Chuyên đề luyện thi đại học - Phần số phức

i số phức z thoả mãn z2 = w được gọi là một căn bậc hai của số phức w. 
a) Nếu w là số thực 
 + w < 0 thì có hai căn bậc hai: &wi wi   
 + w  0 thì có hai căn bậc hai: &w w . 
b) Nếu w là số phức khi đó ta thực hiện các bước: 
 + Giả sử w= a + ib, đặt z = x + iy là một căn bậc hai của w tức là: 2z w khi đó ta có 
hệ:
2 2 (1)
2 (2)
x y a
xy b
  
 
Bình phương 2 vế của (1) và (2) rồi cộng lại ta được 2 2 2 2x y a b   
Do vậy ta được hệ: 
2 2
2 2 2 2
(1)
(2')
x y a
x y a b
  

  
Giải hệ tìm được 2x và 2y suy ra x và y để tìm z. 
Chú ý: Theo (2) ta có nếu b > 0 thì x, y cùng dấu. Nếu b < 0 thì x, y trái dấu. 
II. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai hệ số phức 
Cho PT: 2 0; (1) ( , , , 0)ax bx c a b c a     và có 2 4b ac   
 + Nếu 0  pt có hai nghiệm là 1 2;2 2
b bx x
a a
      
 Trong đó  là một căn bậc hai của  . 
 + Nếu  = 0 thì pt có nghiệm kép: 1 2 2
bx x
a
   . 
B. Các dạng bài tập 
 I. Giải phương trình bậc nhất 
 1) Phương pháp giải 
 CÁC CHUYấN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC 
 Ngọc Vinh 6
 Biến đổi phương trình về dạng Az + B = 0, A, B , 0A  . Viết nghiệm Bz
A
  
 2) Ví dụ 
 Ví dụ 1: Giải phương trình 2iz + 1 - i = 0 
Bài giải 
 Nghiệm của phương trình là (1 ) 1 1 1 1
2 2 2 2 2
iz i
i i
       . 
 II. Tính căn bậc hai và giảiphương trình bậc hai 
 1) Phương pháp giải 
 Sử dụng công thức tính căn bậc hai của số phức để tính căn bậc hai. 
 Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để tìm nghiệm của phương trình với chú 
ý phải đưa về đúng dạng của phương trình. 
 2) Các ví dụ 
 Ví dụ 1: Tìm căn bậc hai của các số phức sau: 
) 5 12 ) 8 6
) 33 56 ) 3 4
a i b i
c i d i
  
  
Bài giải 
 a) Gọi z = x + iy là một căn bậc hai của -5 + 12i tức là 
  2 2 25 12 2 5 12x iy i x y ixy i          
2 2 22 2
2 2 2
5 45
2 12 13 9
x y xx y
xy x y y
                   
2
3
x
y
    
Do b = 12 > 0 nên x và y cùng dấu từ đó có 
2
3
x
y

 
 hoặc 
2
3
x
y
 
  
Vậy -5 + 12i có 2 căn bậc hai là z1 =2+3i và z2 = -2-3i. 
 b) Tương tự ta gọi z = x + iy là một căn bậc hai của 8+ 6i tức là 
  2 2 28 6 2 8 6x iy i x y ixy i        
2 2 22 2
2 2 2
8 98
2 6 10 1
x y xx y
xy x y y
                 
3
1
x
y
    
Do b= 6> 0 nên x và y cùng dấu từ đó có 
3
1
x
y

 
 hoặc 
3
1
x
y
 
  
Vậy 8 + 6i có 2 căn bậc hai là 3+i và -3-i. 
 c) Gọi z = x + iy là một căn bậc hai của 33 - 56i tức là 
  2 2 233 56 2 33 56x iy i x y ixy i        
2 2 22 2
2 2 2
33 4933
2 56 65 16
x y xx y
xy x y y
                  
7
4
x
y
    
Do b = -56 < 0 nên x và y trái dấu từ đó có 
7
4
x
y

  
 hoặc 
7
4
x
y
 
 
Vậy 2 căn bậc hai của 33 - 56i là 7- 4i và -7+i4. 
 d) Gọi z = x + iy là một căn bậc hai của -3 +4i tức là 
  2 2 23 4 2 3 4x iy i x y ixy i          
 CÁC CHUYấN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC 
 Ngọc Vinh 7
2 2 22 2
2 2 2
3 13
2 4 5 4
x y xx y
xy x y y
                   
1
2
x
y
    
Do b = 4 > 0 nên x và y cùng dấu từ đó có 
1
2
x
y

 
 hoặc 
1
2
x
y
 
  
Vậy 2 căn bậc hai của -3 + 4i là 1 + 2i và -1-2i. 
 Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: 
    2 2) 3 4 5 1 0; (1) ) 1 2 0; (2)a x i x i b x i x i          
 Bài giải 
 a) Ta có    23 4 4 5 1 3 4i i i        
Theo kết quả ví dụ 1d) thì  có hai căn bậc hai là 1+ 2i và -1 - 2i. Do đó pt (1) có hai nghiệm là: 
1 2
3 4 1 2 3 4 1 22 3 ; 1
2 2
i i i ix i x i           
 b) Tương tự ta có    21 4 2 8 6i i i        
Theo kết quả ví dụ 1b) thì  có hai căn bậc hai là 3 + i và -3 - i. Do đó pt (2) có hai nghiệm là: 
 1 2
1 3 1 31; 2
2 2
i i i ix x i             
Chú ý: PT (2) có thể dùng nhẩm nghiệm nhờ a + b + c = 0 
 Ví dụ 3: Giải các phương trình sau: 
 2 2 3) 3 2 0; (1); ) 1 0; (2); ) 1 0 (3)a x x b x x c x        
 Bài giải 
 a) Ta có  = 12- 4.3.2 =-23<0 nên ta có hai căn bậc hai của  là: 23 & 23i i . Từ đó 
nghiệm của pt (1) là: 1 2
1 23 1 23;
6 6
i ix x     
 b) Tương tự ta có  = -3 < 0 có hai căn bậc hai là: 3 & 3i i nên (2) có các nghiệm là: 
 1 2
1 3 1 3;
2 2
i ix x     
 c) Ta có 
   2 2
1 0
(3) 1 1 0
1 0; (*)
x
x x x
x x
 
         
Theo b) ta có (*) có hai nghiệm là 1 2
1 3 1 3;
2 2
i ix x     . Từ đó ta có các 
nghiệm của pt (3) là: 1 2 3
1 3 1 31; ;
2 2
i ix x x      
( Các nghiệm của pt (3) được gọi là căn bậc ba của 1). 
 Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu một phương trình bậc hai với hệ số thực có nghiệm phức 
  thì cũng nhận  là nghiệm. 
 Bài giải 
 CÁC CHUYấN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC 
 Ngọc Vinh 8
 Giả sử PT bậc hai:  2 0; , , , 0ax bx c a b c a     nhận số phức   là nghiệm 
tức là ta có: 2 0a b c    . (1) 
Lấy liên hợp hai vế của (1) và sử dụng tính chất liên hợp của số thực bằng chính nó thì ta được: 
 22 0 0a b c a b c          . Điều này chứng tỏ  là nghiệm của pt. 
 áp dụng: Chứng tỏ 1+i là một nghiệm của phương trình 2 3 3 5 0x x i    . Tìm nghiệm 
còn lại của pt đó. 
 Ví dụ 5: Phát biểu và chứng minh định lí đảo và thuận của định lí Vi-et của phương tình bậc 
hai với hệ số phức. 
 Thuận: Nếu hai số 1 2&x x là hai nghiệm của phương trình 
 2 0; , , , 0ax bx c a b c a     thì 1 2 1 2&b cx x x xa a    . 
Chứng minh 
 Theo công thức nghiệm của pt bậc hai với hệ số phức ta có: 
1 2
2 2
1 2 2
2 2
.
2 2 4
b b bx x
a a a
b b b cx x
a a a a
 
  
          
               
 Đảo: Nếu hai số ;  thoả mãn: & .S P      thì ;  là nghiệm của pt: 
2 0x Sx P   .(1) 
Chứng minh 
 Ta có:     2(1) 0 0 xx x x x
x

    

           
 Điều này chứng tỏ ;  là nghiệm của (1). 
 áp dụng: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm 4 3 ; 2 5i i      
 Bài giải 
 Theo bài ra ta có: 2 8i    và   . 4 3 2 5 23 14i i i         
Theo kết quả Vd5 ta được pt bậc hai cần lập là:  2 2 8 14 23 0x i x i     
 Ví dụ 6: Tìm m để phương trình: 2 3 0x mx i   có tổng bình phương 2 nghiệm bằng 8. 
 Bài giải 
 Theo bài ra ta có:  22 21 2 1 2 1 28 2 8x x x x x x      (1). Theo Vi-et ta có 
 1 2
1 2 3
x x m
x x i
  
 
 Thay vào (1) ta được 2 26 8 8 6m i m i     . Tức m là một căn bậc hai 
của 8+6i. Theo kết quả Vd1b ta có 2 giá trị của m là: 3 + i và -3 - i. 
 Ví dụ 7: Giải hệ phương trình 
2 2
1 2
1 2
5 2 (1)
4 (2)
z z i
z z i
   
   
 Bài giải 
 CÁC CHUYấN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC 
 Ngọc Vinh 9
 Từ (2) ta có 2 21 2 1 22 15 8 .z z z z i    Kết hợp với (1) ta có 1 2 5 5z z i  vậy ta có hệ 
phương trình: 1 2
1 2
4
5 5
z z i
z z i
  
  
Do đó 1 2,z z là nghiệm của phương trình 
 2 4 5 5 0z i z i     . Ta có 5 12i    theo Vd1a ta biết  có hai căn bậc hai là: 
2 + 3i và -2 - 3i. 
 Vậy ta có 
1
2
4 2 3 3
2
4 2 3 1 2
2
i iz i
i iz i
     
      
 Hoặc 1
2
1 2
3
z i
z i
 
  
. 
 Ví dụ 8: Cho 1 2,z z là hai nghiệm của phương trình    21 2 3 2 1 0i z i z i      . 
Không giải pt hãy tính giá trị của các biểu thức sau: 
2 2 2 2 1 2
1 2 1 2 1 2
2 1
) ) ) z za A z z b B z z z z c C
z z
      
Bài giải 
Theo Vi-et ta có: 
1 2
1 2
3 2 3 2 2 2 3 2
3 31 2
1 1 2 1 2
3 31 2
iz z i
i
iz z i
i
       

      
 a) Ta có 
 
2
2
1 2 1 2
3 2 2 2 3 2 1 2 1 2 11 30 2 6 4 22 2
3 3 3 3 9 9
A z z z z i i i
                          
 b) 
 1 2 1 2 3 2 2 2 3 2 1 2 1 2 5 2 2 1 10 23 3 3 3 9 9B z z z z i i i
                
  
 c) Ta có 
2 2
1 2
1 2
6 26 2
181 2 1 2
3 3
z z A iC
z z
i
    
 
. 
 Ví dụ 9: Giải pt: 4 26 25 0z z   (1) 
Bài giải 
 Đặt 2 .z t Khi đó (1) có dạng: 2 6 25 0t t   (2). 
 Ta có: ' 16   có hai căn bậc hai là 4i và - 4i nên pt (2) có hai nghiệm là 1 3 4t i  
 và 2 3 4t i  . 
 Mặt khác 3 + 4i có hai căn bậc hai là: 2 + i và -2 - i còn 3 - 4i có hai căn bậc hai là: 
2 - i và -2 + i nên pt (1) có 4 nghiệm là: 
1 2 3 42 ; 2 ; 2 ; 2z i z i z i z i          
C. bài tập 
Bài 1: Tìm các căn bậc hai của các số phức sau: 
 CÁC CHUYấN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC 
 Ngọc Vinh 10
a) 8+6i b) 3+4i c) 
3
1 3
i
i


d) 
1 1
1 1i i

 
 e) 
21
1
i
i
 
  
 f) 
2
1 3
3
i
i
 
 
 
Bài 2: Gọi 1 2;u u là hai căn bậc hai của 1 3 4z i  và 1 2;v v là hai căn bậc hai của 2 3 4z i  . 
Tính 1 2u u 1 2v v  ? 
Bài 3: Giải các phương trình sau: 
   
   
 
2 2
22
2
) 2 2 1 0; ) 5 14 2 12 5 0
) 80 4099 100 0; ) 3 6 3 13 0
) cos sin cos sin 0.
a z iz i b z i z i
c z z i d z i z i
e z i z i   
        
          
   
Bài 4: Tìm các căn bậc ba của 8 và -8. 
Bài 5: Giải các phương trình trùng phương: 
    4 2 4 2) 8 1 63 16 0; ) 24 1 308 144 0a z i z i b z i z i          
Bài 6: Cho 1 2,z z là hai nghiệm của phương trình:  2 1 2 2 3 0z i z i     . 
 Không giải pt hãy tính giá trị của các biểu thức sau: 
2 2 2 2 1 2
1 2 1 2 1 2
2 1
3 3 3 3
1 2 2 1 1 2 1 2
2 1 1 2
) ) )
1 2 1 2) ) )
z za A z z b B z z z z c C
z z
d D z z e E z z z z f F z z
z z z z
     
   
          
   
Bài 7: Giải các hệ PT 
2 2 24 0) )
2 1
z i zu v uva b
u v i z i z
      
      
 . 
VẤN ĐỀ 3 
 Dạng lượng giác của số phức 
A. Kiến thức cần nhớ 
I. Số