Chuyên đề Ôn thi Đại học môn Toán - Số phức - Phan Quang Bình

Chuyªn ®Ị : sè phøc
KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1/ Tập hợp số phức: C
2/ Hai số phức bằng nhau: a + bi = a’ + b’i
3/ Cộng và trừ số phức : 
 . (a + bi) + (a’+ b’i) = (a + a’) + (b + b’)i
 . (a + bi) – (a’ + b’i) = (a – a’) + (b – b’)i (a, b, a’, b’
Số đối của z = a + bi là –z = -a – bi (a, b 
z biểu diễn , z’ biểu diễn thì z + z’ biểu diễn bởi và z – z’ biểu diễn bởi 
4/ Nhân hai số phức : (a + bi)(a’ + b’i) = (aa’-bb’) + (ab’ + ba’)i (a, a’, b, b’.
5/ Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là 
 a) 
 b) z là số thực ; z là số ảo 
6/ Môđun của số phức : z = a + bi 
 a) 
 b) 
 c) 
7/ Chia hai số phức :
 a) Số phức nghịch đảo của z (z: 
 b) Thương của z’ chia cho z (z: 
 c) Với z, 
8/ Căn bậc hai của số phức : z = x + yi là căn bậc hai của số phức w = a + bi (a, b, x, y
9/ Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (A, B, C là số phức cho trước, A ).
 a) : Phương trình có hai nghiệm phân biệt , ( là 1 căn bậc hai của 
 b) : Phương trình có 1 nghiệm kép là 
12/ Dạng lượng giác của số phức : 
 z = (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (a, b 
 + là một acgumen của z.
 + 
13/ Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác.
Nếu z = r(costhì :
 a) ]
 b) 
14/ Công thức Moa-vrơ : thì 
15/ Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác :
Căn bậc hai của số phức z = r(cos (r > 0) là : và 
BÀI TẬP
Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau :
 a) (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i) ĐS : 1 và 1
 b) (1 + i)2 – (1 – i)2 ĐS: 0 và 4
 c) (2 + i)3 – (3 – i)3 ĐS: -16 và 37
 d) ĐS :và 
Bài 2: Cho số phức z = x + yi. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức :
 a) z2 – 2z + 4i ĐS: x2 – y2 – 2x và 2(xy – y + 2)
 b) ĐS: và 
Bài 3: Phân tích ra thứa số : 
 a) a2 + 1 	 	 	 ĐS: (a – i)(a + i) 
 b) 2a2 + 3 	 ĐS:
 c) 4a4 + 9b2 	 	 ĐS: (2a – 3bi)(2a + 3bi) 
 d) 3a2 + 5b2 	 ĐS: 
Bài 4: Thực hiện phép tính :
 	 ĐS: 
 	 ĐS: i
 	 ĐS: -i 
 	 ĐS: 
 	 ĐS: 
 	ĐS: 
 	ĐS: 
 (2 – i)6 	ĐS: -117 – 44i
 	ĐS:1+i
	ĐS:
	ĐS:
Bài 5: Giải các phương trình sau (ẩn z):
 	ĐS: 
 	ĐS: -1 + i ; 1/2
 	ĐS: 2/3 + 4i
 	ĐS: 0, -1, 
 	ĐS: 0, i, -i
 	ĐS: bi (b
 	ĐS: 0, 1 , -1
x3 – 1 = 0	ĐS: x1 = 1; ;.
	ĐS:
Bài 6: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi điều kiện sau:
 	 	ĐS: x = 1/2 và x = -7/2
 = 2 	 ĐS: y = 
2|z – i| = 	 	ĐS: y = 
	 	 	ĐS:
	ĐS:y=0
Bài 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của nếu .
Bµi 8. Trong c¸c sè phøc z tho¶ m·n ®iỊu kiƯn . T×m sè phøc z cã modul nhá nhÊt.	 	ĐS:
Bµi 9. XÐt c¸c ®iĨm A, B, C trong mỈt ph¼ng phøc theo thø tù biĨu diƠn c¸c sè phøc .
 a) Chøng minh ABC lµ tam gi¸c vu«ng c©n;
 b) T×m sè phøc biĨu diƠn bëi ®iĨm D sao cho tø gi¸c ABCD lµ h×nh vu«ng.
Bài 10: Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau :
 a) -1 + 4 ĐS: b) 4 + 6 ĐS: 
 c) -1 - 2 ĐS: d) -5 + 12.i ĐS: (2 + 3i)
Bài 11. a,T×m hai sè thùc x,y tho¶ m·n: ĐS: ; 	b, T×m c¸c sè nguyªn x,y sao cho sè phøc tho¶ m·n .
	 ĐS: 
Bài 12: Giải các phương trình sau trong C.
 	ĐS: 
 	ĐS: 
 x2 – (3 – i)x + 4 – 3i = 0 	ĐS: 2 + i ; 1 – 2i 
	ĐS: 
 	ĐS: 
 3i.x2 – 2x – 4 + i = 0 ĐS: ; 
 	ĐS: 
Bài 13: Giài các hệ phương trình :
 ĐS:(3 – i; 1 + 2.i) và (1 + 2.i; 3 – i) 
 ĐS: (2 – i; -1 – 3.i), (-1 – 3i; 2 – i), (-2 + i; 1 + 3i), (1 + 3i; -2 + i)
 ĐS:
Bài 14: Tìm một acgumen của mỗi số phức sau: 
 a) ĐS: b) 4 – 4i ĐS: 
 c) 1 - ĐS: d) ĐS: 
 e) 	ĐS: f) ĐS: 
Bài 15: Thực hiện phép tính :
3(cos20o + isin20o)(cos25o + isin25o) 	ĐS: 
5 	ĐS: 15(cos
 	ĐS: 
 	ĐS: 
Bài 16: Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:
 a) 	ĐS: ]
 b) 1 + i 	 ĐS: 
 c) 	ĐS: 
 d) 	ĐS: 
 e) 	ĐS: 
 f) 	ĐS: 
 g) z = 	ĐS: 
Bài 17: Tính :
(cos12o + isin12o)5 	ĐS: 
[)]7 	ĐS: 
 	ĐS: -2 6
(1 + i)16 	ĐS: 2 8
 	ĐS: 1
 	ĐS: 
 	ĐS: 221
Bµi 18*. Tính tổng 
A = = 21004
B = = - 21004
Bµi 19*. Tính tổng: D = 
E = 
Bµi tËp lµm thªm