Chuyên đề luyện thi Đại học môn Toán - Phương pháp tọa độ trong không gian

 
 Bài toán 3 : Tìm phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng (D) qua đường thẳng (Δ) 
¾ Phương pháp : 
 - Trường hợp 1 : (Δ) và (D) cắt nhau : 
 + Tìm giao điểm M của (D) và (Δ). 
(D)
d
(Δ)M 
A
A’
 + Tìm một điểm A trên (D) khác với điểm M. 
 + Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (Δ) 
 + d chính là đường thẳng đi qua 2 điểm A’ và M. 
 6
 - Trường hợp 2 : (Δ) và (D) song song : 
+ Tìm một điểm A trên (D) 
 + Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (Δ) 
 + d chính là đường thẳng qua A’ và song song với (Δ) 
 - Trường hợp 3 : (Δ) và (D) chéo nhau : 
 + Tìm 2 điểm phân biệt A, B trên (D) 
 + Tìm điểm A’, B’ lần lượt là điểm đối xứng của A, B qua (Δ) 
 + d chính là đường thẳng đi qua 2 điểm A’, B’. 
 Bài toán 4 : Tìm phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng (D) qua mặt phẳng α. 
¾ Phương pháp : 
 - Trường hợp 1 : (D) cắt α 
+ Tìm giao điểm M của (D) và (α) 
 + Tìm một điểm A trên (D) 
 + Tìm điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng α . 
 + d chính là đường thẳng đi qua hai điểm A’ và M . 
 - Trường hợp 2 : (D) song song với α. 
A 
A’ d 
(D) 
 - Tìm một điểm A trên (D) 
 - Tìm điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng α. 
 - d chính là đường thẳng qua A’ và song song với (D) 
Vấn đề 5 
KHOẢNG CÁCH 
 Bài toán 1 : Tính khoảng cách từ điểm M(x0, y0, z0) đến mặt phẳng α : 
Ax + By + Cz + D = 0 
¾ Phương pháp : 
d M
Ax By Cz D
A B C
( , )α = + + +
+ +
0 0 0
2 2 2
 Bài toán 2 : Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (Δ) 
¾ Phương pháp : 
 - Tìm hình chiếu H của M trên (Δ) 
 - Khoảng cách từ M đến (Δ) chính là độ dài đoạn MH. 
 Bài toán 3 : Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song d1 và d2. 
¾ Phương pháp : 
 7
 - Tìm một điểm A trên d1. 
 - Khoảng cách giữa d1 và d2 chính là khoảng cách từ điểm A đến d2. 
 Bài toán 4 : Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song α : 
 Ax + By + Cz + D1 = 0 
 Và β : Ax + By + Cz + D2 = 0 
¾ Phương pháp : 
 Khoảng cách giữa α và β được cho bởi công thức : d D D
A B C
( , )α β = −
+ +
1 2
2 2 2
 Bài toán 5 : Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau d1 và d2 
¾ Phương pháp : 
 - Cách 1 : 
 + Tìm phương trình mặt phẳng α chứa d1 và song song với d2. 
 + Tìm một điểm A trên d2. 
 + Khi đó d(d1, d2) = d(A, α) 
 - Cách 2 : 
 + Tìm phương trình mặt phẳng α chứa d1 và song song với d2. 
 + Tìm phương trình mặt phẳng β chứa d2 và song song với d1. 
 + Khi đó d(d1, d2) = d(α, β) 
Ghi chú : 
 Mặt phẳng α và β chính là 2 mặt phẳng song song với nhau và lần lượt chứa d1 và d2. 
 - Cách 3 : 
 + Viết dưới dạng phương trình tham số theo t. 
 + Viết d2 dưới dạng phương trình tham số theo t2. 
 + Xem A ∈ d1 ⇒ dạng tọa độ A theo t1. 
 + Xem B ∈ d2 ⇒ dạng tọa độ B theo t2. 
 + Tìm vectơ chỉ phương lần lượt của d1 và d2. a a1 2
→ →
,
 + AB là đoạn vuông góc chung d1, d2. ⇔ tìm được t1 và t2 AB a
AB a
→ →
→ →
⊥
⊥
⎧
⎨⎪
⎩⎪
1
2
 + Khi đó d(d1, d2) = AB 
Vấn đề 6 
GÓC 
 Cho 2 đường thẳng d và d’ có phương trình : 
 d : x x
a
y y
b
z z
c
− = − = −0 0 0 d’ : x x
a
y y
b
z z
c
− = − = −0 0
' '
0
'
 Cho 2 mặt phẳng α và β có phương trình : 
 α : Ax + By + Cz + D = 0 β : A’x + B’y + C’z + D’ = 0 
1. Góc giữa hai đường thẳng d và d’ : 
cos
' ' '
' ' '
ϕ = + +
+ + + +
aa bb cc
a b c a b c2 2 2 2 2 2
2. Góc giữa hai mặt phẳng α và β : 
 8
cos
' '
' '
ϕ = + +
+ + + +
AA BB CC'
A B C A B C'2 2 2 2 2 2
3. Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng α : 
sinϕ = + +
+ + + +
Aa Bb Cc
A B C a b c2 2 2 2 2 2
Chú ý : - d ⊥ d’ ⇔ aa’ + bb’ + cc’ = 0 
 - α ⊥ β ⇔ AA’ + BB’ + CC’ = 0 
 - d song song (hoặc nằm trên) mặt phẳng α ⇔ aA + bB + cC = 0 
Vấn đề 7 
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG 
 Cho hai mặt phẳng α và β có phương trình : 
 α : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 β : A2x + B2y + C2z + D2 = 0 
 Gọi n A lần lượt là pháp vectơ của 2 mặt phẳng trên và M là một điểm 
trên mặt phẳng α. 
B C n A B C1 1 1 1 2 2 2
→ →= =( , , ), ( , , 2 )
 - α cắt β ⇔ và không cùng phương. n1
→
n2
→
 - α song song β ⇔ n và n cùng phương
M
1 2
→ →
∉
⎧
⎨⎪
⎩⎪ β
 - α trùng β ⇔ n và n cùng phương
M
1 2
→ →
∈
⎧
⎨⎪
⎩⎪ β
 Nếu A2, B2, C2, D2 ≠ 0 thì ta có cách khác : 
 - α cắt β ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 
 - α song song β ⇔ A
A
B
B
C
C
D
D
1
2
1
2
1
2
1
2
= = ≠ 
 - α trùng β ⇔ A
A
B
B
C
C
D
D
1
2
1
2
1
2
1
2
= = = 
Vấn đề 8 
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 ĐƯỜNG THẲNG 
 - Cách 1 : Xét hệ phương trình tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2. 
 + Hệ có một nghiệm duy nhất : d1 cắt d2. 
 + Hệ có vô số nghiệm : d1 và d2 trùng nhau. 
 + Hệ vô nghiệm : 
 cùng phương : d1 // d2. a và ad d1
→ →
2
2 không cùng phương : d1 và d2 chéo nhau. a và ad d1
→ →
 - Cách 2 : 
 + Tìm vectơ chỉ phương a của d1 và d2. ad d1 2
→ →
,
 + Tìm điểm A ∈ d1 và B ∈ d2. 
 a) a v cùng phương à ad d1
→ →
2
A d d d
A d d d
∈ ≡
∉
2 1 2
2 1 2
:
: / /
 9
 b) a v không cùng phương ta có: à ad d1
→ →
2
0
0
i) nếu thì d1,d2 cắt nhau. 
1 2
, .d da a AB⎡ ⎤ =⎣ ⎦
JJJGG G
ii) nếu thì d1,d2 chéo nhau. 
1 2
, .d da a AB⎡ ⎤ ≠⎣ ⎦
JJJGG G
Vấn đề 9 
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 
 - Cách 1 : 
 Xét hệ phương trình tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng α. 
 + Hệ vô nghiệm : d // α. 
 + Hệ có nghiệm duy nhất : d cắt α 
 + Hệ vô số nghiệm : d ⊂ α 
 - Cách 2 : 
 Tìm vectơ chỉ phương của d, pháp vectơ của α và tìm điểm A ∈ d. a→ n→
 + a ≠ 0 ( không vuông góc ) : d cắt α. n→ →. a→ n→
 + a = 0 ( )n
→ →
. a n
→ →⊥ A d
A d
∉
∈ ⊂
α α
α α
: / /
:
Ví dụ 1: 
 Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (D) 
2 0
3 2 3
x z
x y z
− =⎧⎨ − + − =⎩ 0
 và vuông góc với mặt phẳng (P) : x – 2y + z + 5 = 0 
Giải 
 Phương trình tham số của (D) viết 
2
7 3
2 2
x t
y t
z t
=⎧⎪⎪ = −⎨⎪ =⎪⎩
 Mặt phẳng (Q) chứa (D) và vuông góc (P) sẽ đi qua điểm 
M ( 0, 3
2
− , 0 ∈ (D) và có cặp vectơ chỉ phương là a) G = ( 2, 7
2
, 1 (vectơ chỉ phương của (D) và 
 = (1, –2, 1) (pháp vectơ của (P)). 
)
nG
Do đó, một pháp véctơ của ( Q) là 1
2 1 1 21 1
2 ; ;7 71 21 2
2 2
n
⎛ − − ⎞⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
G 
 = (– 11, 2, 15) 
 10
 Vậy phương trình (Q) viết 
 –11x + 2 ( y 3
2
+ ) + 15z = 0 11x – 2y - 15 z – 3 = 0. ⇔
Cách khác: 
Pt mặt phẳng (Q) chứa (D) và vuông góc (P) có dạng: 
 x-2z = 0 (loại) hay m(x-2z) +3x -2y+z -3= 0. 
Vậy pt (Q) có dạng: (m+3)x –2y +(1 –2m)z – 3 = 0. 
(Q) vuông góc với (P) nên ta có: m + 3 + 4 + 1- 2 m= 0 
 ⇒ m = 8. 
Vậy pt mp (Q) là: 11x – 2y - 15 z – 3 = 0. 
Ví dụ 2: 
 Xác định các tham số m và n để mặt phẳng 5x + ny + 4z + m = 0 thuộc chùm mặt phẳng có 
phương trình : 
 (3x – 7y + z – 3) + β (x – 9y – 2z + 5) = 0 α
Giải 
 Chùm mặt phẳng có phương trình 
 (3x – 7y + z – 3) + β (x – 9y – 2z + 5) = 0 α
 chứa đường thẳng (D) có phương trình : 
3 7 3
9 2 5
x y z
x y z
− + − =⎧⎨ − − + =⎩
0
0
 Để mặt phẳng (P) : 5x + ny + 4z + m = 0 thuộc chùm mặt phẳng trên thì (P) chứa (D) nghĩa là 
chứa 2 điểm A 1 18,0,
7 7
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ , B
31 9 0
10 10
, ,⎛⎜⎝ ⎠
⎞⎟ ∈ (D). Điều kiện để (P) chứa A, B thì m, n thỏa hệ phương 
trình : 
5 184 0
7 7
31 95 0
10 10
. m
. .n m
⎧ + + =⎪⎪⎨⎪ + + =⎪⎩
 ⇒ 11
5
m
n
= −⎧⎨ = −⎩ 
Ví dụ 3: ( ĐH KHỐI A-2002) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai đường 
thẳng: 
 Δ1 : và Δ2 : ⎩⎨
⎧
=+−+
=−+−
04z2y2x
04zy2x
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
+=
+=
t21z
t2y
t1x
 a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng Δ1 và song song với đường thẳng Δ2. 
 11
b) Cho điểm M (2; 1; 4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng Δ2 sao cho đoạn thẳng MH có độ 
dài nhỏ nhất. 
BÀI GIẢI: 
 a) (P) chứa Δ1 và // Δ2 
1
aΔ = (2, 3, 4); 2aΔ = (1, 1, 2); Δ1 qua M (0, −2, 0) 
 Mặt phẳng (P) có pvt [ ]
21
a,a ΔΔ =(2, 0, −1) 
 (P) : 2x – z = 0 
 b) M (2, 1, 4); H ∈ Δ2; MH min ⇔ MH ⊥ Δ2 
 C1 : Gọi (Q) là mặt phẳng qua M và vuông góc với Δ2. 
 Pt (Q) : x + y + 2z – 11 = 0; {H} = (Q) ∩ Δ2 ⇒ H (2, 3, 3) 
 C2 : MH = (−1 + t, 1 + t, −3 + 2t), với H ∈ Δ2 
 Do MH . 2aΔ = 0 ⇒ t = 1. Vậy điểm H (2, 3, 3). 
Ví dụ 4: ( ĐH KHỐI B-2002) Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 có cạnh bằng a. 
a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A1B và B1D . 
b) Gọi M,N,P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB1, CD,A1D1 .Tính góc giữa hai đường 
thẳng MP và C1N . 
BÀI GIẢI: 
Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho ta có : 
 A (0, 0, 0); A1 (0, 0, a); B (a, 0, 0); B1 (a, 0, a) 
 C (a, a, 0); C1 (a, a, a); D (0, a, 0); D1 (0, a, a) 
Suy ra M (a, 0, 2
a ); N ( 2
a , a, 0); P (0, 2
a , a) 
a) BA1 = (a, 0, −a) DB1 = (−a, a, −a) 
 Gọi (P) là mp qua B1D và (P) // A1B 
 ⇒ (P) có pháp vectơ n = (1, 2, 1) 
 ⇒ Pt (P) : x + 2y + z – 2a = 0 
 ⇒ d (A1B, B1D) = d (B, (P)) = 
6
a 
b) MP = (−a, 2a , 2a ) . NC1 = (− 2a , 0, −a) 
 Ta có : MP . NC1 = 0 ⇒ MP ⊥ C1N. 
 Vậy góc giữa MP và C1N là 900. 
Ví dụ5 ( ĐH KHỐI D-2002): Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng 
(P): 2x – y + 2 = 0 và đường thẳng dm : 
 (m là tham số) 
⎩⎨
⎧
=++++
=−+−++
02m4z)1m2(mx
01my)m1(x)1m2(
Xác định m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P). 
BÀI GIẢI: 
 1 vectơ chỉ phương của (dm) là : 
 a = (−2m2 + m + 1, −(2m +1)2, - m(1 – m)) 
 1 pvt của (P) là n = (2, −1, 0) 
 ycbt ⇔ a . n = 0 ⇔ −4m2 + 2m + 2 + (4m2 + 4m + 1) = 0 
 ⇔ 6m + 3 = 0 ⇔ m = 
2
1− 
 12
Ví dụ 6 ( ĐH KHỐI A-2003): Trong không gian với hệ tọa độ