Chuyên đề Phương pháp vecto trong không gian - Phạm Kim Chung

 JJJK 
 ( ), , : 1Rα β γ α β γ∈ + + = 
 *Yêu cầu bài toán t−ơng đ−ơng với việc chứng 
C
(H.5) 
M 
B’ 
D’
D 
B 
A 
C’
 minh: ( )1 '3AM AA AB AD= + +JJJJK JJJJK JJJK JJJK 
A’ 
Với việc lập hệ ph−ơng trình và giải quyết t−ơng tự VD4 , ta suy ra đpcm. 
Bμi tập tự giải: 
1). Cho hình hộp xiên ABCD.A’B’C’D’ . Gọi P,Q,R là ảnh đối xứng của điểm D’ qua các điểm A, B’, C . Chứng 
tỏ rằng B là trọng tâm của tứ diện PQRD’. 
2). Cho tứ diện ABCD . Gọi M,N,P,Q lần l−ợt là trung điểm của AB,BC,CD,DA . Chứng minh 2 tam giác ANP và 
CMQ có chung trọng tâm. 
3). Chứng minh rằng hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’ có cùng trọng tâm khi và chỉ khi: 
 ' ' ' 'AA BB CC DD+ + + = 0GJJJ JJJ JJJJK JK JK JJJJK . 
4). Cho tứ diện ABCD . Gọi A’, B’, C’ ,D’ lần l−ợt là các điểm trên các cạnh AB,BC,CD,DA sao cho: 
' ' ' '
' ' ' '
A A B B CC D D k
A B B C C D D A
= = = = . 
Chứng minh hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’ có cùng trọng tâm. 
5). Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 . Gọi P,R theo thứ tự là trung điểm của AB, A1D1 ; Gọi P1 ,Q ,Q1 ,R1 theo thứ tự 
là giao điểm của các đ−ờ ch ủa c m t (ABCD), (CDDng éo c cá ặ 1C1), (A1BB1C1D1),(ADD1A1). 
 a). Chứng minh rằng : 1 1 1 0PP QQ RR+ + =
GJJJK JJJJK JJJK
. 
 b). Chứng minh hai tam giác PRQ và P1R1Q1 có cùng trọng tâm. 
---------------------------------------------------------------------------------- 
Dạng 2: bμi tập về các điểm thẳng hμng. 
 Để chứng minh 3 điểm P, M, N thẳng hàng ta chứng minh: ( , R: 1)AP AM ANα β α β α β= + ∈ + =JJJK JJJJK JJJK 
trong đó A là điểm bất kì (thông th−ờng A là gốc của hệ cơ sở). 
VD7: Cho hình lập ph−ơng ABCD.A’B’C’D’ cạnh a . Gọi P,Q là các điểm xác định bởi : 
 ' , ' 'AP AD C Q C= − = − D ; 
 M là trung điểm BB’ . Chứng minh rằng P, M, Q thẳng hàng . 
 HD: 
Chọn hệ { }', ' , ' ' , ' 'A A A a A B b A D c= = =G GJJJJK JJJJJK JJJJJK G làm cơ sở. 
Phân tích bài toán: 
* Giải thiết : ' ' ' 2AP AD AP AD A P a= − ⇒ = − ⇒ = − dG JGJJJK JJJJK JJJJK 
 ' ' ' ' ' 2C Q C D C Q C D A Q b d a= − ⇒ = − ⇒ = + −G JG GJJJJK JJJJJK JJJJK 
 M là trung điểm BB’ ( )1 1' ' ' '2 2A M A B A B a b+ = +⇒ = G GJJJJJK JJJJK JJJJJK 
* Yêu cầu của bài toán t−ơng đ−ơng với việc chứng minh: ( ), : ' ' ' 1A M A P A Qα β α β α β∃ J = + + =JJJJK JJJJK JJJJK . 
Thay các đẳng thức trên và giải hệ ph−ơng trình ta đ−ợc 
1
2
α β= = . 
Bμi tập tự giải : 
1). Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 . Gọi P là trung điểm của cạnh B1C1 . Đ−ờng thẳng d qua P cắt đ−ờng thẳng AB 
tại M và cắt đ−ờng thẳng DD1 tại N . Chứng minh P là trung điểm của đoạn MN. 
2).Cho tứ diện OABC . Gọi M,N ,P lần l−ợt là các điểm đối xứng với O đối với trung điểm các cạnh tam giác ABC 
. Chứng minh rằng , điểm O và trọng tâm các tam giác ABC , MNP thẳng hàng. 
3). Cho tứ diện OABC . Gọi P, Q,R lần l−ợt là trọng tâm các tam giác AOB, BOC, COA . Chứng minh rằng điểm 
O và trọng tâm các tam giác ABC, PQR thẳng hàng. 
4). Chứng minh rằng trong tứ diện trực tâm : trọng tâm , trực tâm, tâm mặt cầu ngoại tiếp cùng nằm trên một 
đ−ờng thẳng (đ−ờng thẳng Ơ-le trong tứ diện) 
5). Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 . P là điểm trên đ−ờng thẳng CC1 sao cho : 1
3
2
CP . M là điểm trên đ−ờng 
thẳng AD, N là điểm trên đ−ờng thẳng BD
CC=
1 sao cho ba điểm M, N, P thẳng hàng . Tính :
MD
MA
. 
------------------------------------------------------------------------- 
Dạng 3: quan hệ vuông góc giữa đ−ờng thẳng vμ mặt phẳng. 
VD8. (Bài tập 3-Tr69-SGK11) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O . Biết rằng SA=SC, 
SB=SD. Chứng minh rằng: 
 a). . ( )SO mp ABCD⊥
 b). . AC SD⊥
 Chọn hệ véc tơ cơ sở: 
 { }, , ,O OA OB OSJJJK JJJK JJJK S
 8
 a). Ta có: SA = − OA OSJJK JJJK JJJK
 ( )SC OC OS OA OS= − = − +JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK 
 Theo bài ra : SA=SC 
 ( ) ( )2 22 2SA SC OA OS OA OS= ⇒ − = +JJJK JJJK JJJK JJJK 
 ⇒ =. 0OAOS OA OS⇒ ⊥JJJK JJJK . 
 T−ơng tự ta chứng minh đ−ợc : OB , suy ra: OS⊥ ( )SO mp ABCD⊥ . 
b). Ta có : 2AC O= −JJJK JJJKA K JJJK; . Do đó: SD OD OS= −JJJK JJJ ( ). 2 . 0AD SD OA OD OS AC SD= − − = ⇒ ⊥JJJG JJJG JJJGJJJK JJJK . 
O
A
D 
C
(H.6) 
B
VD9.(Bài tập 5-Tr69-SGK11) .Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu , ACAB CD BD⊥ ⊥ thì: AD BC⊥ 
HD: Chọn hệ { }, , ,A AB AC ADJJJK JJJK JJJK làm cơ sở. 
Ta có: 
( )
( )
. 0 . . 0
. . 0
0 . . 0
AB CD AB AD AC AB AD AB AC
AC AD AB AD
AC BD AC AD AB AC AD AC AB
⎧ ⊥ ⇒ − = ⇒ − =⎪ ⇒ − =⎨ ⊥ ⇒ − = ⇒ − =⎪⎩
JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK
JJJK JJJK JJJK JJJK
JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK (1)
 . 
Nên: đpcm. ( ). 0AD BC AD AC AB AD BC= − = ⇒ ⊥JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK
+ Để chứng minh , ta chứng minh: AB CD⊥ . 0ABCD =JJJK JJJK 
+ Để chứng minh ( )AB α⊥ , ta chứng minh AB vuông góc với 2 đ−ờng thẳng cắt nhau thuộc mp ( )α . 
+ Để chứng minh ( ) ( )α β⊥ , ta chứng minh 1 đ−ờng thẳng thuộc mặt phẳng này vuông góc với 2 đ−ờng 
thẳng thuộc mặt phẳng kia. 
Bμi tập tự giải : 
1). Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABC là tam giác cân đỉnh A, D là trung điểm BC , vẽ ( )DE AB E AB⊥ ∈ , biết 
. Gọi M là trung điểm DE. (SE mp ABC⊥ )
 Chứng minh : ( )AM mp SEC⊥ . 
2).Cho hình lập ph−ơng ABCD.A1B1C1D1. Gọi M, N lần l−ợt là trung điểm các cạnh AD và BB1. Chứng minh: 
1MN AC⊥ . 
3). Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC , đáy ABC là tam giác cân (AB=AC) . Vẽ , D là trung 
điểm cạnh AB, E là trọng tâm tam giác ADC. Chứng minh :
(SO mp ABC⊥ )
( )CD mp SOE⊥ . 
4). Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. M và N là các điểm lần l−ợt thuộc 
các đ−ờng chéo A’B và B’C. Biết rằng : 
3 2' ' ; '
5 5
'A M A B B N B= = C . 
Chứng minh rằng : 'MN A B⊥ và 'MN B C⊥ . 
5). Tổng hai góc phẳng của góc tam diện bằng 1800. Chứng minh rằng đ−ờng vuông góc chung của chúng vuông 
góc với phân giác của góc phẳng thứ ba. 
------------------------------------------------------------------------------- 
Dạng 4: Tính góc giữa hai đ−ờng thẳng. 
( ) ( )
22 2
. 1,
2
a b a ba bcos a b
a b a b
⎡ ⎤+ − −⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
G G G GG GG G
G G G G 
VD10(Bài tập2-Tr59-SGK11). Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, gọi M là trung điểm của BC . 
 9
 Tính cosin của gócn( ),AB DM . 
 10
 Chọn hệ véc tơ cơ sở { }, , ,B BA BC BDJJJGJJJK JJJK . Ta có: 
A 
1
2
DM BM BD BC BD= − = −JJJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG . 
 Do đó: ( ) . , AB DMcos AB DM
DM AB
=
JJJJGJJJKJJJJGJJJK JJJJG JJJK 
 Dễ thấy : AB=a ; DM=
3
2
a
(H.7) 
C 
B 
M 
D
2 21 1 1. . . .
2 2 3 2
21.
3 4
AB DM BA BC BD BD BA BA BC a cos a cos aπ π⎛ ⎞= − − = − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠
JJJK JJJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK
. Do đó 
( ),cos AB DM =JJJJGJJJK 3 06 > 
 n( ) 3, 6cos AB DM⇒ = . 
Chú ý : ( ) ( ) m( ) ( ) ( ) m( ), 0 , , ; , 0 , ,c os a b a b a b cos a b a b a bπ> ⇒ = < ⇒ = −G G G G G G G G
Bμi tập tự giải : 
1)( Bài tập3-Tr59-SGK11). Cho tứ diện ABCD có AB=CD=a , AC=BD=b, AD=BC=c. 
a). Chứng minh các đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối thì vuông góc với hai cạnh đó. 
b). Tính cosin của góc hợp bởi các đ−ờng thẳng AC và BD. 
2)(Ví dụ 1-Tr56-SGK). Cho tứ diện ABCD . Gọi M,N lần l−ợt là trung điểm của các cạnh BC và AD. Cho biết 
AB=CD=2a và MN= 3a . Tính góc n( ),AB CD . 
3). Trong hình chóp tam giác ABCD tất cả các cạnh có độ dài bằng nhau . Điểm M là trung điểm cạnh AD, điểm 
O là trọng tâm tam giác ABC , điểm N là trung điểm cạnh AB và điểm K là trung điểm cạnh CD. Tìm góc giữa 
các đ−ờng thẳng MO và KN. 
4). Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A1B1C1 : BC=a; AC=b ; AB=c; AA1=h. Tính cosin của góc: 
 a). Giữa các đ−ờng chéo AB1 và BC1. 
 b). Giữa các cạnh AB và các đ−ờng chéo B1C. 
5)*. Biết các góc phẳng của góc tam diện SABC: n n n; CSA ; ASBBSC α β γ= = = . Tính cosin của các góc : 
 a). Giữa cạnh SC và phân giác góc nASB . 
 b). Giữa các phân giác góc nASB và . nASC
 c). Giữa cạnh SC và hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng chứa mặt đối diện. 
----------------------------------------------------------------------------------- 
Dạng 5: quan hệ song song giữa đ−ờng thẳng vμ mặt phẳng. 
 1).Hai đ−ờng thẳng song song. 
Để chứng minh đ−ờng thẳng AB//CD ta chứng minh : (k R)AB kCD= ∈JJJK JJJK 
VD11. Cho lăng trụ tam giác ABC.A1BB1C1 . Giả sử M, N, E, F lần l−ợt là trọng tâm 
 của các tam giác AA1B ,A1BB1C1 ,ABC , BCC1. Chứng minh MN//EF. 
 Chọn hệ véc tơ cơ sở: { }1, , ,A AA a AB b AC c= = =G G GJJJK JJJK JJJK 
 11
 Theo bài ra ta có: 
 M là trọng tâm tam giác AA1BB1 ( )1 113AM AA AB⇒ = +JJJJK JJJK JJJJK . 
 N là trọng tâm tam giác A1B1C1 ( )1 113 1AN AA AB AC⇒ = + +JJJK JJJK JJJJK JJJJK 
 E là trọng tâm tam giác ABC ( )13AE AB AC⇒ = +JJJK JJJK JJJK
 F là trọng tâm tam giác BCC1 ( )113AF AB AC AC⇒ = 
B1 
N 
M 
F 
E 
B 
A1 
A C 
C1 
(H.8) 
+ +JJJK JJJK JJJK JJJJK
=
 Ta cần chứng minh :∃ :k MN kEFJJJJK JJJK . 
Thật vậy: ( )13MN AN AM a c= − = +G GJJJJK JJJK JJJJK ; ( )13EF a c= +G GJJJK từ đó suy ra: MN EF= ⇒JJJJK JJJK MN//EF 
2).Đ−ờng thẳng song song với mặt phẳng. 
Để chứng minh đ−ờng thẳng d//mp(α ) ta lấy trên d một véc tơ aG , và trên (α ) hai véc tơ b,G cG 
sau đó chứng minh 3 véc tơ trên đồng phẳng, nghĩa là chứng minh , :k l R a kb lc∃ ∈ = +G G G 
VD12. Cho hình hộp ABCD.A1BB1C1D1. Giả sử M và N lần l−ợt là trung điểm các cạnh AA1 và B1C1. Chứng 
minh rằng MN song song với mặt phẳng (DA1C1). 
 Chọn hệ véc tơ cơ sở: 
 { }1, , ,D DA a DC b DD c= = =G G GJJJK JJJK JJJJK 
 Ta có: MN DN DN= −JJJJK JJJJK JJJJK ( )1 22 b a c= − +JJG G G (1) 
 Ta cần chứng minh : 
 ( ) ( )1 1, :x y R MN xDC yDA x b c y a c∃ ∈ = + = + + +G G G GJJJJK JJJJK JJJJK (2) D
C
C1N
M
B
D1 A1 
B1 
(H.9) 
A
 Từ (1) và (2) suy ra : x=1;y=
1
2
− . Do đó MN//mp(DA1C1) 
Chú ý: Nếu là 3 véc tơ không đồng phẳng thoả mãn :, ,a b c
G G G
1 1 1 2 2 2x a y b z c x a y b z c+ + = + +
G G G G G G
 thì: 
1 2
1 2
1 2
x x
y y
z z
=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩
. 
3).Hai mặt phẳng song song. 
Để chứng minh 2 mặt phẳng (P)//(Q), ta lấy trên (P) 2 véc tơ ,a b
G G
, và trên (Q) 2 véc 
tơ ,x y
G JG
. Sau đó chứng minh các bộ 3 véc tơ ( ) ( ), , ; , ,a x y b x yG G JG G G JG là đồng phẳng. 
VD13. Cho lăng trụ tam giác ABC.A1BB1C1.