Chuyên đề Phần 2: 50 bài tập cơ bản

yễn sinh vào lớp 10 chuyên Hà tĩnh
Bài 1 : 
Giải phương trình : 
Bài 2 :
Chứng minh : 
chia hết cho 1001 x 2003. 
Bài 3 :
Biết rằng phương trình x2 - 3x + 1 = 0 cĩ nghiệm x = a. Hãy tìm một giá trị của b Z để phương trình x16 - b.x8 + 1 = 0 cĩ nghiệm x = a. 
Bài 4 :
Trong các cặp số thực (x ; y) thỏa mãn điều kiện : 
Hãy tìm cặp số cĩ tổng x + 2y lớn nhất. 
Bài 5 :
Từ một điểm P ở ngồi đường trịn (O), kẻ 2 tiếp tuyến PE, PF tới đường trịn (E, F là 2 tiếp điểm). Một cát tuyến thay đổi đi qua P, cắt đường trịn tại 2 điểm A, B (A nằm giữa P và B) và cắt EF tại Q. 
a) Khi cát tuyến đi qua O, chứng minh : 
b) Đẳng thức (1) cịn đúng khơng, khi cát tuyến trên khơng đi qua điểm O. Hãy chứng minh điều đĩ. 
 Đề thi vào lớp 10 chuyên ( 2003-2004)
 Bài 1 : (2,5 điểm) 
1) Giải hệ phương trình 
2) Cho biểu thức 
Rút gọn biểu thức A. Tính giá trị của A khi : 
Bài 2 : (2,5 điểm) 
1) Chứng tỏ rằng phương trình x2 - 4x + 1 = 0 cĩ hai nghiệm phân biệt x1, x2. 
Lập phương trình bậc hai cĩ nghiệm là x12 và x22. 
2) Tìm m để phương trình x2 - 2mx + 2m - 3 = 0 cĩ hai nghiệm cùng dấu. Khi đĩ hai nghiệm cùng dấu âm hay cùng dấu dương ? 
Bài 3 : (3 điểm) 
Cho hai đường trịn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Đường tiếp tuyến với (O’) vẽ từ A cắt (O) tại điểm M ; đường tiếp tuyến với (O) vẽ từ A cắt (O’) tại N. Đường trịn tâm I ngoại tiếp tam giác MAN cắt AB kéo dài tại P. 
1) Chứng minh rằng tứ giác OAO’I là hình bình hành ; 
2) Chứng minh rằng bốn điểm O, B, I, O’ nằm trên một đường trịn ; 
3) Chứng minh rằng BP = BA. 
Bài 4 : (2 điểm) 
1) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Chứng minh rằng : 
2) Cho tam giác đều ABC. Điểm M trên cạnh BC (M ≠ B, M ≠ C) ; vẽ MD vuơng gĩc với AB và ME vuơng gĩc với AC (D Є AB ; E Є AC). Xác định vị trí của M để diện tích tam giác MDE lớn nhất. 
 Đề tuyễn sinh vào lớp 10 chuyên
Bài 1 : (1,5 điểm) 
Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số thỏa mãn : a + b + c = 2003 và thì một trong ba số a, b, c phải cĩ một số bằng 2003. 
Bài 2 : (1,5 điểm) 
Cho phương trình x3 - m(x + 2) + 8 = 0. 
1) Tìm m để phương trình cĩ 3 nghiệm phân biệt. 
2) Khi phương trình cĩ 3 nghiệm x1, x2, x3, chứng minh rằng : 
Bài 3 : (2,5 điểm) 
1) Giải phương trình : 
2) Giải hệ phương trình : 
Bài 4 : (3,5 điểm) 
Cho đường trịn (O ; R) và dây cung A là một điểm bất kì trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC cĩ ba gĩc nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, tia BH cắt AC tại E, tia CH cắt AB tại F. 
1) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AH, D là trung điểm của đoạn thẳng BC. 
Chứng minh đường thẳng ID là đường trung trực của đoạn thẳng EF. 
2) Tính độ dài của đường trịn ngoại tiếp tam giác HEF theo R. 
3) Xác định điểm Q thuộc đoạn thẳng BC sao cho 
Bài 5 : (1 điểm) 
Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. 
Chứng minh rằng : 
 Đề tuyển sinh vào lớp 10 Nguyễn Trãi
Bài 1 : (2,5 điểm) 
Giải phương trình 
Bài 2 : (2,5 điểm) 
Cho phương trình : x2 - 5mx - 4m = 0, cĩ hai nghiệm phân biệt x1 và x2. 
1) Chứng minh rằng : 
x1 + 5mx2 - 4m > 0 
2) Xác định giá trị của m để biểu thức 
đạt giá trị nhỏ nhất. 
Bài 3 : (2,0 điểm) 
Tìm giá trị của m để hai phương trình : x2 + x + m - 2 = 0 và x2 + (m - 2)x + 8 = 0 cĩ nghiệm chung. 
Bài 4 : (3,0 điểm) 
Cho đường trịn tâm O và dây AB, M là điểm chuyển động trên đường trịn, từ M kẻ MH vuơng gĩc với AB (H Є AB), gọi E và F là hình chiếu vuơng gĩc của H trên MA và MB. Qua M kẻ đường thẳng vuơng gĩc với EF cắt dây AB tại D. 
1) Chứng minh rằng đường thẳng MD luơn đi qua điểm cố định khi M thay đổi trên đường trịn. 
2) Chứng minh 
 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong
 Câu 1 : (4 điểm) a) Thu gọn biểu thức 
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Câu 2 : (4 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình : 
Câu 3 : (2 điểm) Phân tích thành nhân tử : A = x4 - 5x3 + 10x + 4. 
áp dụng : Giải phương trình : 
Câu 4 : (2 điểm) Cho hai phương trình : 
ax2 + bx + c = 0   (1), a ≠ 0 và mx2 + nx + p = 0   (2), m ≠ 0. 
Chứng minh rằng nếu ít nhất một trong hai phương trình trên vơ nghiệm thì phương trình sau luơn cĩ nghiệm : 
(an - bm)x2 + 2(ap - mc)x + bp - nc = 0. 
Câu 5 : (6 điểm) Cho tam giác ABC vuơng tại A (AB < AC) cĩ đường cao AH và trung tuyến AM. Vẽ đường trịn tâm H bán kính AH, cắt AB ở điểm D, cắt AC ở điểm E (D và E khác điểm A). 
a) Chứng minh D, H, E thẳng hàng. 
b) Chứng minh Ð MAE = Ð DAE và MA vuơng gĩc với DE. 
c) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường trịn tâm là O. Tứ giác AMOH là hình gì ? 
d) Cho Ð ACB = 30o và AH = a. Tính diện tích tam giác HEC theo a. 
Câu 6 : (2 điểm) Cho hình thang ABCD cĩ hai đường chéo AC và BD cùng bằng cạnh đáy lớn AB. Gọi M là trung điểm của CD. 
Cho biết Ð MCB = Ð CAB. Tính các gĩc của hình thang ABCD. 
 Đề thi tuyền sinh vapf lớp 10 hệ chuyên T/p HCM
* Câu 1 : Giải phương trình :     
* Câu 2 : Giải hệ phương trình : 
* Câu 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
trong đĩ x, y là những số thực lớn hơn 1. 
* Câu 4 : Cho hình vuơng ABCD và điểm M nằm trong hình vuơng. 
1) Tìm tất cả các vị trí của điểm M sao cho :   
2) Xét điểm M nằm trên đường chéo AC. Gọi N là chân đường vuơng gĩc hạ từ điểm M xuống cạnh AB và O là trung điểm của đoạn AM. Chứng minh rằng tỉ số OB/CN cĩ giá trị khơng đổi khi M di chuyển trên đường chéo AC. 
3) Với giả thiết M nằm trên đường chéo AC, xét các đường trịn (S1) và (S2) cĩ đường kính tương ứng là AM và CN. Hai tiếp tuyến chung của (S1) và (S2) tiếp xúc với (S2) tại P và Q. Chứng minh rằng đường thẳng PQ tiếp xúc với (S1). 
* Câu 5 : Với số thực a, ta định nghĩa phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất khơng vượt quá a và kí hiệu là [a]. Dãy các số x0, x1, x2, ... , xn, ... được xác định bởi cơng thức : 
Hỏi trong 200 số {x0, x1, x2, ..., x199} cĩ bao nhiêu số khác 0 ? (cho biết : ). 
 Đề thi tuyễn sinh vào lớp 10 pt năng khiếu ĐHQG T/p HCM
 Câu 1 : (2 điểm) 
a) Giải phương trình :     
b) Định m để phương trình x2 - (m + 1)x + 2m = 0 cĩ hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho x1, x2 là độ dài hai cạnh gĩc vuơng của một tam giác vuơng cĩ cạnh huyền bằng 5. 
* Câu 1 : (2 điểm) 
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điền kiện : 
a2 + b2 + c2 = (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2. 
a) Tính a + b + c biết rằng ab + bc + ca = 9. 
b) Chứng minh rằng nếu c ≥ a , c ≥ b thì c ≥ a + b. 
* Câu 1 : (2 điểm) 
Cùng một thời điểm, một chiếc ơ tơ XA xuất phát từ thành phố A về hướng thành phố B và một chiếc khác XB xuất phát từ thành phố B về hướng thành phố A. Chúng chuyển động với vận tốc riêng khơng đổi và gặp nhau lần đầu tại một điểm cách A là 20km. Cả hai chiếc xe sau khi đến B và A tương ứng, lập tức quay trở lại và chúng gặp nhau lần thứ hai tại một điểm C. Biết thời gian xe XB đi từ C đến B là 10 phút và thời gian giữa hai lần gặp nhau là 1 giờ. Hãy tính vận tốc của từng chiếc ơ tơ. 
* Câu 1 : (3 điểm) 
Gọi I, O lần lượt là tâm đường trịn nội tiếp và đường trịn ngoại tiếp (C) của tam giác nhọn ABC. Tia AI cắt đường trịn (C) tại K (K ≠ A) và J là điểm đối xứng của I qua K. Gọi P và Q lần lượt là các điểm đối xứng của I và O qua BC. 
a) Chứng minh rằng tam giác IBJ vuơng tại B. 
b) Tính gĩc BAC nếu Q thuộc (C). 
c) Chứng minh rằng nếu Q thuộc (C) thì P cũng thuộc (C). 
* Câu 1 : (1 điểm) 
Chứng minh rằng từ 8 số nguyên dương tùy ý khơng lớn hơn 20, luơn chọn được 3 số x, y, z là độ dài ba cạnh của một tam giác. 
 Đề thi thi tuyển sinh vào lớp 10 năng khiếu Trần Phú. Hải Phịng
Bài 1 : (2,0 điểm) Cho biểu thức : 
1) Tìm tất cả các giá trị của x để P(x) xác định. Rút gọn P(x) ; 
2) Chứng minh rằng nếu x > 1 thì P(x).P(-x) < 0. 
Bài 2 : (2,0 điểm) 
1) Cho phương trình : 
a) Giải phương trình trên khi m = 2/3 
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) cĩ hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = 16. 
2) Giải phương trình : 
Bài 3 : (2,0 điểm) 
1) Cho x ; y là hai số thực thỏa mãn x2 + 4y2 = 1. 
Chứng minh rằng 
2) Cho phân số : 
 Hỏi cĩ bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn 1 ≤ n ≤ 2004 sao cho A là phân số chưa tối giản. 
Bài 4 : (3,0 điểm) Cho hai đường trịn (O1) và (O2) cắt nhau tại P và Q. Tiếp tuyến chung gần P hơn của hai đường trịn tiếp xúc với (O1) tại A, tiếp xúc với (O2) tại B. Tiếp tuyến của (O1) tại P cắt (O2) tại điểm thứ hai D khác P, đường thẳng AP cắt đường thẳng BD tại R. Hãy chứng minh rằng : 
1) Bốn điểm A, B, Q, R cùng thuộc một đường trịn ; 
2) Tam giác BPR cân ; 
3) Đường trịn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc với PB và RB. 
Bài 5 : (1,0 điểm) Cho tam giác ABC cĩ BC < CA < AB. Trên AB lấy điểm D, trên AC lấy điểm E sao cho DB = BC = CE. Chứng minh rằng khoảng cách giữa tâm đường trịn nội tiếp và tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC bằng bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ADE. 
 Đề thi tuyền sinh lớp 10 vào Trần Đại Nghĩa
*Mơn thi : Tốn (vịng 2) * Thời gian : 150 phút * Khĩa thi : 2004 - 2005 
Câu 1 : Cho phương trình x2 + px + 1 = 0 cĩ hai nghiệm phân biệt a1 ; a2 và phương trình x2 + qx + 1 = 0 cĩ hai nghiệm phân biệt b1 ; b2. Chứng minh : (a1 - b1)(a2 - b1)(a1 + b2</SUB<)(A1 + b2) = q2 - p2. 
Câu 2 : Cho các số a ; b ; c ; x ; y ; z thỏa mãn x = by + cz ; y = ax + cz ; z = ax + by ; x + y + z ≠ 0. 
Chứng minh : 
 Câu 3 : 
a) Tìm x ; y thỏa mãn 5x2 + 5y2 + 8xy + 2x - 2y + 2 = 0. 
b) Cho các số dương x ; y ; z thỏa mãn x3 + y3 + z3 = 1. 
Chứng minh : 
 Câu 4 : Chứng minh rằng khơng thể cĩ các số nguyên x ; y thỏa mãn phương trình : x3 - y3 = 1993. 
Câu 5 : Cho tam giác ABC cĩ ba gĩc nhọn nội tiếp trong đường trịn (O) (AB < AC). Đường trịn tâm O1 tiếp xúc trong với đường trịn (O) tại M, tiếp xúc với hai cạnh AB, AC lần lượt tại L và K. Gọi E là giao điểm thứ hai của MK với đường trịn (O). 
a) Chứng minh ME là tia phân giác của gĩc AMC. 
b) Tia phân giác Mx của gĩc BMC cắt LK tại I. Chứng minh rằng bốn điểm M, I, K, C cùng thuộc một đường trịn. 
c) Chứng minh CI là tia phân giác của gĩc BCA. 
Câu 6 : Cho tam giác ABC cĩ đường phân giác trong AD với D thuộc đoạn BC sao cho BD = a và CD = b (a > b). Tiếp tuyến tại A củ