Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Theo hướng ra đề thi của bộ giáo dục

s  xxxxxx
0cos  x
Ví dụ 7: + Biến đổi : xxxxx 4cos
4
1
4
3)4cos1(
4
112sin
2
11cossin 244 
 + (7)
2
14sin
2
34cos
2
124sin34cos3  xxxx

3
2
cos
3
4cos  

 x xxxx sin3cos)cos3(sin3 
Ví dụ 8: (8) xxxxxxxx cos
2
3
sin
2
13cos
2
13sin
2
3
cos3sin3cos3sin3 


 

 
3
sin
6
3sin  xx
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 7 Nguyễn Công Mậu
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ :
 1) Giải phương trình : xxxx 3sin43cos29cos33sin3 3
 2) Giải phương trình : 3 18
sin
cosx
x cosx
 
 3) Giải phương trình : 2sin 2 2sin 1 4 2 2sin cos 2x x sin xcosx cos x x x    
 4) Giải phương trình : 4cos sin 2 2cos 2 1sinx x x x   
 5) Giải phương trình : 32sin cos 2 0x x cosx  
 6) Giải phương trình : 3 3sin x cos x sinx cosx  
 7) Giải phương trình :   24sin33cossin8 66  xxx
 8) Giải phương trình : xxxx cos3sin)sin3(cos3 
III. Phương trình đẳng cấp thuần nhất theo sin và côsin cùng một cung:
1) Phương trình đẳng cấp thuần nhất bậc hai theo sin và côsin cùng một cung:
 Phương trình có dạng : asin2x + bsinxcosx + ccos2x + d = 0. (1)
 Cách giải 1: (Dng cơng thức hạ bậc đưa về PT bậc nhất theo sin v cơsin cng cung)
 (1)  1 cos 2 1 cos 2sin 2 0
2 2 2
x b x
a x c d    
sin 2 ( )cos 2 (2 )b x c a x d a c       .
 Cách giải 2: (Đưa về PT bậc hai đối với hàm tanx)
 Xét hai trường hợp :
 + Nếu x = ;
2
k k Z   có là nghiệm phương trình hay không.
 + Nếu x ;
2
k k Z    , chia hai vế phương trình cho cos2x ta được:
 atan2x + btanx + c + d(1 + tan2x) = 0
 (a + d)tan2x + btanx + c + d = 0.
Ví dụ 1: Giải phương trình cos2x - 3 sin2x = 1 + sin2x (1)
Ví dụ 2: Giải phương trình 4sin2x – 3sinxcosx +  3 4 cos2x = 4 (2)
Ví dụ 3: Giải phương trình : 10cos2x – 5sinxcosx + 3sin2x = 4 (3)
Ví dụ 4: Giải phương trình : cos2x + sinxcosx + 3sin2x = 3. (4)
HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: (1)   12sin32cos12sin3sincos 22  xxxxx
3
cos
3
2cos
2
12sin
2
32cos
2
1  

  xxx
Ví dụ 2: +Xét cosx = 0 thì 1sin 2 x nghiệm đúng phương trình (2).
 Vậy (2) có nghiệm  kx 
2
.
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 8 Nguyễn Công Mậu
 +Xét 0cos x . Chia hai vế PT(2) cho x2cos và thay x
x
2
2 tan1cos
1  và đặt ăn
 phụ t = tanx :
 Ta có :  kxxtttt 
66
tantan
3
3)1(44334 22
Vậy PT (2) có hai họ nghiệm là :  kx 
2
 ; Zkkx  ;
6

Ví dụ 3: (3) 3)2cos1(
2
32sin
2
5)2cos1(5  xxx
72sin52cos7  xx
Ví dụ 4: +Xét cosx = 0 thì 1sin 2 x nghiệm đúng phương trình (2).
 Vậy (2) có nghiệm  kx 
2
.
 +Xét 0cos x . Chia hai vế PT(2) cho x2cos và thay x
x
2
2 tan1cos
1  và đặt ăn
 phụ t = tanx :
 Ta có : kxxtttt  2arctan2tan2)1(331 22
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
1) Giải phương trình : 3sin2x - 5 3 sinxcosx – 6cos2x = 0
2) Giải phương trình : sin2x + 2(1 3)sin cos 3 0x x cos x  
3) Giải phương trình : 2sin2x + sinxcosx – 5cos2x = 1
4) Giải phương trình : cos2x – 3sin2x – 4sinxcosx = 0
2) Phương trình đẳng cấp thuần nhất bậc cao theo sin và côsin cùng một cung:
 Đây là loại phương trình được mở rộng từ PT đẳng cấp bậc hai dựa trên cơ sở sau:
 + Một biểu thức theo sinx hoặc cosx có bậc k có thể biến đổi thành một biểu thức
theo sinx và cosx có bậc k + 2n nhờ đẳng thức : 1cossin 22  xx . ),( Nnk 
Chẳng hạn : sinx (bậc 1) = sinx. xxxxx 2322 cossinsin)cos(sin  (bậc 3).
Hoặc sinx = sinx. xxxxxxx 4235222 cossincossin2sin)cos(sin  (bậc 5).
 + Chú ý : i) Số 0 không có bậc. Một hằng số khác 0 có bậc là 0.
 ii) Xác định bậc của mỗi hạng tử trong PTLG chứa sin và côsin là khi
chúng đã cùng một cung ( ví dụ với cung 3x thì sin3x có bậc 1, với cung 1x thì sin3x
có bậc 3)
 Từ những ý tưởng trên ta có thể nêu định nghĩa về PTLG đẳng cấp bậc n theo sin
và côsin của cùng một cung như sau:
 “ PT đẳng cấp bậc n theo sinx và cosx là PT có bậc các hạng tử hơn, kém nhau
2k, k N ”
 Cách giải 1: ( tương tự đẳng cấp bậc 2)
 (Cách giải này thường phát hiện được cách giải ngay từ ban đầu và có thuật toán,
 nhưng nhược điểm dài hơn cách giải thứ hai)
 +Bước 1: Xét cosx = 0 có nghiệm đúng PT không. (nếu đúng ghi nhận kết quả)
 +Bước 2: -Xét cosx  0. Chia hai vế PT cho xncos và thay  kk x
x
2
2 tan1cos
1 


.
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 9 Nguyễn Công Mậu
-Đặt ẩn phụ t = tanx và thu gọn thì được PT đa thức bậc n theo t.
-Giải tìm nghiệm t = t0 rồi giải PT tanx = t0 để tìm x.
 Cách giải 2 : (Biến đổi về PT tích theo sin và côsin)
( Cách giải này thường ngắn gọn nhưng không định hướng được kết quả biến đổi. Đòi
hỏi kỷ năng phân tích đa thức thành nhân tử của mỗi học sinh).Không có thuật toán
như cách 1. Sau đây là một số ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình: xxxx 2coscossintan  (1)
Giải cách 1:
+ĐK:  mx 
2
.
+(1) xxxx 32 coscossinsin  (*) (đẳng cấp bậc 3).
+cosx = 0 không nghiệm đúng PT. (vì 01  ; vô lý)
+cosx  0, chia hai vế (*) cho cos3x được :
 kxxttxxx 
4
1tan111tan)tan1(tan 32 (t = tanx)
Giải cách 2:
(*) xxxxx 3332 cossincos)cos1(sin  (**)
 kxxx 
4
1tan1tan 3
Chú ý:Theo cách giải 2 đã nêu là biến đổi về PT tích nên tôi minh họa lại như sau:
 (**) 0)2sin2)(cos(sin0)cossin1)(cos(sin0cossin 33  xxxxxxxxx
 kxxxx 
4
1tan0cossin .
Ví dụ 2: Giải phương trình: xxx cossincos3  (2) (đẳng cấp bậc 3)
Giải cách 1:
+ cosx = 0 không nghiệm đúng (2)
+ cosx  0, chia hai vế (2) cho cos3x được : )tan1()tan1(tan1 2 xxx 
kxxtttt  0tan00)1( 2 (với t = tanx )
Giải cách 2:
(2) 0)1cos(sinsin0sinsincossin)1(coscos 22  xxxxxxxxx
kxxxx  0sin0)22(sinsin
Ví dụ 3: Giải phương trình: 0cos2cossincos2sin3 233  xxxxx (3)
(đẳng cấp bậc 3)
Giải cách 1:
+ cosx = 0 không nghiệm đúng (3)
+ cosx  0, chia hai vế (3) cho cos3x được :
0)3(3033)tan1(2tan2tan3 223223  ttttxxx










 

kx
kx
x
x
t
t
3
3tan
0tan
3
0
Giải cách 2:
(3)   0)cos1(cos2cossinsin3 223  xxxxx   0cos3sin3sin0sincos2)cossin3(sin 222  xxxxxxxx
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 10 Nguyễn Công Mậu










 

kx
kx
x
kx
xx
x
3
3tan0cos3sin
0sin
Ví dụ 4 : Giaûi phöông trình 3cos4x – 4sin2xcos2x + sin4x = 0 (4) (đẳng cấp bậc 4)
Giải cách 1:
 + cosx = 0 thì sinx = 1 không nghiệm đúng ptrình . Vậy cosx 0
 + Chia hai vế (2) cho cos4x rồi đặt ẩn phụ t = tan2 x thì được:
310342  tttt
Giải cách 2:
(4) 0)sincos(sin)cossin3cos3( 422224  xxxxxx
0)sin(cossin)sin(coscos3 222222  xxxxxx




3tan
02cos
0)sincos3(2cos 22
x
x
xxx
Ví dụ 5: Giải phương trình : xxxxx cossin2coscossin 266  (5)
Giải cách 1:
Nếu biến đổi : )cossincos)(sincos(sincossin 22442266 xxxxxxxx  =
 = xxxx 2244 cossincossin 
Và biến đổi : xxxxxxx 22442222 cossin2sincos)sin(cos2cos 
Thì PT (5) 0cossincossin 22  xxxx (*)
Khi đó PT (*) giải tiếp theo cách giải 1 hoặc cách giải 2 đã nêu trên là đơn giản
+ Nếu từ PT: xxxxxx cossin)sin(coscossin 22266  (đẳng cấp bậc 6)
Làm theo cách giải (1) sau bước 2 đã thu gọn ta được phương trình: (Với t = tanx )



 )1.5(012
0
02 234
2345
tttt
t
ttttt
 Khi đó PT (5.1) 02110112 2
2
2
2 

 

 
t
t
t
t
tt
tt (5.2)
 PT (5.2) đặt ẩn phụ
t
tu
1 thì được PT bậc hai 1002  uuuu .
Trở lại với ẩn t thì các PT này vô nghiệm.
 + Với t = 0 kxx  0tan .
Chú ý: Khi xét cosx = 0 thì nó nghiệm đúng PT đẳng cấp bậc 6 nên:
 kx 
2
 cũng là nghiệm PT. Kết hợp nghiệm thì được x =
2
k
. Phù hợp với mọi
cách giải.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Có thể giải lại các bài trong các ví dụ và bài tập tương tự ở
phân PT đưa về PT bậc nhất theo sin và côsin cùng một cung như :
1) Giải phương trình sinxsin2x + sin3x = 6cos3x (đẳng cấp bậc 3)
2) Giải phương trình sin3x + cos3x + 2cosx = 0 (đẳng cấp bậc 3)
3) Giải phương trình sinx – 4sin3x + cosx = 0 (đẳng cấp bậc 3)
 4) Giải phương trình : 3 3sin x cos x sinx cosx   (đẳng cấp bậc 3)
 5) Giải phương trình :   24sin33cossin8 66  xxx (đẳng cấp bậc 6)
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC
DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 11 Nguyễn Công Mậu
 6) Giải phương trình : xxxx cos3sin)sin3(cos3  (đẳng cấp bậc 3)
 7) Giải phương trình : 3 3sin x cos x sinx cosx   (đẳng cấp bậc 3)
 8) Giải phương trình : 4 4 4(sin ) 3 sin 4 2x cos x x   (đẳng cấp bậc 4)
 9) Giải phương trình : xxxx sin3cos)cos3(sin3  (đẳng cấp bậc 3)
10) Giải phương trình : 8 8 217sin 2
16
x cos x cos x  (đẳng cấp bậc 8)
 11) Giải phương trình : 6 6 2sin 2 1x cos x cos x   (đẳng cấp bậc 6)
IV. Phương trình chứa tổng (hoặc hiệu) và tích của sin và côssin cùng một cung:
1) Phương trình chứa tổng và tích (còn gọi là phương trình đối xứng theo sin và
côsin)
 Dạng phương trình: a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c )R (1)
 Cách giải : Đặt t = sinx + cosx = 2
4
sin2 

  tx 
(*)
2
1
cossincossin21
2
2  txxxxt
 (1) )1.1(0220
2
1
.
2
2
 bcatbtctbat .
 Giải phương trình (1.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn 20 t .
 Thay giá trị t0 vào PT (*) và giải PT sin2x = 120 t để tìm x.
2) Phương trình chứa hiệu và tích ( còn gọi là phương trình phản xứng)
 Dạng phương trình: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c )R (2)
 Cách giải : Đặt t = sinx - cosx = 2
4
sin2 

  tx 
(**)
2
1
cossincossin21
2
2 txxxxt

 (1) )1.2(0220
2
1
.
2
2
 bcatbtctbat .
 Giải phương trình (2.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn 20 t .