Chuyên đề Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số thường gặp

 3)x2 + (4m –1)x – m đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x1 < –2 < x2.
Giải
Tập xác định : D = R
y’ = 3x2 – 2(m – 3)x + 4m – 1
y’ = 0 Û 3x2 – 2(m – 3)x + 4m – 1 = 0 (1)
Để hàm số đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x1 < –2 < x2 thì (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn x1 < –2 < x2 . 
Û (x1 + 2 )(x2 + 2) < 0 Û x1x2 + 2(x1 + x2) + 4 < 0
Áp dụng định lí viet ta có : Û 8m – 1 < 0 Û 
 	Ví dụ 2 Cho hàm số y = x4 + 2mx2 + 1. Tìm giá trị của tham số m để đồ thị có 3 điểm cực trị và đường tròn đi qua 3 điểm này có bán kính bằng 1
Giải
Tập xác định D = R
Ta có : y’ = 4x3 + 4mx
y’ = 0 Û 
Hàm số có 3 cực trị khi y’ đổi dấu 3 lần trên D Û y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt Û m < 0
Khi đó ta có 3 điểm cực trị là A(0 ; 1), B( ; 1 – m2), C( ; 1 – m2)
Theo tính chất của đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương, ta có DABC cân tại A, Gọi D là trung điểm của cạnh BC thì xét DADC vuông tại D ta có sinC = .
Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp DABC, áp dụng định lí sin trong DABC ta có 
Û –m + m4 = 2m2 Û m3 – 2m – 1 = 0 Giải tìm và kiểm tra lại ta được m = –1, 
 	Ví dụ 3 Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + m2x + m có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng x – 2y – 5 = 0
Giải
Tập xác định : D = R
Ta có y’ = 3x2 – 6x + m2.
Để hàm số có hai điểm cực trị thì y’ phải đổi dấu hai lần Û y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt
Û D’ > 0 Û 9 – 3m2 > 0 Û 
Đường nối hai cực trị là (d) có phương trình : 
Gọi A(x1 ; y1), B(x2 ; y2) là hai điểm cực trị của hàm số đã cho khi đó trung điểm I của đoạn AB có toa độ là I(1 ; m2 + m – 2) 
A, B đối xứng với nhau qua (D) : Û (d) ^ (D) và I Î (D)
Þ 
 	Ví dụ 4 (2013B) Cho hàm số , với m là tham số thực.
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x + 2.
Giải
Tập xác định : D = R
Hàm số (1) có 2 cực trị A và B Û y’=0 có 2 nghiệm phân biệt Û (m + 1)2 – 4m > 0 Û m ¹ 1.
Ta có là đường thẳng qua A và B
	Vậy m = 0 hay m = 2 thì thoả mãn yêu cầu của bài toán.
	Ví dụ 5 (2012A) Cho hàm số ,với m là tham số thực.
	Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông
Giải
 y’ = 4x3 – 4(m + 1)x
	y’ = 0 Û x = 0 hay x2 = (m + 1)
	Hàm số có 3 cực trị Û m + 1 > 0 Û m > -1
	Khi đó đồ thị hàm số có 3 cực trị A (0 ; m2),	B (-; – 2m – 1); C (; –2m – 1)
	Do AB = AC nên tam giác chỉ có thể vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC 
Þ M (0; -2m–1)
Do đó BC = 2AM (đường trung tuyến bằng nửa cạnh huyền) 
Û 2 = 2(m2 + 2m + 1) Û (m + 1)2 = Û (m + 1)4 = m + 1 Û (m + 1)3 = 1 
Û 1 = (m + 1) Û m = 0
 	Ví dụ 6 (2014B) Cho hàm số y = x³ – 3mx + 1(1), với m là tham số thực.Cho điểm A(2; 3). Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị B và C sao cho ΔABC cân tại A.
Giải
Ta có . Đồ thị hàm số đã cho có 2 cực trị khi có 2 nghiệm phân biệt hay 
Gọi là 2 cực trị của hàm số. Tam giác cân ở khi hay 
Phương trình cuối có nghiệm dương duy nhất là . 
Vậy giá trị cần tìm là 
Ví dụ 7 
Tìm m để đồ thị hàm số y = -x4 + mx2 (1) có ba cực trị là ba đỉnh của một tam giác đều.
Thầy (cô) dùng phương pháp của mình giúp học sinh phân tích và tìm ra lời giải cho bài toán trên?
B1: Tìm tập xác định
B2 :Tính y’
B3 : hàm số có ba cực trị Þ y’= 0 có 3 nghiệm phân biệt Þ toạ độ của 3 điểm cực trị
B4 : DOAB đều Þ OA = AB Þ tham số m
Giải
Tập xác định D = R
y’ = -x3 + 3mx = -x(x2 - 3m)
y’ = 0 Û x = 0 hoặc x2 = 3m
Điều kiện để hàm số (1) có 3 cực trị là 3m > 0 Û m > 0
Khi đó 3 điểm cực trị : O(0 ; 0) , , 
DOAB đều Û Þ OA = AB
 Þ Û 3m + = 12m Û m3 = Û m = (thoả mãn)
Bài tập tự nghiên cứu
 	Bài 1 Tìm m để mỗi hàm số sau có cực trị thoả mãn điều kiện cho trước
	a) y = x4 + 2(m – 1)x2 + m + 5 có 3 cực trị 	Đ/S : m < 1
	b) y = x3 – x + m có hai cực trị trái dấu 	Đ/S : 
	c) y = –x3 + 3(m + 1)x2 – (3m2 + 7m – 1)x + m2 – 1 đạt cực tiểu tại một điểm có hoành độ nhỏ hơn 1
 	Bài 2 Tìm m để đồ thị của hàm số y = x3 – 3mx2 + (m2 + 2m – 3)x + 4 có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục Oy 	Đ/S : –3 < m < 1
 	Bài 3 Tìm m để hàm số y = x3 + 2(m – 1)x2 + (m2 – 4m + 1)x – 2m2 – 2 có hai điểm cực trị x1, x2 thoả mãn điều kiện 	Đ/S : m = 1, m = 5
 	Bài 4 Tìm m để hàm số đại cực trị tại x1, x2 sao cho x1 < –1 < x2 	Đ/S: m < –3
 	Bài 5 Tìm m để đồ thị của hàm số y = x3 – mx2 – x + m + 11 hai điểm cực trị sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất. 	Đ/S : khi m = 0
 	Bài 6 Cho hàm số (1). Tìm m dể hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân	Đ/S : m = –1, m = 1
 	Bài 7 Cho hàm số . Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu , đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4 	 	Đ/S : m = 1 
 	Bài 8 Cho hàm số y = - x3 + 3mx2 -3m – 1.Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x + 8y – 74 = 0 	Đ/S : m = 2
 	Bài 9 Cho hàm số 1). Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến góc tọa độ O bằng lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến góc tọa độ O 	Đ/S : ,.
BÀI TOÁN 3 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
 PP : 
* Dạng 1 Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0 ; y0)
	 B1 : phương trình tiếp tuyến có dạng y = y’(x0)(x – x0) + y0. (1)
 	 B2 : Tính x0 hoặc y0 (nếu chưa có)
 	 B3 : Tính y’ và y’(x0) 
 	 B4 : Thế vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
	* Dạng 2 Phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k
 	B1 : Gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm
 	B2 : phương trình tiếp tuyến có dạng y = y’(x0)(x – x0) + y0. (1)
 	B3 : Giải phương trình y’(x0) = k tìm x0 và tính y0.
 	B4 : Thế vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
 	Ví dụ 1 Cho hàm số có đồ thị (C).Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất 
Giải
Lấy điểm (điều kiện m ¹ 2). Ta có : .
Tiếp tuyến (d) tại M có phương trình : 
Giao điểm của (d) với tiệm cận đứng là : 
Giao điểm của (d) với tiệm cận ngang là : B(2m – 2 ; 2)
Ta có : . Dấu “=” xảy ra khi m = 1 ; m = 3
 	Ví dụ 2 Cho hàm số có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành tại A, cắt trục tung tại B sao cho OA = 4OB
Giải
 Vì OA = 4OB vàOAB vuông tại O nên có 
Tiếp tuyến AB có hệ số góc k = 
 Phương trình y’(x0) = k 
Với x0 = 3y0 = 0, tiếp tuyến có phương trình 
Với x0 = -5 y0 = 2, tiếp tuyến có phương trình 
 	Ví dụ 3 Cho hàm số có đồ thị (C). Tìm những điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng d: 4x + y = 0.
Giải.
Gọi M là điểm cần tìm. Gọi tiếp tuyến với (C) tại M ta có phương trình.
:
Gọi A = ox A(;0); B = oy B(0; ). 
Khi đó tạo với hai trục tọa độ OAB có trọng tâm là: G.
Do G d:4x + y = 0
 (vì A, B O nên )
Với ; với .
 	Ví dụ 4 Cho hàm số (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất.
Giải.
 Giả sử mà tiếp tuyến với đồ thị tại đó có khoảng cách từ tâm đối xứng đến tiếp tuyến là lớn nhất.
Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng  D : 
Ta có d(I , D) = . 
d(I ;D) lớn nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất
A ³ 
A nhỏ nhất khi 
+ Với x0 = 0 ta có tiếp tuyến là y = -x
+ Với x0 = 2 ta có tiếp tuyến là y = -x + 4
Bài tập tự nghiên cứu
 	Bài 1 Cho hàm số . Lập phương trình tiếp tuyến d của (C) sao cho d và hai tiệm cận cắt nhau tạo thành một tam giác cân
 	Bài 2 Cho hàm số . Tìm những điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A, B sao cho vòng tròn ngoại tiếp tam giác IAB có bán kính nhỏ nhất . Với I là giao hai tiệm cận
 	Bài 3 Cho hàm số . (1). Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (1) tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 
 	Bài 4 Cho hàm số y = có đồ thị (C) . Cho điểm M thuộc (C) có hoành độ xM = a. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M, với giá trị nào của a thì tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác M
 	Bài 5 (2014D) Cho hàm số y = x3 – 3x – 2 (1). Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc bằng 9
BÀI TOÁN 4 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ
 	PP 
	B1 : Lập phương trình hoành độ giao điểm : f(x) = g(x) (1)
 	B2: Số giao điểm của (C) và (C’) là số nghiệm của phương trình (1)
 	B3: Biện luận phương trình (1)
 	Ví dụ 1 Cho hàm số (C). Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB = .
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm: 2x2 + mx + m + 2 = 0 , (x≠ – 1) (1)
d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt Û PT(1) có 2 nghiệm phân biệt khác –1 Û m2 – 8m – 16 > 0 (2)
Gọi A(x1; 2x1 + m) , B(x2; 2x2 + m. Ta có x1, x2 là 2 nghiệm của PT(1).
Theo ĐL Viét ta có .
AB2 = 5 Û Û Û m2 - 8m - 20 = 0
Û m = 10 , m = – 2 ( Thỏa mãn (2))
 	Ví dụ 2 Cho hàm số y = x3 + mx + 2 (1) . Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hòanh tại một điểm duy nhất.
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm : x3 + mx + 2 = 0 ( x 
 Xét f(x) = = 
 Ta có x - 0 1 +
 f’(x) + + 0 –
 f(x) + –3 
 - – –
Đồ thị hàm số (1) cắt trục hòanh tại một điểm duy nhất 
 	Ví dụ 3 Cho hàm số y = (C). Tìm m để đường thẳng (d ): y = x + m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị sao cho khoảng cách giữa 2 điểm đó là nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Giải
 Để (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thì pt hay x2 + (m - 4)x -2x = 0 (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 2. 
Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 2 khi và chỉ khi (2).
Giả sử A(x1;y1), B(x2;y2) là 2 giao điểm khi đó x1, x2 là 2 nghiệm phương trình (1). Theo định lí viet ta có với y1 = x1 + m, y2 = x2 + m
Để A, B thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị thì A, B nằm khác phía đối với đường thẳng x–2=0. A, B nằm khác phía đối với đường thẳng x – 2 = 0 khi và chỉ khi (x1– 2)(x2 – 2) < 0 hay 
x1x2 – 2(x1 + x2) +4 < 0 (4) thay (3) vào 4 ta được – 4 < 0 luôn đúng (5)
mặt khác ta lại có AB =(6)