Chuyên đề ôn thi Đại học năm 2010 - Bài tập khảo sát hàm số - Ngọc Vinh

BÀI TẬP KHẢO SÁT
(Ôn thi đại học) 
	 Câu I: Cho hàm số (C)
I.1. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm M(2 ; 3) đến (C)
I.2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của 2 đường tiệm cận.
I.3. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm , biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành 1 tam giác có diện tích bằng 1.
I.4. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm , biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành 1 tam giác cân.	
	Câu II: Cho hàm số 
II.1. CMR đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại 1 điểm cố định.
II.2. Tiếp tuyến tại cắt 2 tiệm cận tại A, B. CMR M là trung điểm của AB
II.3. Cho điểm . Tiếp tuyến của tại M cắt các tiệm cận của (C) tại các điểm A và B. Chứng minh diện tích tam giác AIB không đổi, I là giao của 2 tiệm cận.
Tìm M để chu vi tam giác AIB nhỏ nhất.
 	 Câu III:
	 	Cho hàm số . Tìm tham số m để hàm số có:
	1. Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung.
	2. Hai điểm cực trị cùng với gốc tọa độ O lập thành tam giác vuông tại O
	3. Hai điểm cực trị cùng với điểm M(0; 2) thẳng hàng.
	4. Khoảng cách hai điểm cực trị bằng .
	5. Cực trị và tính khoảng cách từ điểm cực tiểu đến TCX.
	6. Cực trị và thỏa mãn: .
	Câu IV: Cho hàm số (C)
	Tìm m để (C) cắt đường thẳng tại 2 điểm phân biệt A, B:
 	 a. Thuộc 2 nhánh của đồ thị (C)
 	 b. Tiếp tuyến tại A, B vuông góc với nhau
 	 c. Thỏa mãn điều kiện 
	Câu V: Cho hàm số  (1)
Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại A và B sao cho AB=2
Tìm m để đường thẳng d: và đường cong (1) cắt nhau tại A, B phân biệt sao cho M(2; 3) làm trung điểm của AB.	
 Câu VI: 
	Cho hàm số 
Dựa vào đồ thị hàm số, tùy theo m hãy biện luận số nghiệm của phương trình:
 	 a. 
 	 b. 	Câu VII: Cho hàm số (1)
	a. Tìm trên đồ thị 2 điểm A, B thuộc 2 nhánh sao cho AB min.
	b. Tính diện tích tam giác tạo bởi tiệm cận xiên và các trục tọa độ.
	Câu VIII: Cho hàm số (C)
	a. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 trục 	 	 tọa độ đạt GTNN
	b. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm 
 cận đạt GTNN
	c. Tìm 2 điểm A; B thuộc 2 nhánh của đồ thị hàm số sao cho AB min.
	 	 	.Hết 
HƯỚNG DẪN
 Câu I: Cho hàm số (C)
I.1. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm M(2 ; 3) đến (C)
I.2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của 2 đường tiệm cận.
I.3. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm , biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành 1 tam giác có diện tích bằng 1.
I.4. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm , biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành 1 tam giác cân.
	 HDG 
	Tập xác định: . Ta có: 
Bài 1:
	 Vì đường thẳng x = 2 không là tiếp tuyến của (C), nên phương trình đường thẳng đi qua M (2; 3) có hệ số góc k có dạng: tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ:
 có nghiệm
Thế k từ pt thứ hai vào pt đầu ta được:
 : Vô nghiệm
Vậy không có tiếp tuyến nào đi qua M đến (C)
Bài 2: 
	Hàm số có: TCĐ: ; TCN: 
Vì đường thẳng không là tiếp tuyến của (C), nên phương trình đường thẳng đi qua có hệ số góc k có dạng: tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ:
 có nghiệm
	Thế k từ pt thứ hai vào pt đầu ta được:
 :Vô nghiệm
	Vậy không có tiếp tuyến nào đi qua I đến (C)
Bài 3: 
	Gọi . Tiếp tuyến tại M có dạng:
Giả sử suy ra: 
 vuông tạo O
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là: hay 
Bài 4: 
	Tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành một tam giác cân nên hệ số góc của tiếp tuyến là . Gọi là tiếp điểm
	- Nếu 
	Với tiếp tuyến là: 
	Với tiếp tuyến là: 
	- Nếu : Vô nghiệm
	Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là: và 
Câu II: Cho hàm số 
II.1. CMR đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại 1 điểm cố định.
II.2. Tiếp tuyến tại cắt 2 tiệm cận tại A, B. CMR M là trung điểm của AB
II.3. Cho điểm . Tiếp tuyến của tại M cắt các tiệm cận của (C) tại các điểm A và B. Chứng minh diện tích tam giác AIB không đổi, I là giao của 2 tiệm cận.
Tìm M để chu vi tam giác AIB nhỏ nhất.
	HDG 
	Bài 1:
	 Gọi là điểm cố định của hàm số
	Với , tiếp tuyến tại M là: 
	Vậy đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại .
Bài 2: 
	Ta có: TCĐ: và TCN: 
Gọi . Tiếp tuyến tại M có dạng:
Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng d với TCN, TCĐ tương ứng nên:
Nhận thấy M là trung điểm của AB (đpcm)
Bài 3: 
	Điểm 
Phương trình tiếp tuyến của M có dạng: 
Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng d với TCN, TCĐ tương ứng nên:
Vì I là giao điểm của 2 tiệm cận nên 
+ vuông tại I nên: (đvdt)
+ Chu vi tam giác IAB là:
	Dấu = xảy ra hoặc 
Câu III:
	HDG:
	Tập xác định: 
	Ta có: 
1: 
	Hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung y’ = 0 có 2 nghiệm trái dấu
	 có 2 nghiệm trái dấu cùng khác m
	Vậy 
2: 
	Có: 
	Do đó hàm số luôn đạt cực trị tại . Ta có: 
	Gọi 2 điểm cực trị là 
	 vuông tại O 
	Vậy là giá trị cần tìm.
3:. 
	Ta có: 
	A, M, B thẳng hàng 
	 	 Đáp số: 
4: 
	Ta có: 
5: 
	 Mọi giá trị m thì hàm số luôn có cực trị.
Vì là TCX của hàm số.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = m – 1. Khoảng cách từ điểm cực tiểu đến TCX là:
6: 
	Ta có: 
	Đáp số: 
	Câu IV: Cho hàm số (C)
	Tìm m để (C) cắt đường thẳng tại 2 điểm phân biệt A, B:
 	 a. Thuộc 2 nhánh của đồ thị (C)
 	 b. Tiếp tuyến tại A, B vuông góc với nhau
 	 c. Thỏa mãn điều kiện 
	HDG:
	Xét phương trình hoành độ giao điểm:
 với 
	 cắt tại 2 điểm phân biệt A, B có 2 nghiệm phân biệt khác 
(*)
	a. Hai điểm A, B thuộc 2 nhánh của đồ thị
 có 2 nghiệm phân biệt mà 
	b. Hệ số góc của tiếp tuyến tại A. B lần lượt là:
	 nên hai tiếp tuyên tại A, B không thể vuông góc với nhau. Vậy không tồn tại m thảo mãn bài toán.
	c. Gọi là 2 nghiệm của f(x). Giả sử 
	Theo viet ta có: 
	Có: 
	Đáp số: 
Câu V: Cho hàm số  (1)
Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại A và B sao cho AB=2
Tìm m để đường thẳng d: và đường cong (1) cắt nhau tại A, B phân biệt sao cho M(2; 3) làm trung điểm của AB.	HDG 
 Xét phương trình hoành độ giao điểm: 
; với 
	Để hàm số (1) cắt đường thẳng y = m tại 2 điểm phân biệt có 2 	nghiệm phân biệt khác 1(*)
	Với điều kiện (*), gọi là nghiệm của. Theo viet có:
	Tọa độ A, B là: . Ta có:
	Đáp số: 
 Xét phương trình hoành độ giao điểm: 
	; với 
	Để hàm số (1) cắt đường thẳng tại 2 điểm phân biệt có 2 
	nghiệm phân biệt khác 1
	Với điều kiện trên, gọi là nghiệm của
	Gọi 2 giao điểm là . 
	Điểm là trung điểm của AB 
	Vậy 
	 Câu VI: 
	Cho hàm số 
Dựa vào đồ thị hàm số, tùy theo m hãy biện luận số nghiệm của phương trình:
 	 a. 
 	 b. 
	HDG 
	 Số nghiệm của phương trìnhlà số giao điểm của đường cong 	 và đường thẳng song song với trục hoành Ox khi vẽ lên hệ 	trục tọa độ Oxy.
	a. Vẽ đồ thị hàm số như sau:
 	 - Giữ nguyên phần đồ thị nằm trên trục hoành Ox của - kí hiệu là 
 	 - Lấy đối xứng phần đồ thị dưới trục hoành Ox qua Ox – kí hiệu 
	 (Các bạn tự vẽ hình)
	Kết luận: 	 phương trình vô nghiệm
 	 	 phương trình có nghiệm duy nhất
 	 	 phương trình có 2 nghiệm phân biệt
	b. Vẽ đồ thị hàm số như sau:
 	 - Giữ nguyên nhánh phải của - kí hiệu là 
 	 - Lấy đối xứng nhánh trái của qua trục hoành Ox 
	 (Các bạn tự vẽ hình)
	Kết luận: 	 phương trình vô nghiệm
 	 	 	 phương trình có nghiệm duy nhất
 	 phương trình có 2 nghiệm phân biệt
	Câu VII: Cho hàm số (1)
	a. Tìm trên đồ thị 2 điểm A, B thuộc 2 nhánh sao cho AB min.
	b. Tính diện tích tam giác tạo bởi tiệm cận xiên và các trục tọa độ.
	HDG 
 Ta có: 
	Gọi thuộc nhánh trái, thuộc 	nhánh phải của đồ thị hàm số với .
	Ta có: 
	Dấu = xảy ra 
	Vậy thì 
	b. Hàm số có TCX: . 
	Gọi ; 
	Nên (đvdt)
	Câu VIII: Cho hàm số (C)
	a. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 trục 	 	 tọa độ đạt GTNN
	b. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm 
 cận đạt GTNN
	c. Tìm 2 điểm A; B thuộc 2 nhánh của đồ thị hàm số sao cho AB min.
	HDG
. Gọi . Tổng khoảng cách từ M đến 2 trục tọa độ là:
	Với 
	Với 
 	 Dấu = xảy ra khi 
	Vậy thì 
. Khoảng cách tứ M đến TCN, TCĐ làn lượt là: ;
	, dấu = xảy ra khi 
	Kết luận: hoặc là các điểm cần tìm
	c . Gọi thuộc nhánh trái, thuộc nhánh phải 	 của đồ thị hàm số (C), với . Ta có:
	Dấu bằng xảy ra
	Vậy hai điểm cần tìm là: ; thì 
 	 .Hết