Chuyên đề luyện thi Đại học - Tích phân - Nguyễn Tiên Phong

§2. Tích phân
I. Định nghĩa:
Cho hàm số liên tục trên và là một nguyên hàm của trên . Hiệu gọi là tích phân từ a đến b của hàm số , ký hiệu là .
VD: 	1) 
Chú ý: Từ các VD này ta cĩ nhận xét:
- Tích phân khơng phụ thuộc biến, chỉ phụ thuộc hàm số và cận lấy tích phân.
- Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số liên tục, khơng âm trên đoạn thì diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục và hai đường thẳng 
2. Tính chất: 
Cho là hai hàm số liên tục trên và . Ta cĩ:
3. Ví dụ: Tính các tích phân sau:
4. Các phương pháp tính tích phân:
4.1. Đổi biến:
4.1.1. Đổi biến dạng 1:
ĐL: Cho tích phân . Nếu hàm số liên tục trên đoạn với và thì: 
Quy tắc thực hành:
	B1: Chọn , tính cận .
	B2: Biến đổi thành 
	B3: là tích phân dễ tìm được nguyên hàm của .
Chú ý: Các tích phân sau, nếu khơng cĩ cách giải nào khác thì được áp dụng pp đổi biến dạng 1 như sau:
	1 - chứa , thì đặt 
	2 - chứa hoặc thì đặt 
	3 - chứa thì đặt 
VD: Tính các tích phân sau:
4.1.2 Đổi biến dạng 2:
Để tính ta cĩ thể làm như sau:
	B1: Đặt , với điều kiện liên tục trên .
	B2: Đổi cận: 
	B3: Biến đổi thành . Khi đĩ ta cĩ: là tích phân dễ giải.
Chú ý: Thường đặt các biểu thức cồng kềnh trong là t, như căn, biểu thức trong luỹ thừa bậc cao,...
VD: Tính các tích phân sau:
4.2. Tích phân từng phần:
Cơng thức tính tích phân từng phần:
Cách chọn : Trong tích phân , nếu coi bộ phận này là u thì bộ phận cịn lại là dv.
VD: Xét , nếu coi nếu coi .
Nguyên tắc chọn : Chọn u là bộ phận cĩ u’ đơn giản hơn u, đồng thời dv là bộ phận dễ tìm ra v.
Trong VD trên cách chọn thứ 2: là cách chọn đúng.
Chú ý: Ký hiệu là một đa thức, một số dạng tích phân từng phần hay gặp như sau:
Dạng thì đặt .
Dạng thì đặt .
Dạng thì đặt tốt hơn đặt .
Tĩm lại, thứ tự ưu tiên các hàm như sau: 
VD: Tính các tích phân sau:
§3. Tích phân của một số lớp hàm quan trọng
I. Tích phân của hàm số hữu tỉ: Phương pháp chung: Đổi biến, tích phân từng phần.
1) Tích phân dạng: . ĐK: .
Xét .
- Nếu 
- Nếu với là 2 nghiệm của tam thức ở mẫu.
Khi đĩ: 
- Nếu thì . Đặt thì tính được.
VD: Tính các tích phân: 
2) Tích phân dạng: .
Xét tich phân với là các đa thức và xác định trên đoạn .
- Nếu bậc của < bậc của thì ta nĩi là phân thức thực sự.
- Nếu bậc của bậc của thì lấy chia cho ta được: trong đĩ là đa thức, cịn là một phân thức thực sự.
Một phân thức thực sự luơn phân tích được thành tổng của các phân thức đơn giản, đĩ là các phân thức dễ tìm được nguyên hàm. Cĩ 4 phân thức đơn giản là:
Để phân tích 1 phân thức thực sự thành tổng của các phân thức đơn giản ta dùng phương pháp hệ số bất định.
Ta cĩ: 
 xét sau.
Xét các trường hợp sau:
- chỉ chứa các nghiệm đơn thì đặt: . Để xác định các số ta dùng phương pháp hệ số bất định.
- thì đặt . A, B, C tìm bằng phương pháp hệ số bất định.
- thì đặt . A, B, C tìm bằng phương pháp hệ số bất định.
VD: Tính tích phân: 
3) Một số trường hợp đặc biệt:
- Dạng 
Cách 1: Giải bằng phương pháp hệ số bất định. Tìm các số thực A, B, C, D thoả mãn:
Cách 2: Do nên: 
từ đĩ tính được tích phân này.
VD: Tính tích phân: 
- Dạng .
Cách giải: Đổi biến dạng 2. Đặt rồi tính.
Bài tập: Tính các tích phân:
II. Tích phân hàm lượng giác:
Đây là một lớp hàm quan trọng trong chương trình. Để tính tích phân của hàm lượng giác, ta cĩ thể dùng phương pháp đổi biến, tích phân từng phần hoặc phân tích.
Dạng 1: Tính tích phân 
- Nếu n chẵn thì dùng cơng thức hạ bậc.
- Nếu n lẻ thì biến đổi như sau:
, từ đĩ dùng khai triển nhị thức Niu tơn để giải tiếp. 
 giải tương tự.
VD: Tính tích phân 
Dạng 2: 
- Nếu n lẻ thì đặt 
- Nếu m lẻ thì đặt 
- Nếu m, n cùng chẵn và 1 trong 2 số đĩ âm thì đặt 
- Nếu m, n cùng chẵn và dương thì dùng cơng thức hạ bậc.
VD: Tính các tích phân: 
Dạng 3: 
Cách giải: Biến đổi tích thành tổng.
VD: Tính tích phân: 
Dạng 4: 
Cách giải: Ta cĩ: 
Chú ý: Mẫu cùng hàm thì đổi 1 theo sin, khác hàm thì đổi 1 theo cos.
VD: Tính các tích phân: 
Giải: 
Dạng 5: 
Cách giải: Biến đổi: là tích phân dạng 4.
VD: Tính tích phân: 
Giải: 
Dạng 6: 
Cách giải: Biến đổi 
 là tích phân dạng 4.
VD: Tính tích phân: 
Giải: 
Dạng 7: 
Cách giải: Biến đổi 
VD: Tính tích phân: 
Dạng 8: 
Cách giải: Ta tìm các số A, B sao cho: 
A, B là nghiệm hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn sau: 
Khi đĩ: VD: Tính tích phân: 
Giải: 
Dạng 9: 
Cách giải: Ta tìm các số A, B sao cho: 
A, B là nghiệm hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn sau: 
Trong đĩ tích phân là tích phân dạng 4.
VD: Tính tích phân: 
Dạng 10: 
Cách giải: Ta tìm các số A, B sao cho: 
A, B là nghiệm hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn sau: 
VD: Tính tích phân: 
Dạng 11: 
Cách giải: Tìm A, B, C sao cho: 
A, B, C là nghiệm hệ: 
Khi đĩ , trong đĩ tích phân cuối là tích phân dạng 7.
VD: Tính tích phân: 
Giải: Ta phân tích được 
Dạng 12: 
Cách giải: B1: 
	 B2: Đặt ta cĩ tích phân là tích phân đã biết cách giải.
VD: Tính tích phân: 
Dạng 13: trong đĩ R là hàm hữu tỉ.
- Nếu R là lẻ với , tức là thì sử dụng phép đổi biến 
- Nếu R là hàm lẻ với , tức là thì dùng phép đặt .
- Nếu R thoả mãn thì đặt .
VD: Tính tích phân: 
Bài tập: Tích phân:
IV. Tích phân hàm vơ tỉ
Để tích phân hàm vơ tỉ ta phải linh hoạt lựa chọn một trong các phương pháp: đổi biến, tích phân từng phần kết hợp khéo léo với phân tích hàm dưới dấu tích phân.
Các kết quả cần nhớ:
Các dạng tích phân thường gặp:
1) Dạng , giải theo các bước:
B1: Đặt 
B2: tích phân trở thành dễ tìm nguyên hàm hơn.
Đặc biệt: cĩ thể tính bằng cách: Do cĩ nghĩa khi , do đĩ . Khi đĩ .
Tích phân thứ nhất tính bằng đổi biến dạng 1, tích phân thứ 2 tính bằng đổi biến dạng 2.
VD: Tính các tích phân sau:
2) Dạng .
Cách giải: Đặt với 
3) Dạng . Xét 2 trường hợp:
TH1: đặt 
TH2: đặt 
VD: Tính tích phân: 
4) Dạng 
Nếu luỹ thừa của cĩ bậc lẻ thì đổi biến dạng 2, bậc chẵn thì đổi biến dạng 1 (đã xét trong tích phân đổi biến dạng 1).
VD: Tính . HD: đổi biến dạng 2
5) Dạng . Giải theo 2 cách: Đưa về tích phân hàm lượng giác hoặc hữu tỉ.
Cách 1: Lượng giác: Xét và hệ số a.
- Nếu thì 
- Nếu thì 
Tích phân trên đưa về một trong các dạng của dạng 4.
Cách 2: Hữu tỉ. Dùng phép thế Ơle.
 thì đặt 
 thì đặt 
Nếu tam thức cĩ 2 nghiệm phân biệt thì đặt 
VD: Tính các tích phân: 
Bài tập: Tính các tích phân: 
V. Tích phân của một số lớp hàm đặc biệt:
1) Nếu là hàm chẵn và liên tục trên thì 
2) Nếu là hàm lẻ và liên tục trên thì 
VD: Tính 
3) Nếu là hàm số liên tục trên thì 
VD: Tính 
4) Nếu liên tục trên thì 
VD: Tính 
5) Nếu là hàm tuần hồn với chu kỳ T, liên tục trên . Khi đĩ 
VD: Tính 
6) Nếu là hàm chẵn, liên tục trên thì 
VD: Tính 
VI. Các đề thi đại học gần đây: