Chuyên đề luyện thi Đại học: Phương pháp giải các bài tập hình không gian trong kỳ thi tuyển sinh Đại học biên - Nguyễn Trung Kiên

h chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B 
aADaBCAB 2; === .Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABCD) và SA=a. Gọi E là trung điểm 
của AD.Tính thể tích khối chóp SCDE và tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đó. 
HD giải: 
6
3aV = 
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SE và SC ta có mặt phẳng (ABNM) là mặt phẳng trung trực 
của SE. Vậy tâm O của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SCDE là giao điểm của mặt phẳng 
(ABMN) và trục đường tròn ngoại tiếp đáy CDE. Gọi ∆ là đường thẳng qua I là trung điểm của 
CD và song song với SA.Gọi K là trung điểm của AB thì KN //AM. KN và ∆ đồng phẳng suy ra 
OKN =∆∩ là điểm cần tìm 
Tam giác OIK vuông cân nên OI=IK=
2
3
2
aADBC
=
+
; 
 Ta có 
2
11
4
11
4
2
4
9 222222 aOCRaaaICOIOC ==⇒=+=+= (0,25 điểm) 
D
C
I
EN
M
A
B
S
Trong ví dụ này ta dựng mặt phẳng trung trực của SE để tận dụng điều kiện tam giác SAE 
vuông cân ở A 
Ví dụ 2) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh ; 2AB a AD a= = góc 
giữa hai mặt phẳng (SAC) và ABCD bằng 600. Gọi H là trung điểm của AB. Biết mặt bên SAB 
là tam giác cân tại đỉnh S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp 
SABCD và xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SAHC 
www.VNMATH.com
 18 
- Ta có ( )SH AB SH ABCD⊥ ⇒ ⊥ .Kẻ HM vuông góc với AC thì góc tạo bởi (SAC) và 
(ABCD) là 0ˆ 60SMH = 
Có 02 6 2ˆsin ; tan 60
2 6 23
BC a a a aHM AH HAM AH SH HM
AC a
= = = = = = 
31 ( )
3 3SABCD
aV SHdt ABCD= = 
O
A
M N
P
I
E
K
D
C
QB
H
S
- Gọi E, K lần lượt là trung điểm của SA, HA . Kẻ đương thẳng qua K song song với AD cắt CD 
ở F thì KF ( )SAH⊥ . Dựng Ex song song với KF thì Ex là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác 
SHA. Dựng đường thẳng qua tâm O của mặt đáy vuông góc với AC cắt KF, AD tại N, P thì N là 
tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác AHC. Trong mặt phẳng chứa Ex và KF kẻ đường thẳng Ny 
vuông góc với đáy (ABCD) (đường thẳng song song với EK) thì Ny là trục đường tròn của tam 
giác AHC. 
Giao điểm I Ny Ex= ∩ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SAHC. 
Ta có 2 2 2 2 2 2R IH IN NH KE NH= = + = + . 
2
2
2 2 2
2
3 3 3 1 5 3 3
. ; ( )
ˆ 2 2 4cos 2 2 2 4 2 4 2
2 3 3 31
4 324 2
AO a a a AHAP a KN HO AP HN KN a
CAD a
a aR a
= = = = + = ⇒ = + =
   
⇒ = + =      
   
Vậy 31
32
R a= 
Cách 2) Gọi J, r lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC. Ta có 
.
24
33
2
..
4
.. a
S
ACHCAH
S
ACHCAH
r
ABCAHC
=== 
Kẻ đường thẳng ∆ qua J và .// SH∆ Khi đó tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp AHCS. là 
giao điểm của đường trung trực đoạn SH và ∆ trong mặt phẳng (SHJ). Ta có 
www.VNMATH.com
 19 
.
4
2
2
22
r
SHJHIJIH +=+= 
Suy ra bán kính mặt cầu là .
32
31
aR = 
Ví dụ 3) Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, 
3
aDA DB= = , CD vuông góc với 
AD.Trên cạnh CD kéo dài lấy điểm E sao cho 0ˆ 90AEB = .Tính góc tạo bởi mặt phẳng (ABC) và 
mặt phẳng (ABD).Xác định tâm và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối tứ diện ABCE 
Giải: 
- Gọi I là trung điểm của AB thì CI vuông góc với AB và DI vuông góc với AB. Nên góc tạo bởi 
(ACD) và (ABD) là ˆCID .Do hai tam giác ACD và BCD bằng nhau nên 
2 2 2
0 2 2 23
ˆ ˆ 90 ( ) ; ;
2 3 4 12
a a a aBDC ADC CD ABD CD DI CI DI DA AI= = ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ = = − = − = 
3 1
ˆcos :
2 32
DI a aCID
CI
= = = 
- Tam giác vuông ACD có 2 2 2 2
3
CD CA DA a= − = . Tam giác ABE vuông cân, do đó 
2 22 ;
2 6
a aAE DE AE DA ACE= ⇒ = − = ∆ có AD là đường cao và 
2
2
.
3
aCD DE DA ACE= = ⇒ ∆ vuông tại A.Tương tự ta có tam giác BCE vuông tại B. Vậy mặt 
cầu ngoại tiếp tứ diện ABCE có CE là đường kính tâm I của mặt cầu là trung điểm của CE. Bán 
kính 
3 3
31 1 2 6 4 4 6 6( )
2 2 3 4 3 3 4 86
a a a aR CD DE a V R pipi pi
   
= + = + = ⇒ = = =      
   
I
B
A
C
D
E
www.VNMATH.com
 20 
Ví dụ 4) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và đường cao là SH 
với H thỏa mãn 3HN HM= −



 




trong đó M, N là trung điểm AB, CD. Mặt phẳng (SAB) tạo với 
đáy ABCD góc 600. Tính khoảng cách từ N đến mặt phẳng (SAC) và xác định thể tích khối cầu 
ngoại tiếp hình chóp SABCD 
Giải: 
Gọi O là giao điểm của AC và BD suy ra H là trung điểm của MO và 
0 3; 60
4 4 2
a a aMH AB HM AB SM SMH SH SM SAB= ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ ∆ vuông cân 
tại S và 2
2
aSA SB= = . Ta có 3( / ( )) ( )
SNACVd N SAC
dt SAC
= . Kẻ HK vuông góc với AC thì 
HK//BD và 
2
0 14 1 7
ˆˆ 45 ( ) .
8 2 8
a aKHO KOH SK dt SAC AC SK= = ⇒ = ⇒ = = 
31 3 21
. ( ) ( / ( ))
3 48 14SNAC
aV SH dt NAC a d N SAC= = ⇒ = 
Trục đường tròn đáy là đường thẳng d qua O và //SH ( )d SMN⇒ ⊂ . Vì tam giác SAB vuông 
cân tại S nên trục d’ của mp(SAB) qua M và vuông góc với SAB. Theo trên ta có (SAB) vuông 
góc với (SMH) nên kẻ HE vuông góc với SM thì ( )HE SAB⊥ nên (d’) //HE. Ta có 'd d I∩ = là 
tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD. Ta có 
2 2 2
0 2 2 2 23 7 21
ˆ 30 ; tan 30
6 2 12 12 6
a a a a aOMI OI OM R IA OA OI R= = = ⇒ = = + = + = ⇒ = 
Thể tích khối cầu là: 
3
34 21 7 21
3 6 54
aV api pi
 
= =  
 
. 
www.VNMATH.com
 21 
I
F
HM
0
S
( d' )
( d)
I
D
C
A
NM
O
K
H
E B
S
MỘT SỐ BÀI TẬP CHỌN LỌC VỀ HÌNH KHÔNG GIAN 
THƯỜNG DÙNG TRONG KỲ THI TSĐH 
BIÊN SOẠN GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 
Câu 1) Khối chóp SABCD có đáy là hình bình hành, M là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi 
qua AM, song song với BD chia khối chóp làm 2 phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó. 
Câu 2) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có các cạnh bằng a. 
a) Tính thể tích khối chóp. 
b) Tính khoảng cách từ tâm mặt đáy đến các mặt của hình chóp. 
Câu 3) Khối chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SA ⊥ (ABCD); SA=2a. Gọi E, F là hình 
chiếu của A trên SB và SD. I là giao điểm của SC và (AEF). Tính thể tích khối chóp SAEIF. 
Câu 4) Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 đáy là tam giác đều. Mặt phẳng (A1BC) tạo với đáy 1 
góc 300 và tam giác A1BC có diện tích bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ. 
Câu 5) Khối lăng trụ ABCA1B1C1 có đáy là tam giác vuông cân, cạnh huyền AB= 2 . Mặt 
phẳng (AA1B) vuông góc với mặt phẳng (ABC), AA1= 3 ; góc A1AB nhọn, góc tạo bởi (A1AC) 
và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ. 
Câu 6) Khối lăng trụ tứ giác đều ABCDA1B1C1D1 có khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và 
A1D bằng 2, độ dài đường chéo mặt bên bằng 5. 
a) Hạ AH ⊥ A1D (K∈A1D). chứng minh rằng AK=2. 
b) Tính thể tích khối lăng trụ ABCDA1B1C1D1. 
Câu 7) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), AC=AD=4cm; 
AB=3cm; BC=5cm. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD). 
Câu 8) Cho hình chóp tam giác đều SABC đỉnh S, độ dài cạnh đáy bằng a. GỌi M, N lần lượt là 
trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng 
(AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC). 
www.VNMATH.com
 22 
Câu 9) Cho hình chóp SABC có SA=3a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tam giác ABC 
có AB=BC=2a, góc ABC=1200. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC). 
Câu 10) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm 
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (SCD). 
Câu 11) Cho hình chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA=2a và SA 
vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các 
đường thẳng SB và SC 
a) Tính khoảng cách t ừ A đến mặt phẳng (SBC) 
b) Tính thể tích của khối chóp ABCMN. 
Câu 12) Hình chóp tam giác SABC có các cạnh bên SA=SB=SC=a, góc ASB=1200, góc 
BSC=600, góc ASC=900. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông và tính thể tích hình chóp 
SABC theo a. 
Câu 13) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 2a. 
Góc giữa các mặt bên và mặt đáy làα . 
a) Tính thể tích khối chóp theo a và α 
b) Xác định α để thể tích khối chóp nhỏ nhất. 
Câu 14) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD= 2a , SA=a và 
SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là 
giao điểm của BM và AC. 
a) Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). 
b) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB. 
Câu 15) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, AA’=2a, 
A’C=3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C 
a) Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC 
b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC) 
Câu 16) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB=AD=2a, 
CD=a, góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết 
2 mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp 
SABCD theo a. 
Câu 17) Cho hình lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có BB’=a, góc tạo bởi BB’ và mặt phẳng 
(ABC) là 600, tam giác ABC vuông tại C và góc BAC=600. Hình chiếu vuông góc của điểm B’ 
lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC 
theo a. 
Câu 18) Trong không gian cho hình chóp tam giác đều SABC có 7SC a= . Góc tạo bởi (ABC) 
và (SAB) =600. Tính thể tích khối chóp SABC theo a. 
Câu 19) Trong không gian cho hình chóp SABCD với ABCD là hình thoi cạnh a, góc ABC=600, 
SO vuông góc với đáy ( O là tâm mặt đáy), 3
2
aSO = . M là trung điểm của AD. (P) là mặt 
phẳng qua BM và song song với SA, cắt SC tại K. Tính thể tích khối chóp KABCD. 
Câu 20) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với 
đáy (ABC). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) theo a biết 6 .
2
aSA = 
Câu 21) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật, 2, 2 .AD a CD a= = Cạnh SA vuông 
góc với đáy và 3 2 .SA a= Gọi K là trung điểm AB. 
www.VNMATH.com
 23 
a) Chứng minh rằng (SAC) vuông góc với (SDK) 
b) Tính thể tích khối chóp CSDK theo a; tính khoảng cách từ K đến (SDC). 
Câu 22) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt phẳng (SAC) vuông 
góc với đáy, góc ASC=900, SA tạo với đáy 1 góc 600. T