Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 môn Toán - Phần I: Đại số - Trần Trung Chính


 s) 
1 1 7
 + + xy = 
x y 2
2(x + y) = 3xy





t) 
2 2
2 2
1 1
x + y + + = 4
x y
1 1
x + y + + 4
x y




 

 u) 
2
x(x + 2)(2x + y) = 9 
x + 4x + y = 6



 v)
2 2
2 2
1
(x + y)(1 + ) = 5
xy
1
(x + y )(1 + ) = 49
x y






w) 
  
  
2 2
2 2
x - y x - y = 3
x + y x + y = 15




 y) 
1 1 4
+ =
3x y
xy = 9





 z)
 
 2 2 2 2
1
x + y 1+ = 5
xy
1
x + y 1+ = 49
x y
  
  
  

 
 
 
Bài tập 2: Cho hệ phương trình: 
2 2
x + xy + y = m +1
x y + xy = m



 (m là tham số) 
a) Giải hệ phương trình với m = 2. 
b) Tìm m để hệ có ít nhất một nghiệm  x; y thỏa mãn x 0 và y 0 . 
Bài tập 3: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 
2 2 2
x y m
x y m 6
 

   
 (m là tham số) 
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:  F xy 2 x y   . 
Bài tập 4: Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: 
 
 
2 2x y xy 2 m 1
2xy x y 2 m 2
   

   
 (m là tham số) 
Bài tập 5: Tìm m để hệ phương trình: 
2 2
x xy y m
x y xy 3m 8
  

  
 (m là tham số) 
có nghiệm. 
Bài tập 6: Gọi  x; y là nghiệm của hệ phương trình: 
2 2 2
x y 2a 1
x y a 2a 3
  

   
 (a là tham số) 
Xác định a để xy đạt giá trị nhỏ nhất. 
Bài tập 7: Cho hệ phương trình: 
 
 
2 2
2
x y 2 a 1
x y 4
   

 
 (a là tham số) 
a) Giải hệ phương trình với a = 2. 
b) Các giá trị của a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. 
Bài tập 8: Cho hệ phương trình: 
2 2x + y = m
x + y = 6



 (m là tham số) 
a) Giải hệ phương trình với m = 26. 
b) Tìm giá trị m sao cho hệ phương trình vô nghiệm. 
c) Tìm giá trị m sao cho hệ phương trình có nghiệm. 
d) Tìm giá trị m sao cho hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất. 
e) Tìm giá trị m sao cho hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt. 
Bài tập 9: Cho hệ phương trình: 
www.VNMATH.com
.:: CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. 
Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 149 
2 2
x + y + xy = m +1
x y + xy = 3m -5



 (m là tham số) 
a) Giải hệ phương trình với m = 26 
b) Tìm giá trị m sao cho hệ phương trình vô nghiệm 
c) Tìm giá trị m sao cho hệ phương trình có nghiệm 
d) Tìm giá trị m sao cho hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất 
e) Tìm giá trị m sao cho hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt 
Bài tập 10: Tìm m để các hệ phương trình sau có nghiệm: 
2 2x + y + x + y = 8
xy(x + 1)(y + 1) = m



 (m là tham số) 
Bài tập 11: Cho các hệ phương trình sau: 
2 2 2
x + y = 4
x + y = m



 (m là tham số) 
a) Giải hệ phương trình với m = 12. 
b) Tìm giá trị m sao cho hệ phương trình có nghiệm 
Bài tập 12: Giải biện luận các hệ phương trình sau theo tham số a, m: 
a) 
x y
 + = a
y x
x + y = 8





 b) 
x - 4 + y - 1 = 4
x + y = 3a



 c) 
2x + y -1 = m
2y + x -1 = m



Bài tập 13: Cho hệ phương trình: 
2 2x y 4m
2xy 1 2m
  

 
 (m là tham số) 
Tìm m để hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt. 
Đáp số: a = 
1
4
Bài tập 14: Giải hệ phương trình theo ẩn x và y với tham số a  0. 
4 4
2
x y 2a
x y xy a 2a
  

   
 (a là tham số) 
(Đề thi tuyển chọn đội tuyển Toán 9, Thanh Hoá năm 1995-1996) 
Đáp số: (x , y) = (a, a) 
Bài tập 15: Giải hệ phương trình: 
x y xy 3
x y xy 1
  

  
Giải hệ phương trình trên. 
Đáp số: (x, y) = (1, 1) 
Bài tập 16: Cho hệ phương trình: 

 

  
x y
a
y x
x y 8
 (a là tham số) 
Tìm a để hệ phương trình có nghiệm kép dương. 
Đáp số: a = 2. 
Bài tập 17: Giải hệ phương trình: 
 
4 4
2 2
x y 97
xy x y 78
  

 
Hướng dẫn: Đặt: x2 + y2 = S và xy = P. 
Bài tập 18: Giải hệ phương trình: 
.:: CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. 
Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 150 
2 2
2 2
x xy y 12
x y y x 16
   

 
Đáp số: (x, y) = (2, 2); (2, -4), (-4, 2) 
Bài tập 19: Giải hệ phương trình: 
2 2
2 2
x 3xy y 1
3x xy 3y 13
    

  
Đáp số: (1, 2); (-1, -2); (2, 1); (-2, -1) 
Bài tập 20: Cho hệ phương trình: 
x xy y m 1
xy(x y) m
   

 
 (m là tham số) 
Tìm m để hệ có nghiệm (x, y) thoả điều kiện x > 0 và y > 0. 
Đáp số: 0 < m 
1
4
 hay a  2. 
Bài tập 21: Giải hệ phương trình theo ẩn x và y. 
3 3 3 3
x y m n
x y m n
  

  
(m, n là các tham số) 
Đáp số: (x, y) = (m, n); (n, m) 
Bài tập 22: Cho hệ phương trình: 
 
 
2
2 2
x y 4
x y 2 1 k
  

  
 (k là tham số) 
Tìm k để hệ phương trình có đúng hai nghiệm. 
Đáp số: k = 0. 
4. Hệ phƣơng trình đối xứng loại II: 
4.1. Kiến thức cơ bản: 
 Hệ phương trình đối xứng loại II theo ẩn x và y là hệ phương trình mà khi ta đổi vai trò của x 
cho y thì hai phương trình của hệ sẽ hoán đổi cho nhau. 
Dạng phương trình 
f(x, y) = 0
f(y, x) = 0



Cách giải: 
Bước 1: Cộng hoặc trừ hai vế của hai phương trình để đưa hệ phương trình về phương trình tích 
và lập hệ phương trình : 
Đưa về dạng 
f(x, y) - f(y, x) = 0
f(x, y) = 0



 hoặc 
f(x, y) + f(y, x) = 0
f(x, y) = 0



x = y
(x - y).f(x, y) = 0
f(x, y) = 0

 

Bước 2: Giải hệ phương trình vừa lập được. 
Bước 3: Xét nghiệm của hệ phương trình là nghiệm của từng phương trong hệ ở bước 1. 
4.2. Bài tập áp dụng: 
Bài tập 1: Giải hệ phương trình: 
2
2
x 1 3y
y 1 3x
  

 
 (Đề thi giải thưởng Lương Thế Vinh, Quận 1 TP HCM: 2-4-1994) 
 Giải 
Hệ phương trình: 
2
2
x +1 = 3y (1)
y +1 = 3x (2)



www.VNMATH.com
.:: CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. 
Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 151 
Trừ (1) và (2), ta có: 
 x
2
 - y
2
 = 3y - 3x 
 (x - y)(x + y -3) = 0 
Vậy hệ đã cho tương đương với 
2x +1 = 3y
(x - y)(x + y -3) = 0



 
2x +1 = 3y
(x - y)
x = y -3 = 0





2
2
x 1 3y
x y 0
x 1 3y
x y 3 0
  

 
 
  
   
 Giải hệ phương trình: 
2
3 5
x
2
3 5
y
x 1 3y 2
x y 0 3 5
x
2
3 5
y
2
 


 
       
 

  

Giải hệ phương trình: 
2
3 41
x
2
9 41
y
x 1 3y 2
x y 3 0 3 5
x
2
9 5
y
2
  


 
         
 

  

Bài tập 2: Giải hệ phương trình: 
2 2
2 2
x - 2y = 2x + y
y - 2x = 2y + x



 Giải 
Trừ hai phương trình của hệ trên, ta được: 
 3x
2
 - 3y
2
 = x - y  (x - y)(3x + 3y -1) = 0 
Ta có hệ phương trình tương đương: 
2 2x - 2y = 2x + y
(x - y)(3x + 3y -1) = 0




2 2
2 2
2 2
x - 2y = 2x + y
x - 2y = 2x + y
x - y = 0
x - y = 0
x - 2y = 2x + y
3x + 3y -1 = 0
3x + 3y -1 = 0

 
 
 
   
Giải hệ phương trình: 
2 2
x = 0
y = 0x - 2y = 2x + y
x - y = 0 x = -3
y = -3


   

.:: CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. 
Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 152 
Giải hệ phương trình: 
2 2x - 2y = 2x + y
3x + 3y -1 = 0



 hệ này vô nghiệm. 
Bài tập 3: Giải phương trình: 
3
3
x 2x y
y 2y x
  

 
 Giải 
Trừ hai phương trình cho nhau ta được: 
 x
3
 - y
3
 = x - y  (x - y)(x2 + xy + y2 - 1) = 0 
Ta có hệ phương trình: 
3
3
3
2 2
2 2
x 2x y
x 2x y
x y
x y
x 2x y
x xy y 1 0
x xy y 1 0
  
   
 
 
             
Giải hệ phương trình: 
3
x = 0
y = 0
x = 3x = 2x + y
x = y y = 3
x = - 3
y = - 3




 
 
 




Giải hệ phương trình: 
3
2 2
x = 2x + y x = -1
y = 1x + xy + y -1 = 0
 
 
 
Bài tập 4: Giải hệ phương trình: 
2 2
2 2
x y 2 y
xy 2 x
  

 
 Giải 
Trừ hai phương trình ta được phương trình: 
 (x - y)(xy + x + y) = 0 
Ta có hệ phương trình: 
2 2
2 2
2 2
x y 2 y
x y 2 y
x y
x y
x y 2 y
xy x y 0
xy x y 0
  
   
 
 
          
Xét hệ phương trình: 
2 2 x 1x y 2 y
y 1x y
    
 
  
Xét hệ phương trình: 
2 2x y 2 y
xy x y 0
  

  
Phương trình này vô nghiệm. 
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là 
x 1
y 1
 

 
Bài tập 5: Giải hệ phương trình: 
2
2
x xy y 1
x xy y 1
   

  
www.VNMATH.com
.:: CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. 
Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 153 
 Giải 
Trừ hai vế của phương trình ta được PT: 
 (x - y)(x + y -1) = 0 
Ta có hệ phương trình: 
2
2
2

 
 
 
   
x + xy + y = 1
x + xy + y = 1
x = y
x = y
x + xy + y = 1
x + y -1 = 0
x + y -1 = 0
Xét hệ phương trình: 
2
x = -1
y = -1
x = xy + y = 1 1
x =
x + y -1 = 0 2
1
y =
2



   


Xét hệ phương trình: 
2 x y 1 x tx xy y 1
, t R
x y 1 y 2tx y 1 0
            
      
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là (-1; -1), 
1 1
; 
2 2
 
 
 
, (t; 2t) với tR+ 
Bài tập 6: Giải hệ phương trình: 
x
x 3y 4
y
y
y 3x 4
x

 

  

 Giải 
Trừ từng vế của hệ phương trình ta được: 
 (x
2
 - y
2
) = -4(x - y)  (x - y)(x + y + 4) = 0 
x y
y 4 x

 
  
Xét x = y, hệ phương trình ttương đương với: 
2
x y
x y 2
x 2x 0

   
 
Xét y = -4 - x, hệ phương trình tương đương với 
2
y 4 x
x y 2
x 4x 4 0
  
   
  
Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm (x, y) là (-2, -2) 
Bài tập 7: Cho hệ phương trình: 
2
2
x y y m
y x x m
   

  
Tìm giá trị m để hệ có nghiệm. 
 Giải 
Trừ từng vế của phương trình, ta được: 
 x
2
 - y
2
 = 0 
x y
x y

 
 
Khi đó hệ phương trình tương đương với 
2
x y
 (I)
x 2x m 0


  
 hoặc 
2
x y
 (II)
x m 0
 

 
Để hệ có nghiệm khi và chi khi 
.:: CHUYÊN ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT ::. 
Biên soạn: Trần Trung Chính Trang số 154 
 
 
 
 
I
II
0I cã nghiÖm 1 m 0
m 1