Chuyên đề Ôn thi Tốt nghiệp về Khảo sát hàm số và các bài tập liên quan

Bài 5: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
DẠNG 1: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số thường gặp.
Phương pháp chung: Sử dụng sơ đồ khảo sát đã học.
1. Hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0).
Phương pháp:
TXĐ: D = R.
y' = 3ax2 + 2bx + c
= b2 - 3ac.
Nếu = 0 hàm số có hai cực trị.
Nếu 0 thì hàm số đơn điệu trên R.
Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a/ y = x3 – 3x2	b/ y = - x3 + 3x – 1 	c/ y = 3x – 4x3 	d/ y = x3 – 3x2 + 3x – 2.
HD: 	- Khảo sát HS tự thực hiện
- Đồ thị của các hàm số như sau:
a)	b)
c)
d)
2. Hàm số bậc bốn trùng phương y = ax4 + bx2 + c (a≠0).
Phương pháp:
TXĐ: D = R.
y' = 4ax3 + 2bx
ab 0 hàm số có một cực trị x = 0.
ab 0 hàm số có 3 cực trị x = 0 và 
Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a/ y = x4 – 2x2 – 1 	b/ y = x4 + x2 – 2
HD: 	- Khảo sát HS tự thực hiện
- Đồ thị của các hàm số như sau:
a)
b)
3. Hàm số 
Phương pháp:
TXĐ: 
Đạo hàm y’ = .
Nếu ad - bc > 0 hàm số đồng biến trong từng khoảng xác định.
Nếu ad - bc < 0 hàm số nghịch biến trong từng khoảng xác định.
Ví dụ 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a/ y = 	b/ y = 	c/ y = 	d/ y = 
DẠNG 2: Tiếp tuyến của đồ thị.
Phương pháp chung: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C).
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x0 có hệ số góc là f’(x0).
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (x0, y0) là :
	y - y0 = f’(x0)(x - x0). (1)
1. Tìm tiếp tuyến khi biết điểm tiếp xúc có tọa độ ( x0; y0).
Phương pháp:
B1: Tìm f’(x0).
B2: Thay x0, y0, f’(x0) vào (1).
B3: Rút gọn và suy ra kết quả.
Ví dụ 1: Cho hàm số y = -x3 + 3x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(0; 2).
2. Tìm tiếp tuyến khi biết hệ số góc của tiếp tuyến là k.
Phương pháp:
B1: Tìm tọa độ tiếp điểm (x0; y0) với x0 là nghiệm của phương trình f’(x) = k, và y0 = f(x0).
B2: Thay x0, y0, f’(x0) vào (1).
B3: Rút gọn và suy ra kết quả.
Chú ý:- Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì hệ số góc k =a.
- Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b thì hệ số góc k = .
Ví dụ 1: Cho hàm số y = -x3 + 3x + 2. Tìm tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số góc của tiếp tuyến là -9.
DẠNG 3: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị.
Phương pháp chung:
Số nghiệm của phương trình f(x) = 0 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với trục Ox.
x1
x2
x3
O
y
x
y = f(x)
Số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) chính là số giao điểm của hai đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x).
O
y
x
y = f(x)
y = g(x)
x1
x2
x3
Biện luận số nghiệm của phương trình f(x) = g(x).
Phương pháp:
B1: biến đổi tương đương 	f(x) = g(x)
	P(x) = Q(x,m) (Q(m,x) là đa thức bậc nhất).
B2: Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của hai đồ thị:
	(C): y = P(x)
	: y = Q(x,m) (là đường thẳng).
B3: Cho chuyển động theo sự thay đổi của m, biện luận theo số giao điểm của và (C) từ đó suy ra số nghiệm của phương trình.
Dạng thường gặp của đồ thị Q(x, m).
1. Q(x, m) = m => : vuông góc với Oy tại điểm M(0, m).
y = m
y
x
(C)
O
2. Q(x,m) = kx + m. : cùng phương với đường thẳng y = kx và cắt trục Oy tại điểm M(0; m).
y
 (C) 
y = kx
x
O
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 - 3x + 1
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Dùng đồ thị (C) để biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
x3 - 3x + 1- m = 0
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) = 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Lập phương trình tiếp tuyến với (C) và song song với đường phân giác thứ hai của mặt phẳng tọa độ.
Biện luận theo k số nghiệm của phương trình 
2x2 - 2kx - 2x + k +3 = 0.
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) ;	b) y = x3 – 6x2 + 9x;	c) y = - x3 + 3x2 -2 ;
d) y = - x3 + 3x2 ; 	e) y = 2x3 + 3x2 – 1;	e) y = -x3 + 3x2 - 9x +1.
Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) y = x4 – 2x2 + 1;	b) y = -x4 + 3x2 + 4;	c) y = x4 - 3x2 + 4;
a/ y = x4 – 2x2 – 1 	b/ y = 	c/ y = - x4 + 2x2 	d/ y = x4 + x2 – 2 
Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a/ y = 	b/ y = 	c/ y = 	d/ y = 
Bài 4: Cho hàm số (C): y = -x3 + 3x + 2 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x3–3x–2+m = 0
ĐS: * m > 4: 1 n0; * m = 4: 2 n0; * 0 < m < 4: 3 n0; * m = 0: 2 n0; * m < 0: 1 n0
c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm I(0; 2). ĐS: y = 3x + 2
d) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C)
HD: PT đt đi qua 2 điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) có dạng: .
ĐS: y = 2x + 2
Bài 5: Cho hàm số (C): y = x3 + 3x2 + 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm của phương trình: x3 + 3x2 – k = 0
ĐS: * k > 4: 1 n0; * k = 4: 2 n0; * 0 < k < 4: 3 n0; * k = 0: 2 n0; * k < 0: 1 n0
c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng -1
HD: Thế x = -1 vào (C) y = 3: M(-1; 3). ĐS: y = -3x
d) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C)
ĐS: y = -2x + 1
Bài 6: Cho hàm số (C): y = - x4 + 2x2 + 1 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: -x4 + 2x2 + 1 – m = 0
ĐS: * m > 2: vô n0; * m = 2: 2 n0; * 1 < m < 2: 4 n0; * m = 1: 3 n0; * m < 1: 2 n0
c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng 2
HD: Thế y = 2 vào (C) x =1: M(-1; 2), N(1; 2). ĐS: y = 2
Bài 7: Cho hàm số (C): y = x4 – 2x2 – 3 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến là 24.
ĐS: y = 24x– 43 
Bài 8: Cho hàm số (C): y = x3 – 3x2 + 4 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = .
ĐS: y = ; y = 
Bài 9: Cho hàm số (C): y = 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường phân giác phần tư thứ nhất
HD: Đường phân giác phần tư thứ nhất là: y = x. ĐS: y = -x và y = -x + 8
Bài 10: Cho hàm số (Cm): y = 2x3 + 3(m – 1)x2 + 6(m – 2)x – 1 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 2
b) Với giá trị nào của m, đồ thị của hàm số (Cm) đi qua điểm A(1; 4). ĐS: m = 2
c) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số (C) đi qua điểm B(0; -1).
ĐS: y = -1; y = 
Bài 11: Cho hàm số (Cm): y = x4 – (m + 7)x2 + 2m – 1 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 1
b) Xác định m để đồ thị (Cm) đi qua điểm A(-1; 10). ĐS: m = 1
c) Dựa vào đồ thị (C), với giá trị nào của k thì phương trình: x4 – 8x2 – k = 0 có 4 nghiệm phân biệt. ĐS: -14 < k < 0
Bài 12: Cho hàm số (Cm): y = 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C2) 
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó 
HD: Chứng minh tử thức của y’ > 0 suy ra y’ > 0(đpcm)
c) Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua A(-1; ). ĐS: m = 2
d) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số (C2) tại điểm (1; ). ĐS: y = 
Bài 13: Cho hàm số (Cm): y = 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 0
b) Với giá trị nào của m, đồ thị của hàm số (Cm) đi qua điểm B(0; -1). ĐS: m = 0
c) Định m để tiệm cận ngang của đồ thị đi qua điểm C(; -3). ĐS: m = -4
c) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số tại giao điểm của nó với trục tung
HD: Giao điểm với trục tung x = 0, thay x = 0 vào (C) y = -1: E(0; -1). 
ĐS: y = -2x – 1 
Bài 14: Cho hàm số (Cm): y = x3 + (m + 3)x2 + 1 – m 
a) Định m để hàm số có điểm cực đại tại x = -1. ĐS: m = 
HD: * Tìm y’, tìm y” và vận dụng công thức sau
 * Để hàm số đạt cực đại (hay tiểu) tại x = 
b) Xác định m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại x = -2
HD: (Cm) cắt trục hoành tại x = -2 y = 0, thay vào (Cm). ĐS: m = 
Bài 15: Cho hàm số (Cm): y = x3 – 3mx2 + 3(2m – 1)x + 1
a) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định
HD: * Tìm y’ và vận dụng công thức sau
 * Để hàm số đồng biến (hay nghịch biến) trên tập xác định y’ 0 (hay y’ 0) 
 * m2 – 2m + 1 m = 1 
(vì m2 – 2m + 1 = 0 có nghiệm kép m = 1 và a = 1 > 0) ĐS: m = 1
b) Với giá trị nào của tham số m, hàm số có một cực đại và một cực tiểu 
HD: * Tìm y’ và vận dụng công thức sau
 * Để hàm số có cực trị (hay có một cực đại và một cực tiểu) 
y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt 
 * m2 – 2m + 1 > 0 m 1 
(vì m2 – 2m + 1 = 0 có nghiệm kép m = 1 và a = 1 > 0). ĐS: m 1
c) Xác định m để y”(x) > 6x. ĐS: m < 0
Bài 16: Cho hàm số (Cm): y = 
a) Định m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó
HD: * Tìm y’ và vận dụng công thức sau
* Để hàm số đồng biến (hay nghịch biến) trên từng khoảng xác định của nó 
y’ > 0 (hay y’ 0 (hay tử thức < 0). ĐS: - 3 < m < 1
* Giải bất phương trình bậc hai (có 2 nghiệm phân biệt) lập bảng xét dấu
b) Tìm trên (C-1) những điểm có tọa độ nguyên
HD: * Chia tử cho mẫu ta được 2 phần (phần nguyên + phần phân)
 * Để x, y nguyên phần phân nguyên tử thức mẫu thức 
ĐS: (1; 3); (-1; -5); (2; 1); (-2; -3); (4; 0); (-4; -2)
Bài 17: Xác định m để hàm số y = x3 – 3mx2 + (m + 2)x – m đồng biến trên R. 
ĐS: 
Bài 18: Định m để hàm số y = x3 – 6x2 + 3(m + 2)x – m – 6 có cực trị. ĐS: m < 2
Bài 19: Định m để hàm số y = x3 + mx2 – 2mx + m + 1 đạt cực tiểu tại x = 3. 
ĐS: m = 
Bài 20: Định m để hàm số y = x3 + mx2 – (m – 1)x + m – 5 đạt cực trị tại x = 1
HD: 	* Tìm y’ và vận dụng công thức sau
* Để hàm số đạt cực trị tại x = y’() = 0 (giải Pt suy ra giá trị m).
ĐS: m = -4
Bài 21: Định m để