Chuyên đề Phương tích - Trục đẳng phương

 trên 3 cạnh BC,CA,AB sao 
cho
AFBD CE
CD AE BF
= = . CMR nếu 2 tam giác ABC và DEF có chung trực tâm thì tam giác 
ABC đều. 
Lời giải: 
 18 
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. 
Ta có: 
AFBD CD CE AE BF
GD GE GF GC GB GA GC GB GA
BC CB CA AC AB BA
     
+ + = + + + + +     
     
        
=
AFBD AE CD CE BF
GC GB GA
BC AC CB AB CA BA
     
+ + + + +     
     
  
=GA GB GC+ +
  
= 0

Suy ra hai tam giác ABC và DEF có chung trọng tâm G. Mà chúng lại chung trực tâm H 
nên dựa vào tính chất của đường thẳng Ơ-le: OH=2OG suy ra chúng có chung tâm đường 
tròn ngoại tiếp O. 
Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
Do OD=OE nên PD/(O)=PE/(O) 
. .DB DC EC EA⇒ = 
DB EA
EC DC
⇒ = 
Mặt khác 
DB EC EA EC
DC EA DC DB
= ⇒ = 
2 2DB EC
DB EC
EC DB
DB EC
⇒ = ⇒ =
⇒ =
Mà 
DB EC
BC CA
= BC AC⇒ = . Tương tự AB=AC suy ra tam giác ABC đều. 
7. Khảo sát vị trí hai đường tròn: 
Ví dụ 1: 
Chứng minh rằng nếu hai đường tròn đựng nhau thì hai đường tròn đó nằm vế một phía 
với trục đẳng phương. Nếu hai đường tròn nằm ngoài nhau thì chúng nằm về hai phía của 
trục đẳng phương. 
 19 
Lời giải: 
+Nếu hai đường tròn đựng nhau, hiển nhiên trục đẳng phương không có điểm chung với 
đường tròn lớn vì nếu M là điểm chung thì phương tích từ M tới đường tròn nhỏ phải 
bằng 0 và hai đường tròn giao nhau tại M, vô lý. 
 Do đó đường tròn lớn nằm về một phía của trục đẳng phương và mọi điểm trong của 
đường tròn cũng nằm về phía đó. Vậy hai đường tròn nằm về một phía với trục đẳng 
phương. 
+Nếu hai đường tròn ngoài nhau. Gọi O là trung điểm O1O2. M là một điểm nằm trên trục 
đẳng phương. H là hình chiếu của M trên O1O2. Không mất tổng quát giả sử R1>R2. 
Ta có 
2 2
1 2
1 22
R R
OH
O O
−
= suy ra 2 21 2 1 22 . 0O O OH R R= − > , tức là OH

 và 1 2O O

cùng hướng, 
hay H nằm trên tia OO2.Mặt khác OH=
2 2
1 2
1 22
R R
O O
−
<1/2O1O2 nên H nằm trên đoạn thẳng 
OO2. 
Vậy O1,O2 nằm khác phía đối với H, mà trục đẳng phương không có điểm chung với hai 
đường tròn nên hai đường tròn (O1),(O2) nằm khác phía đối với trục đẳng phương. 
Ví dụ 2: 
Chứng minh rằng nếu trục đẳng phương của hai đường tròn cắt một trong hai đường tròn 
thì hai đường tròn đã cho cắt nhau. Nếu trục đẳng phương của hai đường tròn tiếp xúc với 
một trong hai đường tròn thì hai đường tròn đã cho tiếp xúc nhau. 
Lời giải: 
Gọi C1,C2 là hai đường tròn có trục đẳng phương d và M là điểm chung của C1 với d. 
Ta có PM/(C1)=PM/(C2)=0 chứng tỏ M thuộc C2. Từ đó suy ra đpcm. 
 20 
C.Bài tập: 
1.Chứng minh các hệ thức hình học: 
Bài 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). CD ∩ AB={M}, AD ∩ BC={N}. CMR 
MN2=PM/(O)+PN/(O) 
Bài 2(Romani TST 2006): Cho (O) và một điểm A nằm ngoài (O). Từ A kẻ cát tuyến 
ABC, ADE (B∈[AC], D∈[AE]. Qua D kẻ đường thẳng song song với AC cắt (O) lần thứ 
2 tại F. AF cắt (O) tại G. EG cắt AC tại M. CMR 
1 1 1
AM AB AC
= + 
Bài 3:Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). P nằm trên cung CD không chứa A,B. 
PA,PB ∩ DC lần lượt tại M,N. CMR 
.MD NC
const
MN
= 
Bài 4 (Đề nghị Olympic 30-4): Cho tam giác ABC nội tiếp (O,R). Gọi G là trọng tâm 
tam giác. Giả sử GA,GB,GC cắt (O) lần thứ hai tại A’,B’,C’. CMR: 
2 2 2 2 2 2
1 1 1 27
' ' 'G A G B G C a b c
+ + =
+ +
Bài 5:Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn (O’) tiếp xúc với đường 
tròn (O) tại một điểm thuộc cung BC không chứa A. Từ A,B,C theo thứ tự kẻ tới (O’) các 
tiếp tuyến AA’,BB’,CC’. CMR: BC.AA’’=CA.BB’’+AB.CC’’ (định lý Ptô-lê-mê mở 
rộng) 
Bài 6:Cho tam giác ABC với diện tích S nội tiếp (O,R). Giả sử S1 là diện tích của tam 
giác tạo bởi các chân đường vuông góc hạ xuống các cạnh của tam giác ABC từ một 
điểm M nằm cách O một khoảng d. CMR 
2
1 2
1
1
4
d
S S
R
= − (Hệ thức Ơ-le) 
2.Tính các đại lượng hình học: 
Bài 7:Cho tam giác đều ABC cạnh a nội tiếp (O). Đường tròn (O’,R) tiếp xúc với cạnh 
BC và tiếp xúc với cung BC nhỏ. Tính AO’ theo a và R 
Bài 8 (All-Russian MO 2008): Cho tam giác ABC nội tiếp (O,R), ngoại tiếp (I,r). (I) tiếp 
xúc với AB,AC lần lượt tại X,Y. Gọi K là điểm chính giữa cung AB không chứa C. Giả 
sử XY chia đôi đoạn AK. Tính ∠ BAC? 
Bài 9 (All-Russian MO 2007): Hai đường tròn (O1) và (O2) giao nhau tại A và B. PQ, RS 
là 2 tiếp tuyến chung của 2 đường tròn (P,R ∈(O1), Q,S ∈(O2)). Giả sử RB//PQ, RB cắt 
(O2) lần nữa tại W. Tính 
W
RB
B
? 
3.Chứng minh tập hợp điểm cùng thuộc một đường tròn: 
Bài 10: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) (AB ≠ CD). Dựng hai hình thoi AEDF và BMCN 
có cạnh bằng nhau. CMR 4 điểm E,F,M,N cùng thuộc một đường tròn. 
Bài 11 (IMO Shortlist 1995):Cho tam giác ABC với (I) là đường tròn nội tiếp. (I) tiếp 
xúc với 3 cạnh BC,CA,AB lần lượt tại D,E,F.X là một điểm nằm trong tam giác ABC sao 
cho đườg tròn nội tiếp tam giác XBC tiếp xúc với XB,XC,BC lần lượt tại Z,Y,D.CMR tứ 
giác EFZY nội tiếp. 
 21 
Bài 12 (International Zhautykov Olympiad 2008):Trên mặt phẳng cho 2 đường tròn 
(O1) và (O2) ngoài nhau. A1A2 là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn (A1∈(O1), 
A2∈(O2)). K là trung điểm A1A2.Từ K lần lượt kẻ 2 tiếp tuyến KB1,KB2 tới (O1),(O2). 
A1B1 ∩ A2B2={L}, KL ∩ O1O2={P}.CMR B1,B2,P,L cùng nằm trên một đường tròn. 
4.Chứng minh sự thẳng hàng, đồng quy: 
Bài 13:Cho nửa đường tròn đường kính AB và điểm C nằm trên đó. Gọi H là chân đường 
vuông góc hạ từ C xuống AB. Đường tròn đường kính CH cắt CA tại E, CB tại F và 
đường tròn đường kính AB tại D. CMR CD, EF,AB đồng quy. 
Bài 14: Cho 2 đường tròn (O1) và (O2) ngoài nhau. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài A1A2, tiếp 
tuyến chung trong B1B2 của 2 đường tròn (A1, B1∈(O1), A2,B2∈(O2)). CMR A1B1, A2B2, 
O1O2 đồng quy. 
Bài 15 (Việt Nam TST-2009):Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O). A1,B1,C1 lần lượt là 
chân đường vuông góc của A,B,C xuống cạnh đối diện. A2,B2,C2 đối xứng với A1,B1,C1 
qua trung điểm BC,CA,AB. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AB2C2,BC2A2,CA2B2 cắt (O) 
lần thứ 2 tại A3,B3,C3. CMR A1A3,B1B3,C1C3 đồng quy. 
Bài 16 (Olympic toán học Mĩ 1997):Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác này vẽ các 
tam giác cân BCD, CAE, ABF có các cạnh đáy tương ứng là BC,CA,AB.CMR 3 đường 
thẳng vuông góc kẻ từ A,B,C tương ứng xuống EF,FD,DE đồng quy. 
Bài 17 (IMO 1995):Trên đường thẳng d lấy 4 điểm A, B, C, D (theo thứ tự đó). Đường 
tròn đường kính AC và BD cắt nhau tại X, Y. Đường thẳng XY cắt BC tại Z. Lấy P là 
một điểm trên XY khác Z. Đường thẳng CP cắt đường tròn đường kính AC tại điểm thứ 2 
là M, và BP cắt đường tròn đường kính BD tại điểm thứ 2 là N. Chứng minh rằng AM, 
DN và XY đồng qui. 
Bài 18:Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Đường tròn bàng tiếp góc A có tâm I, tiếp xúc 
với các cạnh BC,CA,AB lần lượt tại M,N,P.CMR tâm đường tròn Ơ-le của tam giác 
MNP thuộc đường thẳng OI. 
Bài 19:Tam giác ABC không cân nội tiếp (O), ngoại tiếp (I). Các điểm A’,B’,C’ theo thứ 
tự thuộc BC,CA,AB thoả mãn ' ' ' 90oAIA BIB CIC∠ = ∠ = ∠ = . CMR A’,B’,C’ cùng 
thuộc một đường thẳng và đường thẳng đó vuông góc với OI. 
Bài 20:Cho tam giác ABC nội tiếp (O), 3 đường cao AA’,BB’,CC’. Kí hiệu WA là đường 
tròn qua AA’ và tiếp xúc với OA. WB, WC được định nghĩa tương tự. CMR 3 đường tròn 
đó cắt nhau tại 2 điểm thuộc đường thẳng Ơ-le của tam giác ABC. 
Bài 21:Cho tam giác ABC. A’, B’ lần lượt nằm trên 2 cạnh BC và AC. CMR trục đẳng 
phương của hai đường tròn đường kính BB’ và AA’ đi qua trực tâm H của tam giác ABC. 
Bài 22: Cho (O), đường kính AB,CD. Tiếp tuyến của (O) tại B giao AC tại E, DE giao 
(O) lần thứ 2 tại F. CMR AF, BC,OE đồng quy. 
5.Chứng minh điểm cố định, đường cố định: 
Bài 23:Cho (O) và dây AB. Các đường tròn (O1),(O2) nằm về một phía của dây AB và 
tiếp xúc trong với (O). (O1) ∩ (O2)= {H,K}. CMR HK luôn đi qua một điểm cố định. 
Bài 24:Cho tam giác ABC nội tiếp (O,R). M là điểm di động trong (O). AA’,BB’,CC’ là 
các dây cung đi qua M và thỏa mãn hệ thức 3
' ' '
MA MB MC
MA MB MC
+ + = . CMR M thuộc một 
đường tròn cố định. 
Bài 25:Cho tam giác ABC, đường tròn qua B,C giao AB,AC lần lượt tại C’,B’. Gọi giao 
điểm của BB’ và CC’ là P, AP giao BC tại A’. Đường thẳng qua A’ song song với B’C’ 
 22 
giao AB,AC lần lượt tại M,N, B’C’ giao BC tại Q. CMR đường tròn ngoại tiếp tam giác 
QMN đi qua một điểm cố định. 
6. Chứng minh các yếu tố khác: 
Bài 26 (Junior Balkan MO 2005) :Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Tiếp tuyến của (O) 
tại A cắt BC tại P. M là trung điểm BC.MB cắt (O) lần thứ 2 tại R, PR cắt (O) lần thứ 2 
tại S. CMR CS//AP 
Bài 27 (Thi vô địch toán Iran,1996):Cho hai điểm D,E tương ứng nằm trên các cạnh 
AB,AC của tam giác ABC sao cho DE//BC.Gọi P là điểm bất kì nằm bên trong tam giác 
ABC, các đường thẳng PB và PC lần lượt cắt DE tại F và G. Gọi O1, O2 là tâm đường 
tròn ngoại tiếp tam giác PDG, PFE. CMR: AP ⊥ O1O2 
Bài 28:Cho tam giác ABC, đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H. M là trung điểm BC, 
EF cắt BC tại I. CMR IH OJ⊥ 
Bài 29 (USAMO 2009):Cho hai đường tròn w1 và w2 cắt nhau tại hai điểm X,Y. Một 
đường thẳng l1 đi qua tâm w1 và giao w2 tại hai điểm P,Q, l2 đi qua tâm w2 và giao w1 tại 
R,S. CMR nếu 4 điểm P,Q,R,S cùng thuộc một đường tròn tâm O thì O nằm trên XY. 
Bài 30 (IMO 1985):Cho tam giác ABC.Một đường tròn tâm O đi qua các điểm A,C và 
lại cắt các đoạn AB,AC thứ tự tại hai điểm phân biệt K,N.Giả sử đường tròn ngoại tiếp 
của các tam giác ABC và KBN cắt nhau tại B và M. CMR góc OMB vuông. 
7. Khảo sát vị trí hai đường tròn: 
Bài 31:Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường tròn (C1): x
2+y2-2x+4y-4=0, (C2): 
x2+y2+4x-4y-56=0. CMR (C1) tiếp xúc với (C2) 
Bài 32:Chứng minh rằng hai đường tròn (C1): x
2+y2-10x+24y-56=0 và (C2): x
2+y2-2x-
4y-20=0 cắt nhau. 
D.Lời giải: 
Bài 1: 
Lấy điểm P trên MN sao cho tứ giác MPAD nội tiếp, lại có tứ giác ABCD nội tiếp nên tứ 
giác PNBA nội tiếp. 
Ta có: . . , . .MP MN MA MB NP NM NA ND= = 
2 ( ). . .MN MP PN MN MA MB NA ND⇒ = + = + 
 23 
Hay MN2=PM/(O)+PN/(O) (đp