loaùi vỡ sin x 0)
2
⇔ = = − ≠ 
 π+π±=⇔ 2k
3
x 
Bài 25: 2 13 sin sin 2 tan
2
x x x+ = Giải phương trình: 
- Đk: cosx ≠ 0 ⇔ x ≠ 
2
kπ π+ . 
- PT đã cho ⇔ 3 sin2x + sinxcosx - s inx
cos x
 = 0 
 ⇔ sinx.( 3 sinx + cosx - 1
cos x
) = 0 
 ⇔ 
s inx 0
13 s inx cos 0
osx
x
c
=

 + − =

* Sinx = 0 ⇔ x = kπ . 
* 3 sinx + cosx - 1
cos x
 = 0 ⇔ 3 tanx + 1 - 2
1
cos x
 = 0 
 ⇔ tan2x - 3 tanx = 0 ⇔ 
t anx 0
t anx 3
=

=
⇔
x
x
3
k
k
π
π π
=

 = +

Vậy PT có các họ nghiệm: x = kπ , x = 
3
kπ π+ 
Bài 26: 2
3 4 2sin 2 2 3 2(cotg 1)
sin 2cos
x x
xx
+
+ − = + Giải phương trình: . 
- Đk: 
2
x k π≠ 
- Phương trình đã cho tương đương với: 
Đinh Xuõn Thạch – THPT Yờn Mụ B  Phương trỡnh lượng giỏc - Trang 25 
( )2
2 2
2
2
43 1 2 3 2
sin 2
2(sin cos )3 3 2
sin cos
3 2 3 0
tg cotg 
tg cotg 
tg tg 
x x
x
x xx x
x x
x x
+ + − =
+
⇔ + − =
⇔ + − =
⇔ 
3
3
1
3 6
tg 
tg 
x kx
x x k
π = − + π= −  ⇔  π=  = + π 
KL: So sánh với điều kiện phương trình có nghiệm: 
6 2
x kπ π= + ; k∈Z 
Bài 27: sin 4 cos 4 4 2 sin ( ) 1
4
x x x π+ = + − Giải phương trình: . 
PT ⇔ 2sin 2x cos 2x + 2cos2 2x = 4(sin x + cos x) 
⇔ (cos x + sin x) (cos x – sin x) (sin 2x + cos 2x) = 2(sin x + cos x) 
 ⇔ 
sinx cos 0
(cos sinx)(sin 2 os2 ) 2
x
x x c x
+ =
 − + =
⇔ 4
os3 sinx